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初高暑假衔接第2讲 集合间的基本关系（含答案）
你能发现下面这两个集合之间的关系么？
，
子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合是集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（反面：与）
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图（如下图所示）:
集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合和集合中的元素是一样的，因此集合与集合相等，记作.
真子集：若集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集，记作 （或 ），读作“真包含于”（或“真包含”）.
空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.
规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
用适当的符号填空：
①0 ； ② ； ③ ； ④ ；⑤0 ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
下列表述正确的是（ ）
A. B. C. D.
写出下列集合的所有子集：
；
；
；
.
结论：若一个集合包含个元素，则其子集数为 个，其真子集数为 个.
已知集合满足，写出集合的所有可能情况.
已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与的关系；
已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与，与的关系.
若集合，，是的真子集，求的值.
（2）设集合，，若，求实数的取值范围.
己知集合，，且，则实数的取值范围为________.
已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.
已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.
跟踪训练
已知集合，，则使成立的实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
对于集合，“”不成立的含义是（ ）
A.是的子集 B.中的元素都不是的元素
C.中最少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于
若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A. B. C.0 D.0或
集合的真子集个数为__________.
设集合，，若，则实数的取值范围__________.
设集合，，若，求实数的值.
已知集合，，若,求实数的取值范围.
集合，，则下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.无法确定两者关系
已知，，则下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.无法确定两者关系
设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
已知集合，.若且 ，试求实数的值.
第2讲 集合间的基本关系答案
你能发现下面这两个集合之间的关系么？
，
子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合是集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（反面：与）
我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图（如下图所示）:
集合相等：如果集合是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合和集合中的元素是一样的，因此集合与集合相等，记作.
真子集：若集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集，记作 （或 ），读作“真包含于”（或“真包含”）.
空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.
规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.
用适当的符号填空：
①0 ； ② ； ③ ； ④ ；⑤0 ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
【解析】元素与集合间的关系分为“属于”与“不属于”两种，集合间的关系分为“包含于”与“相等”两种.
下列表述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】空集是任何集合的子集，所以A、D错误，B正确；集合之间不存在“属于”关系，C错误.
写出下列集合的所有子集：
；
；
；
.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
结论：若一个集合包含个元素，则其子集数为 个，其真子集数为 个.
【答案】.
已知集合满足，写出集合的所有可能情况.
【答案】.
已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与的关系；
已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与，与的关系.
【答案】（1），；（2），且，.
【解析】（1）由于中的元素都是中的元素，所以，；
由于中的元素是且，所以中的元素是集合，并且是的子集，所以.，因为是中的元素；同时，因为空集是任何集合的子集.是中的元素，所以.
若集合，，是的真子集，求的值.
（2）设集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）， ，的解为或2或无解.
当的解为时，由得；
当的解为2时，由得；当无解时，.
综上所述，；
，，或 .
当，即时，则，0是方程的两根，
由韦达定理得，解得；
当 时，分两种情况：
①若，则，解得；
②若，则方程有两个相等的实数根，，解得，此时，满足题意.
综上所述，的取值范围为.
己知集合，，且，则实数的取值范围为________.
已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.
已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由已知条件得，解得，所以的取值范围为；
（2）由已知条件得，解得，所以的取值范围为；
（3），，且，
当时，，解得；当时，无解；
综上所述，的取值范围为.
跟踪训练
已知集合，，则使成立的实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】由已知条件得，解得，故选C.
对于集合，“”不成立的含义是（ ）
A.是的子集 B.中的元素都不是的元素
C.中最少有一个元素不属于 D.中至少有一个元素不属于
【答案】C
【解析】“”成立的含义是集合中的任何一个元素都是的元素，不成立的含义是中至少有一个元素不属于.
若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A. B. C.0 D.0或
【答案】D
【解析】依题意方程只有一个解，
当时，方程为，只有一个解，满足题意；当时，则，.
综上所述，，故选D.
集合的真子集个数为__________.
【答案】7
【解析】，所以其真子集个数为7.
设集合，，若，则实数的取值范围__________.【答案】
设集合，，若，求实数的值.
【答案】或0
【解析】依题意或，
当时，解得或2；当时，解得或2，
，且，或0.
已知集合，，若,求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】，，且，
当时，，解得；当时，，解得，
综上所述，的取值范围为.
集合，，则下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.无法确定两者关系
【答案】A
【解析】，
，所以 ，选A.
已知，，则下列关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.无法确定两者关系
【答案】B
【解析】若，则，
当时，；当时，，所以.
若，则，
当时，，所以；当时，，所以，所以.综上所述，，故选B.
设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
【答案】7
【解析】依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，不含“孤立元”说明中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，，，共7个.
已知集合，.若且 ，试求实数的值.
【答案】或.
【解析】，且 ，或.
当时，，解得；当时，，解得.
综上所述，或.
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