资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
初高暑假衔接 第七讲 基本不等式（含答案）
基本不等式：对于任意的正实数，（当且仅当时，等号成立）
叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.
使用原则：
一正：一般要求同为正；
二定：或为定值；
三相等：当且仅当时，不等式取得等号.
已知矩形周长为8，则其面积最大值为多少？
已知某矩形的面积为6，则其周长最小值为多少？
已知，求的最小值；
若，有最大值还是有最小值？
已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
已知，则的最大值为 ；
已知，则的最大值为 .
某同学对求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处.
设，则的最小值为 .
已知，，则的最小值为 ；
已知，，则的最小值为 ；
已知，，则的最小值为 .
1、设，若，则的最小值为 ；
2、已知，，则的最小值为 .
已知，若，则的最大值为 ；
已知，若，则的最小值为 .
已知，，则的最小值为 ；
已知，，则的最小值为 .
若，则的最小值为 ；
已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
证明下列不等式：
；
已知为正数且，求证：.
跟踪训练
已知，且，在下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
已知，则的最小值为 .
已知点为直线第一象限上的点，则的最小值为 .
已知，当且仅当时，取得最小值，则实数 .
已知，且，则的最小值为 .
若实数满足，则的最小值为 .
已知，，则的最小值为 .
已知，且，则的最小值为 .
已知正数满足，那么的最小值为 .
已知，则的最大值为 .
当时，不等式的最小值为 .
已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.5
已知，则的最小值为 .
某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（空白部分）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中.
试用表示；
若要使最大，则的值分别为多少？
基本不等式 答案
基本不等式：对于任意的正实数，（当且仅当时，等号成立）
叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.
使用原则：
一正：一般要求同为正；
二定：或为定值；
三相等：当且仅当时，不等式取得等号.
已知矩形周长为8，则其面积最大值为多少？
已知某矩形的面积为6，则其周长最小值为多少？
【解析】（1）设矩形长和宽分别为，依题意，
则，，当且仅当时取等号，所以面积最大值为4；
依题意，则，当且仅当时取等号，
所以周长最小值为.
已知，求的最小值；
若，有最大值还是有最小值？
【解析】（1），，当且仅当，即取等号，所以的最小值为2；
（2），，，
当且仅当，即取等号，所以的最大值为.
已知，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，当且仅当时取等号，即，
又，当且仅当时取等号，即，所以，选D.
已知，则的最大值为 ；
已知，则的最大值为 .
【解析】（1），，，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为；
（2），，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.
某同学对求最小值，书写过程如下，请指出解法中的错误之处.
【答案】没有考虑取等号的条件，上述不等式当且仅当，即时取等号，
而，显然无法取等号.
设，则的最小值为 .
【解析】设，即，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
已知，，则的最小值为 ；
已知，，则的最小值为 ；
已知，，则的最小值为 .
【答案】（1）8；（2）；（3）.
【解析】（1）由已知得，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8；
（2）由已知得，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为；
（3）由，得，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
设，若，则的最小值为 ；
已知，，则的最小值为 .
【解析】（1），，，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为；
（2），，，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
已知，若，则的最大值为 ；
已知，若，则的最小值为 .
【答案】（1）2；（2）6.
【解析】（1），，，当且仅当时取等号，
解得，所以的最大值为2.
（2），，当且仅当，即时取等号，
，，，，
所以的最小值为6.
已知，，则的最小值为 ；
已知，，则的最小值为 .
【答案】（1）；（2）4.
【解析】（1），，，当且仅当，即时取等号，，
，，所以的最小值为.
（2），，，当且仅当，即时取等号，，，
，，所以的最小值为4；
若，则的最小值为 ；
已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】，，，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为16；
（2），且，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为5，选C.
证明下列不等式：
；
已知为正数且，求证：.
【证明】，
当且仅当时取等号；
为正数且，，
当且仅当时取等号.
跟踪训练
已知，且，在下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一：，且，，又，当且仅当时取等号，，最大，选D.
解法二：依题意可取，则，所以最大，选D.
已知，则的最小值为 .
【答案】3
【解析】，，，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.
已知点为直线第一象限上的点，则的最小值为 .
【答案】9
【解析】为直线第一象限上的点，且，即，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9.
已知，当且仅当时，取得最小值，则实数 .
【答案】16
【解析】，，当且仅当，即时取等号，
所以，解得.
已知，且，则的最小值为 .
【答案】36
【解析】，，，
当且仅当，即时取等号，，解得，即，
所以的最小值为36.
若实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
已知，，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，，，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
已知，且，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，且，，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
已知正数满足，那么的最小值为 .
【答案】
【解析】，，即，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
已知，则的最大值为 .
【答案】
【解析】，，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最呆滞为.
当时，不等式的最小值为 .
【答案】6
【解析】，，设，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6.
已知，且，则的最小值为( )
A.3 B.4 C. D.5
【答案】C
【解析】，且，，
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选C.
已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（空白部分）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为平方米，其中.
试用表示；
若要使最大，则的值分别为多少？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意可得，
则，即，；
（2），
当且仅当，即时取等号，所以时，取得最大值1352.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑