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北师大版八年级数学下册期末系统复习测试题
考试时间:120分钟 满分150分
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40）
1．我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（　　）
A．是轴对称图形
B．是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
2．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A．3ab2﹣12a＝3a（b2﹣4） B．a2+ab﹣2＝a（a+b）﹣2
C． D．a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4）
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°．则新钢架减少用钢（　　）
A．（24﹣12）m B．（24﹣8）m C．（24﹣6）m D．（24﹣4）m
5．全长360千米的吉图晖铁路客运专线被誉为东北最美高铁线，它不仅串起了一道道美丽的风景，更是丰富了时下“说走就走”的旅行新常态．该专线上，高铁运行时速约为普快列车（俗称“绿皮车”）的2倍；若中途均不停车，高铁列车全程运行时间比普快列车缩短1.5小时，求普快列车的运行时速．若设普快列车的运行时速是x千米/时，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，BE＝2，CE＝3，则平行四边形ABCD的周长是（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．如图，一次函数y＝kx+b与x轴，y轴分别交于A（2，0），B（0，1）两点，则不等式kx+b＞1的解集是（　　）
A．x＜0 B．x＜1 C．x＜2 D．x＞2
8．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，DE与BC交于点F，连接AF，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AB＝AE B．∠BFD＝∠BAD C．∠BAF＝∠CAE D．EF+CF＝DE
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点H恰为DE中点，若，则阴影部分的面积为（　　）
A． B．20 C．25 D．
10．如图，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，AD＝2，∠ADB＝135°，S△ABD＝8，设点D的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），若ab＝cd＝k，则k的值为（　　）
A． B．24 C． D．﹣24
二、填空题（本大题共5小题，每小题4否，总分20分）
11．计算的结果是 　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°、AD是角平分线，AB的垂直平分线分别交AB、AD于点E、F、若AC＝6，BC＝8，则BF的长为 　 　．
13．在平面直角坐标系中，一次函数y1＝m（x+1）+1和y2＝a（x﹣1）+2，无论x取何值始终有y1＞y2，则m的取值范围是 　 　．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝32°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜75°），与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E．若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为 　 　．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，P为直线AB上一动点．以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝4．则CQ的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共11小题，总分90分）
16．（1）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
（2）先因式分解，再计算求值：25（x+y）2﹣9（x﹣y）2，其中，y＝﹣1．
17．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，求四边形的面积．
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点分别在格点上．
（1）先将△ABC向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC以C点为中心，顺时针旋转90°，
①请在网格中画出旋转后的△A2B2C；
②在线段A1C1上确定一点P，使．
19．我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法．
例如：
x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．
例如：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1；
②（拆项法）x2﹣6x+8；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab+ac﹣bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
20．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，求证：DE＝BF．
21．2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗．
22．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用场景1﹣﹣﹣在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB＝2，以点O为圆心，OB的长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 　 　．
（2）应用场景2﹣﹣﹣解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.3m，将它往前推3m至C处时，水平距离CD＝3m，踏板离地的垂直高度CF＝1.3m，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索AC的长．
23．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，直接写出当x在什么范围内，不等式2x﹣4＞kx+b．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α（0°＜α＜30°）．将射线AB绕点A顺时针旋转2α得到射线l，射线l与直线BC的交点为点M．在直线BC上截取MD＝AB（点D在点M右侧），将直线DM绕点D顺时针旋转2α所得直线交直线AM于点E．
（1）如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数；
（2）当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系，并证明．
25．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
（1）由图1可知：∠A+　 　＝∠B+∠D；
（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有 　 　个，以点O为交点的“8字型”有 　 　个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝n∠CAP，∠CDB＝n∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，若点E是AB延长线上的一点，DE交CB于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线交于点G，直线GB交CD于点M，若∠DFC＝110°，则∠DGB＝　 　°．
北师大版八年级数学下册期末系统复习测试题
参考答案
一、单选题（本大题共10小题，每小题4否，总分40分）
1-5．BDCDA 6-10．BABCD．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4否，总分20分）
11．1．
12．．
13．m．
14．21°或66°或42°．
15．．
三、解答题（本大题共11小题，总分90分）
16．解（1）：，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜4，
∴不等式组的解集为2≤x＜4，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
（2）原式＝（5x+5y）2﹣（3x﹣3y）2
＝（5x+5y+3x﹣3y）（5x+5y﹣3x+3y）
＝（8x+2y）（2x+8y）
＝4（4x+y）（x+4y）；
∵，y＝﹣1，
∴原式＝4×（41）
＝4
＝﹣14．
17．解：延长DA和CB交于O，
∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠DAB＝∠C＝∠OAB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠O＝30°，
∵AB＝4，DC＝5，
∴OB＝2AB＝8，OD＝2DC＝10，
由勾股定理得：OA4，OC5，
∴四边形ABCD的面积是S△OCD﹣S△OABOC×CDOA×AB554×4．
18．解：（1）分别将点A、B、C向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点A1、B1、C1，连接各点，得平移后的△A1B1C1，如图所示：
（2）①利用网格特点，分别将CA、CB以C为中心顺时针旋转90°找出对应线段CA2、CB2，连接A2B2，得旋转后的△A2B2C，如图所示：
②如图，P点即为所求的点，理由如下：
由图可知，△PA2C中CP边上的高为2，△PB2C、CP边上的高为1，
∴
19．解：（1）①4x2+4x﹣y2+1
＝（4x2+4x+1）﹣y2
＝（2x+1）2﹣y2
＝（2x+1+y）（2x+1﹣y）
②x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+9﹣1
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
（2）a2﹣ab+ac﹣bc＝0
a（a﹣b）+c（a﹣b）＝0
（a﹣b）（a+c）＝0
∵a，b，c均为正数，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠CBA．
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE∠ADC，∠CBF∠CBA，
∴∠ADE＝∠CBF，
在ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF．
21．解：（1）设乙种树苗每棵的价格是x元、则甲种树苗每棵的价格是（x+10）元，
由题意可得：，
解得x＝30．
经检验，x＝30是原方程的根，
∴x+10＝40，
答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元；
（2）设可购买a棵甲种树苗，
由题意可得：0.9a×40+30×（100﹣a）≤3200．
解得：，
∵a为正整数，
∴a的最大值为33，
答：最多可购买33棵甲种树苗．
22．解：（1）在RtOAB中，
OB，OC＝OB，
又∵O为圆心，点C表示的数小于零，
∴点C表示的数是．
故答案为：；
（2）设秋千绳索AB的长度为x m，
由题意可得AC＝AB＝x m，
由题意知，四边形DCFE为矩形，BE＝0.3m，CD＝3m，CF＝1.3m，
∴DE＝CF＝1.3m，BD＝DE﹣BE＝1m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣1）m，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
即（x﹣1）2+32＝x2，
解得x＝5，
即AC的长度为5m，
答：绳索AC的长为5m．
23．解：（1）根据题意得，
解得，
则直线AB的解析式是y＝﹣x+5；
（2）根据题意得，
解得：，
则C的坐标是（3，2）；
（3）根据图象可得不等式的解集是x＞3．
24．解：（1）补全图形见图．
∵点D与点B重合，MD＝AB，∠BAM＝2α，
∴∠AMD＝∠BAM＝2α．
在Rt△ABC中，∠ACB﹣90°，
∴∠AMD+∠MAC＝90°．
∵∠BAC＝α，
∴∠AMD+∠BAM+∠BAC＝5α＝90°．
∴α＝18°．
∴∠MDE＝2α，
∴∠AED＝∠AMD+∠MDE＝2α+2α＝4α＝72°．
（2）补全图形如图．
ME＝2BC．
证明：如图，在BC的延长线上截取CF＝BC，连接AF．以点B为圆心BF为半径作弧，交AF于点N，连接BN．
∵CF＝BC，∠ACB＝90°，
∴AB＝AF．
∴∠BAN＝2∠BAC＝2α．
∴∠MDE＝2α，
∴∠MDE＝∠BAN＝2α．
∴在等腰△ABF中，∠F＝90°﹣α．
∵BN＝BF，
∴∠BNF＝∠F＝90°﹣α．
在Rt△AMC中，∠M＝90°﹣∠MAC＝90°﹣3α．
∴∠AED＝∠M+∠MDE＝（90°﹣3α）+2α＝90°﹣α．
∴∠AED＝∠BNF，
∴∠BNA＝∠MED．
∵DM＝AB，
∴△DME≌△ABN（AAS）．
∴ME＝BN
∵．BN＝BF，
∴ME＝BF＝2BC．
25．解：（1）∵∠A+∠C+∠AOC＝∠B+∠D+∠BOD＝180°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D，
故答案为：∠C．
（2）①线段CD，AP相交于点M，连接AC，DP，这是一个“8字型”，
线段CD，AB相交于点O，连接AC，DB，这是一个“8字型”，
线段CD，AN相交于点O，连接AC，DN，这是一个“8字型”，
线段AB，DM相交于点O，连接AM，BD，这是一个“8字型”，
线段AN，DM相交于点O，连接AM，DN，这是一个“8字型”，
故答案为：3，4；
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP，DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴；
③n∠P＝∠B+（n﹣1）∠C，理由如下：
由（1）可知，∠CAB+∠C＝∠B+∠CDB，
∵∠CAB＝n∠CAP，∠CDB＝n∠CDP，
∴n∠CAP+∠C＝∠B+n∠CDP，∠BAP＝（n﹣1）∠CAP，∠BDP＝（n﹣1）∠CDP，
∴，
由（2）②可知，2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∴2∠P+（n﹣1）∠CAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+（n﹣1）∠CDP，
∴2∠P＝∠B+∠C+（n﹣2）∠CDP﹣（n﹣2）∠CAP
＝∠B+∠C+（n﹣2）（∠CDP﹣∠CAP）
，
∴n∠P＝∠B+（n﹣1）∠C．
（3）∵AD∥BC，∠DFC＝110°，
∴∠ADF＝∠DFC＝110°，∠ADC+∠C＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC，
设∠FDC＝2x（x＞0），
∴∠ABC＝∠ADC＝110°+2x，
∵DG是∠FDC的角平分线，BM是∠ABC的角平分线，
∴，，
又∵AB∥CD，
∴∠DMG＝180°﹣∠ABM＝125°﹣x，
∴∠DGB＝∠GDM+∠DMG＝125°.

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