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利用二次函数解决以最大利润为代表的实际问题
【知识导航】
常用等量关系
增长后的量=增长前的量.________________
利润=售价__________
销售利润=销售总额-______________=每件利润×_____________
对于一些函数应用题常常还要结合自变量的取值范围，以此确定在这个范围内的最值，有时最值不一定在顶点处取得.
【典例导思】
题型一 利用二次函数解决最大利润问题
例1为实施“乡村振兴计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收销售前对本地市场进行调查发现:当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨.据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5 千元.请解答以下问题:
（1）求每天销量y(吨)与批发价x(千元/吨)之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大 最大利润是多少
【跟踪训练】
1.某工厂今年一月份生产护目镜的产量是20万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第一季度护目镜的产量y(万件)与x之间的关系应表示为_______________.
2.某电商准备销售甲、乙两种特色商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价多20元，用5000元购进甲种商品的数量与用4500元购进乙种商品的数量相等.甲乙两种商品的销售单价分别为在其进价基础上增加60%和50%.
(1)甲、乙两种商品每件进价分别为多少元
(2)该电商平均每天卖出甲商品200件，乙商品100件.经调发现:甲、乙两种商品销售单价都降低1元，这两种商品每天都可多销售2件.为了使每天获取更大的利润，该电商决定把甲、乙两种商品的销售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润最大？
题型二 与图象表格信息有关的问题
例2 某果园有果树60棵，现准备多种一些例 2果树提高果园产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75 kg.在确保每棵果树的平均产量不低于40 kg的前提下，设增种果树x(x>0且x为整数)棵，该果园每棵果树的平均产量为y kg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象(1)图中点P所表示的实际意义是_________________________________，每增种1棵果树，每棵果树的平均产量减少________kg；
求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
当增种果树多少棵时，果园的总产量W（kg）最大？最大产量是多少？
【跟踪训练】
3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是80m；②小球抛出后至3s，速度越来越慢；③小球抛出6s时速度为0；④小球的高度h=30 m时，t=1.8 s.
其中正确的是（ ）
A.①② B.①④ C.②③④ D.①②③
精准扶贫工作已经进人攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售.在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表:
x（天） 1 2 3 …… x
每天销售的量（千克） 10 12 14 ……
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图象.已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元.(利润=销售收入-成本)
将表格中的最后一列补充完整；
求y关于x的函数关系式；
销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
第一阶 基础夯实
1.160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率为x，则y与x的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
2.某产品每件成本为10元，试销阶段的售价为x元与销售利润y元满足，那么获利最多时的售价为（ ）
A.10元 B.25元 C.40元 D.55元
3.一件工艺品的进价为100元，标价135元出售每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（ ）
A.3.6元 B.5元 C.10 元 D.12 元
4.从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线的各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式，则喷头喷出水珠的最大高度是___________m.
5.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元.为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，则当销售单价是元____________时，每天获利最大.
6.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足:，.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为___________万元.
7.某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为___________元.
8.某企业投人60万元(只计人第一年成本)生产某种产品，按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算，该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24x，第一年除60万元外其他成本为8元/件.
求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后，其他成本下降2元/件.
①求该产品第一年的售价；
②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年的利润最少是多少万元？
9.建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经市场调查发现:搭建一个面积为x(x为整数)公顷的大棚，前期准备所需总费用由建设费用和内部设备费用两部分组成，其中建设费用与x成正比例，内部设备费用与x+2成正比例，部分数据如下:
求前期准备所需总费用2（万元）与大棚面积x（公顷）之间的函数关系式；
若种植1公顷蔬菜需种子、化肥、农药的开支共0.4万元，收获1公顷的蔬菜年均可卖9.4万元.设当年收获蔬菜的总收益(扣除修建和种植成本)为y万元，写出y与x之间的函数关系式；
当年种植的面积为多少公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最大值为多少？
第二阶 能力跃升
10.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系式.如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）
A.10 m B.15 m C.20 m D.22.5 m
11.距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h(米)与物体运动的时间
t(秒)之间满足函数关系，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是_________________；当2≤t≤3时，w的取值范围是___________________.
12.某商场准备购进A，B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多10元，且用16000元采购A种商品的件数是用7500元采购B种商品件数的2倍.
（1）每件A种和B种商品的进价分别为多少元
（2）该商场欲购进A.B两种商品共250进行销售，其中A种商品的件数不小于20件，且不大于B种商品的件数.若B种商品的售价定为210元/件，A种商品的售价与A种商品的销量之间的关系如下表所示：
商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案.
13.随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性受够了10000千克小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000元，放养30天的总成本为178000元.设这批小龙虾放养t天后的质量为a千克，销售单价为y元/千克，根据往年的行情预测，a与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示.
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为元问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大 最大利润是多少 (总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成本)

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