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期末应用题专项：长方体和正方体典型例题与跟踪训练-数学五年级下册人教版
典型例题
1．两根同样长的铁丝，一根正好围成一个长9厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体框架，另一根正好围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？（接头忽略不计）
2．某健身中心要修建一个游泳池，从里面量游泳池长为50米，宽为20米，高为2米。为了防止渗水，要在它的四壁和底部贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少？
3．一块长方体的钢材，它的横截面（侧面）是边长为0.5米的正方形，长是4米，这块长方体钢材的表面积是多少平方米？
4．在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心长方体（如图1），长方体的底面积是50平方厘米，容器内的水面恰好浸没长方体的上底面；将容器倒置，长方体有8厘米高露出水面（如图2）。
（1）在图2中，露出水面的长方体的体积是多少？
（2）整个实心长方体的体积是多少？
跟踪训练
1．一个正方体礼品盒，棱长总和是36分米，制作这个礼品盒至少需要多少平方分米的硬纸？
2．一个棱长为5厘米的正方体玻璃杯，已经装满水。现将水倒入长是6厘米，宽是5厘米，高4厘米的长方体玻璃杯内，共溢出多少毫升的水？
3．一个长方体油箱，从里面量长0.8m，宽0.24m，深0.5m，这个油箱能装油多少升？如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满多少瓶？
4．用下面的五块玻璃做一个无盖的长方体鱼缸。
（1）做这个鱼缸，至少需要多少平方分米的玻璃？
（2）这个鱼缸的占地面积是多少？
（3）这个鱼缸最多可以装多少升的水？（厚度不计）
5．一块面积为6.5平方分米的正方形木板如右图竖直放置，现让这块木板向右平移4.3分米，它扫过的空间形成的立体图形体积是多少立方分米？

6．爸爸下班开车回家，途中到加油站加95号汽油。加油前油箱内还剩汽油5升。当日油价如图所示，汽车油箱的容积为55升。爸爸的加油卡里还有350元钱，能将油箱加满吗？

7．一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数，这个长方体的体积是多少？
8．一根长方体木料，底面是边长为8分米的正方形，这根木料可以锯成完全相同的两个正方体，这根木料的体积是多少立方米？
9．一根长方体木料长2米，把它截成3段，表面积增加了14.4平方分米，这根木料的体积是多少立方分米？
10．在一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体水槽中，放入一个正方体的铁块，铁块完全浸入水中时水面上升了2厘米，这个铁块的体积是多少立方分米？
11．探索与发现。奇思想研究棱长2厘米的正方体拼成长方体后，表面积的变化情况。让我们一起来探索吧。
①如下图，2个正方体拼成长方体后，表面积会发生什么变化？
②如下图，3个正方体拼成长方体后，表面积会发生什么变化？
③如下图，如果有n（n≥2）个正方体拼成长方体后，表面积会发生什么变化？
……
12．小明从三个不同的方向观察一个无盖的长方体纸盒，从上面和前面观察的结果都如下图。（方格的边长为1厘米）
（1）请在方格图纸上画出从侧面观察得到的图形。
（2）做这样一个纸盒至少需要多大面积的纸板？（不考虑接缝处）
13．如图，是一个小礼盒的平面展开图（纸板厚度忽略不计）。这个小礼盒的体积是多少立方厘米，表面积是多少平方厘米？
14．一个花坛，底面是边长1.2米的正方形，四周用木条围成，高0.9米。
（1）这个花坛占地多少平方米？
（2）用泥土填满这个花坛，大约要多少立方米泥土？

15．一根长方体方钢，长是5米，横截面是一个边长为4厘米的正方形，如果每立方厘米方钢重7.8克，这根方钢重多少千克？
16．如下图，从一个大长方体上切下一个体积是180立方厘米的小长方体。原来大长方体的体积是多少立方厘米？
17．下图是用一个长6厘米，宽l厘米，高3厘米的长方体铁块加工成的一种零件。从长方体左、右两个角各切掉一个正方体。现在它的前后两面也即是涂上黄色油漆，其他的面涂上蓝色油漆（底面不涂）。
（1）涂黄色油漆和蓝色油漆的面积各是多少？
（2）这个零件的体积是多少？
18．如下图所示为一个长方体及其展开图。
（1）这个长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
（2）这个长方体的体积是多少立方厘米？

19．下图中左边的长方体是用棱长1cm的小正方体拼成的。
①右边的图形中哪一个是这个长方体6个面中的一个，用“√”标出来，并在下面的括号中注明有几个这样的面。
②求出这个长方体的表面积。
20．用一个底面积是20平方分米，高是5分米的长方体容器去测量鹅卵石的体积，原本容器中的水面高度为4分米，鹅卵石完全浸入后，容器中的水溢出了5.5升，这块鹅卵石的体积是多少立方分米？
典型例题解析
1．5厘米
【分析】已知用铁丝围成一个长方体框架，那么这根铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可求出这根铁丝的长度；
又已知围成正方体的铁丝与围成长方体的铁丝同样长，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出这个正方体的棱长。
【详解】铁丝的长度：
（9＋4＋2）×4
＝15×4
＝60（厘米）
正方体的棱长：60÷12＝5（厘米）
答：这个正方体的棱长是5厘米。
2．1280平方米
【分析】求贴瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面积的面积和，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】50×20＋（50×2＋20×2）×2
＝1000＋（100＋40）×2
＝1000＋140×2
＝1000＋280
＝1280（平方米）
答：贴瓷砖的面积是1280平方米。
3．8.5平方米
【分析】长方体的表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，据此解答即可。
【详解】表面积：
（平方米）
答：这块长方体钢材的表面积是8.5平方米。
【点睛】本题考查长方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积计算公式。
4．（1）400立方厘米；（2）650立方厘米
【分析】（1）露出水面的长方体是以底面积是50平方厘米，高恰好是8厘米，长方体的体积＝底面积×高。
（2） 密闭的容器两种放置的情况中，水的体积不发生改变，没有水的体积也不发生改变，由于第二种放置的时候，空白部分的体积＝高度为8厘米的长方体容器的体积－中间露出水面长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高分别计算出两种长方体的体积，即空白部分的体积是2800立方厘米，则图1放置空白部分的体积也是2800立方厘米，根据长方体的体积公式这时空白部分的高＝体积÷正方体密闭容器的底面积，即空白部分的高度是7厘米，则图1中实心长方体的高度＝正方体棱长－空白部分的高度。根据长方体的体积＝底面积×高，得出体积。
【详解】（1）50×8＝400（立方厘米）
答：露出水面的长方体体积是400立方厘米。
（2）20×20×8＝3200（平方厘米）
3200－400＝2800（立方厘米）
2800÷（20×20）
＝2800÷400
＝7（厘米）
20－7＝13（厘米）
13×50＝650（立方厘米）
答：整个实心长方体的体积是650立方厘米。
跟踪训练解析
1．54平方分米
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据分别代入公式解答即可。
【详解】36÷12＝3（分米）
3×3×6
＝9×6
＝54（平方分米）
答：制作这个礼品盒至少需要54平方分米的硬纸。
【点睛】此题考查了正方体的表面积公式的灵活运用，解题关键是正确计算正方体的棱长。
2．5毫升
【分析】先根据“正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长”求出水的体积；再根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”求出长方体玻璃杯的容积；最后用水的体积减去长方体玻璃杯的容积即可求出溢出的水的体积。
【详解】5×5×5－6×5×4
＝125－120
＝5（立方厘米）
5立方厘米＝5毫升
答：共溢出5毫升的水。
【点睛】此题主要考查了长方体、正方体体积（容积）计算公式及体积与容积单位的换算。解决此题关键是明确溢出的水的体积就是正方体玻璃杯的容积和长方体玻璃杯容积的差。
3．96L；192瓶
【分析】首先根据长方体的体积（容积）计算公式：长×宽×高，求出这个长方油箱的容积，再用长方油箱的容积除以瓶子的容积，即可求出能装满的瓶子数。
【详解】0.8m＝8dm，0.24m＝2.4dm，0.5m＝5dm
8×2.4×5
＝19.2×5
＝96（dm3）
96dm3＝96L
500mL＝0.5L
96÷0.5＝192（瓶）
答：这个油箱能装油96L，如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满192瓶。
【点睛】本题主要考查长方体的体积（容积）计算，关键是要熟练掌握计算公式和注意单位的统一。
4．（1）90平方分米；
（2）18平方分米；
（3）72升
【分析】（1）做一个无盖的鱼缸，只有一块，肯定作为这个鱼缸的下底面，那么两块当作鱼缸的前、后面；两块当作鱼缸的左、右面；所以长方体的长为6分米，宽为3分米，高为4分米，缺少上底面，可根据长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出做这个鱼缸需要的玻璃的面积。
（2）根据分析（1）可知，是鱼缸的下底面，所以根据长方形的面积公式，用6乘3即可求出这个鱼缸的占地面积。
（3）根据长方体的容积公式：V＝abh，代入长宽高的数据，即可求出这个鱼缸的容积，注意换算单位。
【详解】（1）6×3＋6×4×2＋3×4×2
＝18＋48＋24
＝90（平方分米）
答：至少需要90平方分米的玻璃。
（2）6×3＝18（平方分米）
答：这个鱼缸的占地面积是18平方分米。
（3）6×3×4＝72（立方分米）
72立方分米＝72升
答：这个鱼缸最多可以装72升的水。
【点睛】此题主要考查长方体的特征、长方体的底面积、表面积以及容积的计算方法。
5．27.95立方分米
【分析】看图，它扫过的空间形成了一个长方体，这个长方体的底面积是6.5平方分米，高是4.3分米。将底面积乘高，求出这个长方体的体积即可。
【详解】6.5×4.3＝27.95（立方分米）
答：它扫过的空间形成的立体图形体积是27.95立方分米。
【点睛】本题考查了长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高。
6．不能
【分析】已知加油前油箱内还剩汽油5升，要加满则需加（55－5）升，根据单价×数量＝总价，用8.05×（55－5）即可求出加满需要的价钱，再和350元比较即可。
【详解】8.05×（55－5）
＝8.05×50
＝402.5（元）
402.5＞350
答：不能将油箱加满。
【点睛】本题主要考查了小数乘法的计算和应用，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
7．立方厘米
【分析】根据题意，前面和上面两个面面积和为209，就是长×高＋长×宽＝209，长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，据此确定这个长方形的长、宽、高各是多少厘米，然后根据长方体体积的计算方法进行计算即可。
【详解】由分析可知，长×高＋长×宽＝209，
长×（高＋宽）＝209，
209＝19×11，
要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19
11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，不管怎么组合都有合数，
所以，宽＋高＝19符合要求，
19＝2＋17＝3＋16＝4＋15＝5＋14＝6＋13＝7＋12＝8＋11＝9＋10，只有2＋17的组合都是质数，
宽、高分别为2厘米、17厘米，
209÷19＝11（厘米）
所以，这个长方体的长是11厘米。
体积：11×17×2
＝187×2
＝374（立方厘米）
答：这个长方体的体积是374立方厘米。
【点睛】本题的关键是求出这个长方体的宽和高是多少，再根据长方体体积的计算方法进行计算。
8．1.024立方米
【分析】由题意可知，这根木料的长是8分米，宽是8分米，高是8×2＝16（分米），长方体的体积＝长×宽×高，把长、宽、高的数据代入公式计算即可。
【详解】8×2＝16（分米）
8×8×16
＝64×16
＝1024（立方分米）
1024立方分米＝1.024立方米
答：这根木料的体积是1.024立方米。
【点睛】此题考查了长方体的体积公式，解题的关键是求出长方体的高。
9．72立方分米
【分析】根据题意可知：把这根长方体木料截成3段后，表面积增加了14.4平方分米，表面积增加的是4个截面的面积，由此可以求得长方体的底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。
【详解】2米＝20分米
（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
14.4÷4＝3.6（平方分米）
3.6×20＝72（立方分米）
答：这根木料的体积是72立方分米。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，
10．9.6立方分米
【分析】铁块的体积等于上升的水面的体积，上升水面的体积＝容器的底面积×水面上升高度，代入数据计算即可。
【详解】2厘米＝0.2分米
8×6×0.2
＝48×0.2
＝9.6（立方分米）
答：这个铁块的体积是9.6立方分米。
【点睛】此题考查不规则物体的体积的求法，明确不规则物体的体积刚好是水面上升的体积是解题的关键，注意单位是否统一。
11．①减少8平方厘米；
②减少16平方厘米；
③减少8（n－1）平方厘米
【分析】①由图可知，把2个正方体拼成1个长方体后，长方体的表面积比原来2个小正方体的表面积之和减少2个正方形的面积；
②由图可知，把3个正方体拼成1个长方体后，长方体的表面积比原来3个小正方体的表面积之和减少2×2＝4个正方形的面积；
③由图可知，把n个正方体拼成1个长方体后，长方体的表面积比原来n个小正方体的表面积之和减少[2×（n－1）]个正方形的面积，据此解答。
【详解】①2×2×2
＝4×2
＝8（平方厘米）
答：长方体的表面积比原来减少8平方厘米。
②2×（3－1）
＝2×2
＝4（个）
2×2×4
＝4×4
＝16（平方厘米）
答：长方体的表面积比原来减少16平方厘米。
③2×2×2×（n－1）
＝4×2×（n－1）
＝8（n－1）（平方厘米）
答：长方体的表面积比原来减少8（n－1）平方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，根据减少小正方形的数量求出减少的表面积是解答题目的关键。
12．（1）见详解
（2）54平方厘米
【分析】（1）根据从上面和前面观察的图形可知，这个长方体纸盒的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘米，那么从侧面看到的是一个边长为3厘米的正方形。
（2）因为这个无盖的长方体纸盒少上面，求做这样一个纸盒至少需要纸板的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。
【详解】（1）从侧面观察得到的图形如图：

（2）4×3＋4×3×2＋3×3×2
＝12＋24＋18
＝54（平方厘米）
答：做这样一个纸盒至少需要54平方厘米的纸板。
【点睛】（1）根据从不同方向观察长方体得到的平面图形，由此确定长方体的长、宽、高。
（2）关键是先弄清无盖的长方体纸盒缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
13．70立方厘米；118平方厘米
【分析】观察图形可知，这个小礼盒的长为7厘米，宽为5厘米，高为（11－7）÷2厘米，再根据长方体的体积公式：V＝abh，长方体的的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此计算即可。
【详解】（11－7）÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
7×5×2
＝35×2
＝70（立方厘米）
（7×5＋7×2＋5×2）×2
＝（35＋14＋10）×2
＝59×2
＝118（平方厘米）
答：这个小礼盒的体积是70立方厘米，表面积是118平方厘米。
【点睛】本题考查长方体的体积和表面积，熟记公式是解题的关键。
14．（1）1.44平方米
（2）1.296立方米
【分析】（1）求这个花坛的占地面积，实际上是求这个长方体的底面积，长方体的长和宽都为1.2米，用1.2×1.2即可求出这个花坛占地面积。
（2）求填入泥土的体积，实际上是求这个花坛的容积，根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据，即可求出填入泥土的体积。
【详解】（1）1.2×1.2＝1.44（平方米）
答：这个花坛占地1.44平方米。
（2）1.2×1.2×0.9＝1.296（立方米）
答：大约要1.296立方米泥土。
【点睛】此题主要考查长方体的底面积以及容积的计算方法。
15．62.4千克
【分析】利用正方形的面积公式可求出这个长方体方钢的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入数据即可求出长方体方钢的体积，最后用方钢的体积乘每立方厘米方钢的重量，即可求出这根方钢的重量。
【详解】5米＝500厘米
4×4×500×7.8
＝16×500×7.8
＝8000×7.8
＝62400（克）
62400克＝62.4千克
答：这根方钢重62.4千克。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的体积公式解决实际问题。
16．540立方厘米
【分析】根据长方体的体积，可推导出，据此用180÷6可求出右面的面积；再用右面的面积×18可求出原来大长方体的体积。
【详解】180÷6×18
＝30×18
＝540（立方厘米）
答：原来大长方体的体积是540立方厘米。
【点睛】对于“长方体的体积＝底面积×高”的理解不要拘泥于“下底面的面积×高”，用长方体某一个面的面积与这个面垂直的棱的长度相乘就能求出它的体积。
17．（1）涂黄色油漆的面积是32平方厘米；涂蓝色油漆的面积是12平方厘米；（2）16立方厘米
【分析】（1）观察题意可知，从长方体左、右两个角各切掉一个正方体，正方体的棱长为1厘米；从前面看，前面的面积相当于一个长6厘米、宽3厘米的长方形减去两个边长为1厘米的正方形；根据长方形和正方形的面积公式，用（6×3－2×1×1）×2即可求出前后面的面积和，也就是涂黄色油漆的面积；从左面看是一个长3厘米，宽1厘米的长方形，从上面看是一个长6厘米，宽1厘米的长方形，根据长方形的面积公式，用3×1×2＋6×1即可求出上左右的面积和，也就是涂蓝色油漆的面积。
（2）根据长方体的体积公式和正方体的体积公式，用6×3×1－1×1×1×2即可求出这个零件的体积。
【详解】（1）黄色油漆：（6×3－2×1×1）×2
＝（18－2）×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
蓝色油漆：3×1×2＋6×1
＝6＋6
＝12（平方厘米）
答：涂黄色油漆的面积是32平方厘米；涂蓝色油漆的面积是12平方厘米。
（2）6×3×1－1×1×1×2
＝18－2
＝16（立方厘米）
答：这个零件的体积是16立方厘米。
【点睛】本题主要考查了立体图形的表面积和体积，关键是观察要求哪些面的面积。
18．（1）15；5；30
（2）2250立方厘米
【分析】（1）观察长方体及其展开图可知，长方体的长＝15厘米，宽＝（40－15×2）÷2，高＝30厘米；
（2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。
【详解】（1）（40－15×2）÷2
＝（40－30）÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
这个长方体的长是15厘米，宽是5厘米，高是30厘米。
（2）15×5×30＝2250（立方厘米）
答：这个长方体的体积是2250立方厘米。
【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体体积公式。
19．见详解
【分析】观察图形发现，这个长方体的长、宽、高分别是4厘米，3厘米，2厘米，据此找出长方体的6个面，再根据长方体的表面积公式求出表面积即可。
【详解】①如图

②表面积：
（平方厘米）
【点睛】本题考查长方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积计算公式。
20．25.5立方分米
【分析】由题意可知，这块鹅卵石的体积等于上升的水的体积加上溢出的水的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。
【详解】5.5升＝5.5立方分米
20×（5－4）＋5.5
＝20×1＋5.5
＝20＋5.5
＝25.5（立方分米）
答：这块鹅卵石的体积是25.5立方分米。
【点睛】本题考查求不规则物体的体积，结合长方体的体积公式是解题的关键。
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