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初高暑假衔接 第八讲 二次函数与一元二次方程、不等式（含答案）
=一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式称为一元二次不等式.
其一般形式为或，其中均为常数，且.
一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的的零点.
例如：二次函数的两个零点是.
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
的解 或 所有实数
的解 无解 无解
解一元二次不等式的步骤：
①求对应一元二次方程的根；②根据二次函数图像与轴的相对位置确定一元二次不等式的解集.
示意图如下：
分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，然后再求解！
解下列二次不等式
（1）； （2） ； （3）
应满足什么条件才能使有意义？
若，解关于的不等式.
解下列分式不等式
； （2）； （3）
已知二次函数，令，解得.
求二次函数的解析式；
当关于的不等式恒成立时，求实数的范围.
方程有一个正根和一个负根，求实数的取值范围；
方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围；
取何实数值时，关于的方程的两个不相等的实根都大于2？
若关于的方程有两实根，且，，求实数的取值范围.
若关于的不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围；
若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
已知函数，当时恒有，求实数的取值范围；
已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围．
跟踪训练
解下列不等式：
； （2）；
（3） ； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）
二次方程的两根为，若，则不等式的解为 .
已知，则关于的不等式的解是( )
A.或 B.或 C. D.
若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足( )
A. B.或
C. D.或
在上定义运算：，则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
若不等式对任意的实数均成立，则实数的取值范围是 .
当时，方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
二次函数与一元二次方程、不等式
一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次是2的不等式称为一元二次不等式.
其一般形式为或，其中均为常数，且.
一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的的零点.
例如：二次函数的两个零点是.
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
的解 或 所有实数
的解 无解 无解
解一元二次不等式的步骤：
①求对应一元二次方程的根；②根据二次函数图像与轴的相对位置确定一元二次不等式的解集.
示意图如下：
分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，然后再求解！
解下列二次不等式
（1）； （2） ； （3）
【答案】（1）；（2）无解；（3）
应满足什么条件才能使有意义？
【答案】
【解析】要使有意义，则，解得.
若，解关于的不等式.
【解析】由得，
当，即时，解得；当，即时，解得；
当，即时，解得.
解下列分式不等式
； （2）； （3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），，解得；
，，，，解得；
，可化为，，
解得.
已知二次函数，令，解得.
求二次函数的解析式；
当关于的不等式恒成立时，求实数的范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由解得，
所以，解得，所以解析式为；
（2）由得恒成立，
则，解得，所以实数的范围为.
方程有一个正根和一个负根，求实数的取值范围；
方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围；
取何实数值时，关于的方程的两个不相等的实根都大于2？
若关于的方程有两实根，且，，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）解法一：令，
依题意知或解得；
解法二：依题意知，解得；
（2）解法一：令，则，解得；
解法二：依题意知，，解得；
（3）解法一：令，依题意知，解得；
解法二：依题意知，，解得；
（4）设，依题意知，解得.
若关于的不等式对任意的实数恒成立,求实数的取值范围；
若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
已知函数，当时恒有，求实数的取值范围；
已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【解析】（1）当时，不等式化为，不符合题意；
当时，要使对任意的实数恒成立，
则，解得；
（2）由得恒成立，
则，解得；
（3）设，依题意可知，解得；
（4）由时恒有得，设，
依题意可知或，
解得或，
综上所述，；
（5），设，
，所以是关于的一次函数，
依题意时恒成立，只需，解得.
跟踪训练
解下列不等式：
； （2）；
（3） ； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）.
二次方程的两根为，若，则不等式的解为 .
【答案】
已知，则关于的不等式的解是( )
A.或 B.或 C. D.
【答案】A【解析】，，由得，，，选A.
若关于的不等式的解中，恰有3个整数，则实数应满足( )
A. B.或
C. D.或
【答案】D
【解析】由得，当时，，依题意得；
当时，，依题意得，综上所述，或，选D.
在上定义运算：，则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
【答案】B
【解析】依题意得，解得，选B.
若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得恒成立，，恒成立，只需，解得，所以的取值范围是.
若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由得恒成立，
当，即时，不等式化为恒成立，符合题意；
当，即时，依题意得，解得，
综上所述，的取值范围是.
若不等式对任意的实数均成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时，不等式化为恒成立，符合题意；当时，则，解得，
综上所述，的取值范围是.
当时，方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】依题意方程有两个不相等的实根，
设，则，解得，
所以的取值范围为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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