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1.3 动量守恒定律
复习回顾：
1、如何利用牛顿第二定律推导动量定理?
2、什么是冲量？冲量是矢量还是标量，是过程量还是状态量？直接利用公式I=Ft计算冲量时应该注意什么？
3、求解冲量的方法？
4、什么是动量定理？
5、会用动量定理解释一些生活中的现象？
6、如何利用动量定理解决流体类问题？
m1
m2
v1
在第一节中我们通过三个案例验证了碰撞前后动量是不变的是守恒的！那么是不是只要碰撞前后动量就守恒呢？如果不是碰撞前后动量守恒又需要什么条件呢？这就是本节我们需要解决的问题。
创设物理情景
两个小球在光滑水平面上做匀速运动，质量分别是m1和m2，沿着同一直线向相同的方向运动，速度分别是v1和v2，且v1>v2，经过一段时间后，m1追上了m2，两球发生碰撞，碰撞后仍然在同一直线上，速度分别是v1′和v2′,问：
P1=m1v1
P2=m2v2
P= m1v1+ m2v2
v1
v2
①碰撞前的动量
②碰撞后的动量
V ’1
V ’2
P ’2=m2v ’2
P’= m1v ’1+ m2v ’2
P ’1=m1v ’1
碰撞时受力分析
G1
N1
F21
G2
N2
F12
m1和m2各自受到重力（G），支持力（N）和相互作用力。F21：2号球对1号球的作用力，F12:1号球对2号球的作用力。其中重力和支持力之和为零，这样只剩下F21和F12了，且这两个力的作用时间相等。
①
②
对1号球用动量定理：
F21t1= m1v’1- m1v1= P’1- P1
对2号球用动量定理：
F12t2= m2v’2 -m2v2= P’2- P2
根据牛顿第三定律：
F12=-F21；且t1=t2
F12t2= -F21t1
m1v’1- m1v1=-(m2v’2 -m2v2)
P’1- P1=-(P’2- P2)
即
m1v’1+ m2v’2= m1v1+ m2v2
P’1+ P’2= P1+ P2
P’=P
结论：
一、系统、内力与外力
(1)系统：两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。
(2)内力：系统中物体间的作用力。
引入了这三个概念后，我们就可以对刚才两个小球碰撞情况进行分析了。
(3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力。
1
v1
2
v2
v1/
v2/
1
2
F
F
即系统内的内力必然不影响系统总的动量，
若系统受到的合外力为零，
则系统的总动量守恒
若外力的矢量和不为零，
则系统的总动量必然改变
（1）内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力矢量和为零，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。
（2）表达式：
（3）理解：
①矢量性:规定正方向
②相对性：
v相对同一个参考系
③同时性：
针对作用前后的同一时刻
二、动量守恒定律
（4）动量守恒的条件:
①理想条件：系统不受外力。
②实际条件：系统受合外力为零。
③近似条件：系统内力远大于外力，即外力可以忽略。例如在两物体碰撞，炮弹、火箭等突然炸裂过程等可用动量守恒来解释。
④单向条件：系统在某一方向上不受外力或合外力为零，则系统在这一方向上动量守恒.
常见模型如下(地面均光滑):
(1)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。 (　　)
(2)水平面上两个做匀速直线运动的物体发生碰撞瞬间，两个物体组成的系统动量守恒。 (　　)
(3)系统动量守恒也就是系统总动量变化量始终为零。 (　　)
(4)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒。 (　　)
辨析
×
√
√
×
例1、下图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是(　　)
A．只有甲和乙 B．只有丙和丁
C．只有甲和丙 D．只有乙和丁
C
例2、如图，木块和弹簧相连放在光滑的水平面上，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块B内，入射时间极短，之后木块将弹簧压缩，关于子弹、木块和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（ ）
A.子弹射入木块过程中，系统动量守恒
B.子弹射入木块过程中，系统机械能守恒
C.木块压缩弹簧过程中，系统动量守恒
D.木块压缩弹簧过程中，系统机械能守恒
AD
例3、如图所示，小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法正确的是(　　)
A．男孩和木箱组成的系统动量守恒
B．小车与木箱组成的系统动量守恒
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D．木箱的动量的变化量与男孩、小车的总动量的变化量
相同
C
例4、在列车编组站里，一辆m1为1.8×104kg的货车在平直轨道上以v1=2m/s的速度运动，碰上一辆m2=2.2×104kg的静止的货车，它们碰撞后一起继续运动。求货车碰撞后运动的速度。
三、动量近似守恒的应用
解：沿碰撞前货车运动的速度的方向建立坐标轴如上图，则有v1=2m/s ，设两车结合后的速度为v
两车碰撞前的总动量为
p=m1v1
碰撞后的总动量为
p′=（m1+m2）v
由动量守恒定律p′=p得
m1v1=（m1+m2）v
代入数据得 v=0.9m/s
因为两车结合后的速度为正值，所以结合后仍然沿坐标轴方向运动
四、某一方向动量守恒定律专题
M
m
v1
v2
0=
mv1+(-Mv2)
系统动量守恒吗？
不守恒，可认为水平方向守恒
光滑水平面
某一方向上合外力为零,这一方向上动量守恒(单向条件)
常见类型
例5、一质量为M的凹型槽静止在光滑的水平面上，其半径为R,一小球质量为m,在凹型槽左端圆心等高处自由释放，求小球滑到低端时，两者的速度v1和v2？
M
R
m
0=
mv1-Mv2
解 : 以向右为正 , 由水平方向动量守恒得
由系统机械能守恒得
mgR=
????????????????????????+????????????????????????
?
得v1=
v2=
????????????????????+????
?
????????????????????????????+????
?
v1
v2
思考:系统机械能守恒吗？
=????????????????????????????+????????
?
思考:分析讨论这个系统做什么运动？
M
R
m
v1
v2
v1
L
0=
m车v1-m球v2
m球gL=
????????????车????????????+????????????球????????????
?
思考:如何求此时两者的速度？
v2
思考:分析讨论这个系统做什么运动？
M
R
m
L
0=
m车v1-m球v2
m球gL=
????????????车????????????+????????????球????????????
?
思考:如何求此时两者的速度？
这个系统做什么运动？
结论：来回的往复运动
思考:车上的人敲车能让车开起来吗？
例6、一辆质量为M的小车以速率v1在光滑的水平面上运动时，恰遇一质量为m，速率为v2物体以俯角600。的速度方向落在车上并陷于车里的砂中，求此后车的速度。
600
v1
v2
v共
解：系统水平方向动量守恒：（取v2水平方向为正向）
mv2cos600+MV1
=(m+M)V共
V共=
????????????+????????????????????(????+????)
?
例7、(2023山东青岛第五十八中学月考)如图
所示,质量为M的滑块静止在光滑的水平面上,滑块的光滑弧面底部与水平面相切,一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来,小球最后未越过滑块,则小球到达最高点时,小球和滑块的速度大小是 (　　)
A.????????????????+????　　　　B.????????????????　　　　
C.????????????????+????　　　　D.????????????????
?
A
例8、一枚在空中飞行的火箭质量为m，在某时刻的速度大小为v，方向水平，燃料即将耗尽。此时，火箭突然炸裂成两块，其中质量为m1的一块沿着与v相反的方向飞去，速度大小为v1。求炸裂后瞬间另一块的速度v2。
解析　以炸裂前火箭速度方向为正方向，则有：
炸裂前火箭的总动量为：p＝mv
炸裂后火箭的总动量为：p′＝－m1v1＋(m－m1)v2
根据动量守恒定律有：
mv＝－m1v1＋(m－m1)v2
代入数据解得：v2＝????????+?????????????????????????????
即炸裂后瞬间另一块运动方向与炸裂前火箭速度方向相同。
?
思考:爆炸系统机械能守恒吗？
机械能增加：ΔE=？
爆炸现象的三个规律
动量
守恒
由于爆炸是在极短的时间内完成的,爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力,所以在爆炸过程中,系统的总动量守恒
动能
增加
在爆炸过程中,由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能,所以爆炸后系统的总动能增加
位置
不变
爆炸的时间极短,因而作用过程中,物体产生的位移很小,一般可忽略不计,可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
五、动量守恒定律的应用爆炸问题
例9、　如图所示,木块A、B的质量均为m,放在一段粗糙程度相同的水平地面上,木块A、B间夹有一小块炸药(炸药的质量可以忽略不计)。让A、B以初速度v0一起从O点滑出,滑行一段距离后到达P点,速度变为?,此时炸药爆炸使木块A、B分离,发现木块B立即停在原位置,木块A继续沿水平方向前进。已知O、P两点间的距离为s,设炸药爆炸时释放的化学能全部转化为木块的动能,爆炸时间很短可以忽略不计,
重力加速度为g,求:
(1)木块与水平地面间的动摩擦因数μ;
(2)炸药爆炸时释放的化学能。
解析????(1)从O滑到P,对A、B有-μ·2mgs=?×2m×?-?×2m?(由【1】、【3】得到),解得μ=
?。
(2)在P点爆炸时,对A、B组成的系统有2m·?=mv(由【2】、【4】得到),炸药爆炸时释放的
化学能E0=?mv2-?×2m×?(由【1】、【5】得到),解得E0=?m?。
答案????(1)?????(2)?m?
v0
A
B
A
B
Ff
l1
l2
Δl
VB
VA
光滑水平面
Ff
动量守恒：mAv0+0=mAvA+ mBvB
思考:板块模型机械能守恒吗？
思考:板块模型在光滑的水平面上系统动量守恒吗？
机械能减小：Q=FfΔl
=????????mAv02-(????????mAvA2+????????mBvB2)
?
相互摩擦的滑动摩擦力属于内力，整个系统的外力即重力和支持力的和为零，所以系统动量守恒。
S
N
B
S
N
A
N2
G2
N1
G1
F吸
F吸
思考:光滑水平面上静止的载有磁铁的的小车呢？
相互吸引的磁力属于内力，整个系统的外力即重力和支持力的和为零，所以系统动量守恒。
vA
vB
动量守恒：0=mAvA+mB(-vB)
0=mAvA-mBvB
思考:系统机械能守恒吗？
机械能增加：ΔE=
(????????mAvA2+????????mBvB2)-0
?
?
六、用动量守恒定律解题的五个步骤
1.步骤
①矢量性:
②相对性：
③同时性：
④普适性：
规定正方向
v相对同一个参考系
针对作用前后的同一时刻
适合于宏观微观的一切领域
2.四性
v乙
例10、如图所示，甲车的质量是2 kg，静止在光滑水平面上，上表面光滑，右端放一个质量为1 kg的小物体.乙车质量为4 kg，以v0=5m/s的速度向左运动，与甲车碰撞以后甲车获得8m/s的速度，物体滑到乙车上.若乙车足够长，且上表面粗糙。（g取10 m/s2）求物块的最后速度
解:
乙碰甲，甲乙动量守恒
m乙v0=
m甲v甲+m乙v乙
m乙v乙=
乙、物体作用动量守恒
（m乙+m物）v共
得：v共=
0.8m/s
乙
甲
v0
v甲
v共
例11、如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg，mC＝2 kg.开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C发生碰撞．求A与C碰撞后瞬间A的速度大小．
解:A与C碰撞动量守恒，以向右为正方向.
mAv0＝mAvA＋mCvC
mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)v共
v共＝vC
得：vA＝2 m/s.
A与B再次共速动量守恒
A
B
C
v0
vc
vA
v共
例12、如图所示，甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平面上游戏，甲和他的冰车的质量共为M甲 =40kg，乙和他的冰车的质量也是40kg，游戏时甲推一个质量20kg的箱子，以大小为v0=1.0m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来,为避免相撞，甲将箱子推给乙，求为避免相撞，甲将箱子推出的最小速度(相对地面)?
解:
甲推箱子， 甲箱动量守恒
(m+M甲)v0=
mv物+M甲v甲
mv物+（-Mv0）
箱子撞乙， 乙箱动量守恒
=（m+M）v共
得：v物=
V甲=v共
=2.6m/s
????????+????????????+????????????????????+????????????????????
?
1.临界问题的临界状态与临界条件
临界
状态
从题设情景中看是否有相互作用的两物体“相距最近”“恰好滑离”“恰好不相碰”和“物体开始反向运动”等临界状态
临界
条件
临界条件常常表现在两物体的相对速度与相对位移上,“速度相等”是常见的临界条件。如果题干中出现“恰好”“最大”“最近”“不脱离”“最高点”等词语,通常是对临界状态给出了暗示。审题时,一定要抓住这些特定的词语挖掘其内涵,找出临界条件
七、动量守恒定律的应用——临界 问题
相距
最近
如图所示,光滑水平面上的A物体以速度v冲向静止的
B物体,A、B两物体相距最近时,两物体速度必定相等,
此时弹簧最短,其压缩量最大
如图所示,光滑水平面上有两个带同种电荷的物体A、B,在A
以速度v向静止的B靠近的过程中(设A、B不会接触),两者相
距最近时,速度必定相等
距离
最远
如图所示,物体A以速度v滑上静止在光滑水平面上的小车B,
当A在B上滑行的距离最远时,A、B相对静止,二者速度必定
相等
2.两种常见的临界问题
例13.(2022江苏吴县中学期中)如图所示,质量M=4 kg的滑板B静止在光
滑水平面上,其右端固定一根轻质弹簧,弹簧的自由端C到滑板左端的
水平距离L=0.5 m,这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数
μ=0.2,而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑。木
块A以速度v0=10 m/s由滑板B左端开始沿滑板B上表面向右运动。已
知木块A的质量m=1 kg。重力加速度g取10 m/s2。(????????=9.75)求:
(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度大小;
(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能;
?
解析　(1)弹簧被压缩到最短时,木块A与滑板B具有相同的速度,设为v,从木块A开始沿滑板B上表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中,系统动量守恒,规定向右为正方向,有mv0=(M+m)v,得v=????????+????v0
代入数据得v=2 m/s
(2)在木块A压缩弹簧的过程中,弹簧被压缩到最短时,弹簧的弹性势能最大,由能量守恒定律得弹簧最大弹性势能Epm=????????m????????????-????????(M+m)v2-μmgL
代入数据解得Epm=39 J

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