资源简介

2024年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．有理数2024的相反数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（　　）
A．2×109 B．2×108 C．0.2×108 D．2×107
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．（a+2）2＝a2+2a+4
C．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．a12÷a6＝a2
4．如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（　　）
A．热 B．爱 C．中 D．国
5．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
6．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
7．甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x个零件，可列方程为（　　）
A．﹣＝30 B．﹣＝30
C．﹣＝ D．﹣＝
8．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为（　　）
A．2 B． C． D．3
9．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（　　）
A．b+c＞1 B．b＝2 C．b2+4c＜0 D．c＜0
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．分解因式：3x2﹣18x+27＝　 　．
12．“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是 　 　．
13．若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 　 　．
14．如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB，外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD，…，以此规律作下去，若∠C＝m°，则∠En＝　 　度．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠BAD＝45°，若AC＝4，CD＝1，则△ABC的面积是 　 　．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣+2sin60°﹣（π﹣2024）0；
（2）解不等式组：．
17．（6分）先化简：（﹣）÷，再从﹣2，﹣1，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（8分）2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑，本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题，旨在增强全市民众科学健身意识，推动全民健身活动．本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：
等级 A B C D
分数段 90﹣100 80﹣89 70﹣79 60﹣69
频数 440 280 m 40
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 　 　名选手，m＝　 　，n＝　 　；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 　 　度；
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．
19．（8分）如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E．
（1）尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）
（2）若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）
20．（8分）“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
21．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标．
22．（10分）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
23．（10分）如图，BD是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，且AB＝AC，以AD为边作∠DAF＝∠ACD交BD的延长线于点F．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD交BD于点E，若CD＝3DE，求cos∠ABC的值．
24．（11分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于边长的倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO．
∴AB2＝AO2+BO2
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AB2＝　 　+　 　．
化简整理得AC2+BD2＝　 　．
[类比探究]
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．
[拓展应用]
（3）如图3，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E为AO的中点，点F为BC的中点，连接EF，若AB＝8，BD＝8，AC＝12，直接写出EF的长度．
参考答案
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
2．解：2亿用科学记数法表示为2×108，
故选：B．
3．解：a2+a3不能化简，故A选项错误；
（a+2）2＝a2+4a+4，故B选项错误；
（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，故C选项正确；
a12÷a6＝a6，故D选项错误；
故选：C．
4．解：根据图示知：“我””与“爱”相对；
“热”与“国”相对；
“们”与“中”相对．
故选：B．
5．解：一组数据“12，12，28，35，■”，该数据■在30～40之间，
四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误．
众数也变化，选项B错误．
中位数是28，不变，选项C正确．
因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误．
故选：C．
6．解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AMN＝∠2+∠3，
∵∠1＝80°，∠2＝40°，
∴∠3＝40°，
故选：B．
7．解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工1.2x个零件，
根据题意得﹣＝．
故选：D．
8．解：如图，延长BC交格点于E，连接AE，
由题意可得：AE⊥BE，AE＝4，EC＝2，
∴tan∠BCD＝tan∠ACE＝＝＝2，
故选：B．
9．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0）和（x2，0），且x1＜1，
∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，
由根与系数的关系可得，
﹣c﹣b+1＜0，
∴b+c＞1，
故选：A．
10．解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝4，
由勾股定理得：AC＝＝，
∴，
∵AD＝CE，
∴，
∴，
又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，
∴△CAE∽△ABD，
∴，
故结论①正确；
②∵△CAE∽△ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
故结论②正确；
③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，如下图所示：
∴∠AOB＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，
∵∠DFE＝135°，
∴点F在上运动，
∵AB＝4，
∴当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，
根据等腰直角三角形的性质得：AK＝BK＝AB＝2，∠AOH＝45°，
∴AK＝OK＝2，
在Rt△AOK中，由勾股定理得：OA＝＝，
∴OA＝OH＝OB＝OP＝，
∴KH＝OH﹣OK＝，
∴S△ABH＝AB KH＝＝，
故结论③正确；
④∵点F在上运动，
∴当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，
∵OM⊥CB，OK⊥AB，∠ABM＝∠ABC＝90°，
∴四边形OMBK为矩形，
∴OM＝BK＝2，BM＝OK＝2，
∴CM＝BC+BM＝4+2＝6，
在Rt△COM中，由勾股定理得：CO＝＝，
∴CP＝CO﹣OP＝，
即CF的最小值是，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．解：3x2﹣18x+27，
＝3（x2﹣6x+9），
＝3（x﹣3）2．
故答案为：3（x﹣3）2．
12．解：
∴P＝，
故答案为：．
13．解：方程去分母得：3﹣（kx﹣1）＝x﹣2
解得：x＝，
①当x＝2时分母为0，方程无解，
即＝2，
∴k＝2时方程无解；
②当k+1＝0即k＝﹣1时，方程无解；
故答案为：2或﹣1．
14．解：由题意，，
∴设∠E1AD＝α，∠E1BD＝β，则∠CAB＝3α，∠CBD＝3β，
由三角形的外角的性质得：β＝α+∠E1，3β＝3α+∠C，，
同理可求：， ……，，
即 ，
故答案为：．
15．解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，
，
∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝4，CD＝1，
∴AD＝＝，
∵∠DEA＝90°，∠BAD＝45°，
∴AE＝DE＝AD sin∠EAD＝，
∵∠DEB＝90°，∠C＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，AC2+BC2＝AB2，即BE2+＝BD2①，（BD+1）2+16＝（+BE）2②，
①变形得，BE＝ ③，
②化简得，BD2+2BD+17＝+BE+BE2④，
将①、③代入④并化简得，15BD2﹣34BD﹣172＝0，（BD＞0）
解得：BD＝，
∴BC＝，
∴S△ABC＝AC BC＝，
故答案为：．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．解：（1）原式＝4﹣3+2×﹣1
＝4﹣3+﹣1
＝3﹣2；
（2），
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤5，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤5．
17．解：原式＝
＝
＝
＝，
∵x﹣2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0，
∴x可以取1，
当x＝1时，原式＝＝2．
18．解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%＝800（名）；
所以m＝800×5%＝40，
所以n%＝＝5%，
即n＝5；
故答案为：800，40，5；
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数＝360°×＝126°；
故答案为：126；
（3）用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目．
画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为2种，
所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率＝＝．
19．解：（1）如图，CF、AF、CE为所作；
（2）四边形AECF平行四边形．
理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
而AE∥CF，
∴四边形AECF平行四边形．
20．解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）．
在Rt△DMN中，
∵tan∠DMN＝，
∴DN＝tan∠DMN MN＝tan30°×MN＝×6＝2（米）．
在Rt△AEF中，
∵sin∠AEF＝，
∴AF＝sin∠AEF EF＝sin45°×EF＝×4＝2（米）．
∵AF+DN＝AN+DF，
∴DF＝2+2﹣4.8
≈2×1.73+2×1.41﹣4.8
＝3.46+2.82﹣4.8
＝1.48
≈1.5（米）．
答：中轴上DF的长度为1.5米．
21．解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝﹣2a，
解得：a＝﹣3，m＝6，
即反比例函数的表达式为：y＝，点B（﹣3，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝x+1；
（2）设点C（x，0），
由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x﹣2）2+9，BC2＝（x+3）2+4，
∵∠BCA＝90°，
则AB2＝AC2+BC2，
即50＝（x﹣2）2+9+（x+3）2+4，
解得：x＝3或﹣4（舍去），
即点C（3，0）．
22．解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，
由题意得：25x+15（x+20）＝3500，
解得：x＝80，
∴x+20＝100，
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元；
（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，
由题意得：，
解得：595≤m≤600，
设收益为w元，
由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值＝﹣10×595+40000＝34050，
此时，1000﹣m＝1000﹣595＝405，
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．
23．（1）证明：如图所示，连接OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴∠OAB+∠OAD＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠DAF＝∠ACD，∠OBA＝∠ACD，
∴∠DAF＝∠OAB，
∴∠DAF+∠OAD＝∠OAB+∠OAD＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：如图所示，延长CD交AF于H，延长AO交BC于G，连接OC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，即CH⊥BC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴OA垂直平分BC，
∴AG⊥BC，
∴AG∥CH，
∵∠OAF＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AHC＝90°，
又∵∠ABE＝∠ACH，
∴△ABE≌△ACH（AAS），
∴AE＝AH，BE＝CH，
∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴DH＝DE，设DH＝DE＝a，则CD＝3a，
∴BE＝CH＝DH+CD＝4a，
∴BD＝BE+DE＝5a，
∴OA＝OD＝2.5a，
∴OE＝OD﹣DE＝1.5a，
∴
∴，
∴，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADE＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADE，
∴．
24．解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，
则点G（0，﹣5），则CG＝5﹣3＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），
则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，
解得：x＝1或﹣4，
即点P（1，0）或（﹣4，5）；
（3）存在，理由：
设点N（﹣1，m），
由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，
当AC＝AN时，
则18＝4+m2，
解得：m＝±，
则点N（﹣1，±）；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣3+或﹣1（不合题意的值已舍去），
则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+），
综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
25．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AB2＝AO2+BO2，
又∵AC＝2AO，BD＝2BO，
∴，
化简整理得AC2+BD2＝4AB2，
故答案为：AC2，BD2，4AB2；
（2）AC2+BD2＝2AB2+2AD2理由如下，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
∴∠DEA＝∠DEB＝∠CFB＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠CBF，
在△DAE和△CBF中，
∴△DAE≌△CBF（AAS），
∴AE＝BF，DE＝CF，在Rt△DBE中，DB2＝DE2+BE2＝DE2+（AB﹣AE）2
在Rt△CAF中，AC2＝CF2+AF2＝CF2+（AB+BF）2
∴AC2+BD2＝DE2+（AB﹣AE）2+CF2+（AB+BF）2
＝2DE2+AB2﹣2AB AE+AE2+AB2+2AB AE+AE2
＝2（DE2+AE2）+2AB2
＝2AD2+2AB2，
∴AC2+BD2＝2AB2+2AD2；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝8，BD＝8，AC＝12，
∴由（2）可得AC2+BD2＝2AB2+2AD2，
∴122+82＝2×82+2AD2，
解得：（负值舍去），
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8，
∴，OA＝OC＝6，，
如图所示，过点E、O分别作BC的垂线，垂足分别为M、G，连接OF，
∵F分别为BC的中点，
∴，
∵OG⊥BF，
∴，
∵F是BC的中点，
∴，
∴，
∴，
在Rt△OGC中，OG⊥BC，
∴，
∵E为AO的中点，
∴，
∵AO＝OC，
∴，
∴，
∵EM⊥BC，OG⊥BC，
∴EM∥OG，
∴，
∵，
∴，
∵EM∥OG，
∴△COG∽△CEM，
∴，
∴
在Rt△EMF中，．
故答案为：EF＝．

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