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衢州市 2024年 6月高二年级教学质量检测试卷 f (9) = f ( 3) （ f (x)的周期为12）
f ( 3) = f ( 1) （ f (x)关于x = 2对称）
数学参考答案
f ( 1) = 2 f (3) （ f (x)关于(1,1)对称）
一、选择题：本题共 8个小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有 f ( 1) + f (3) = 2
一个符合题目的要求.
即 f (9) + f (3) = 2
1 2 3 4 5 6 7 8 故 C 正确
A D B A C C A B f (x)的周期为12
f (2) + f (3) + + f (13) = f (14) + f (15) + + f (25)=12
2 2 3 1
x + y + x y = 0
．解析：联立 2 2 ，得 4 2 ( 3 ) ， 258 2x + x + 3x = 0 x 2x + x + 3 = 0
2 f (i) = f (1) + 24 =1+ 24 = 25 y = x i=1
x (x +1)(2x2 2x + 3) = 0 x1 = 0, x2 = 1 P ( 1,1)， 故 D 正确
所以此题正确答案为 BCD
由C1 : y = x
2 . y = 2x .，
3 三、填空题：本题共 3个小题，每小题 5分，共 15分． 所以曲线C1 在 P 处的切线斜率为 k1 = y = 2 = tan ， , x= 1 ( 2 4 )
． ． （ 分）； 7 （ 分） ． 32 64 2

12 40 13 81 2 3 14 ,
1 27
3 3
1
曲线C 的圆心为 ( 3 1 , )， k = 4 = 3， 14．解析：外接球半径即为 ABD 外接圆的半径， 2 4 4 PC2 ( ) 3 1 ( BD4 ) 所以 2r = = 2BD (4,4 2 )，
sin A
所以圆 1 C2 在 P 处的切线斜率为 k2 = = tan ， (0, 3 4 ) 所以 4 3 32 64 2 V球 = r ,3 3 3
( ) tan + tan

+ , ， tan ( + ) = = 1，故 B 正确，A、C 错误，
2 1 tan tan 四、解答题：本题共 5个小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
1
2 15.解析：
tan ( ) = tan ( ) = 3 = 7，故 D 错误， （Ⅰ）由题意可知 a1 + a4 = 28 ，即 a1 + a1q
3 = 28 ， ---1 分
1
1+ ( 2) 又 a q43 = a q a q3 ，即a 2 ， a1 1 1 1 = a1 1 =1或a1 = 0(舍)， ---3 分
故选：B. q = 3， ---4 分
二、选择题：本题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多 an = a1q
n 1 = 3n 1,n N ； ---6 分 +
项符合题目的要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. （Ⅱ）令b = na n 1 ， ---7 分 n n = n 3
9 10 11 Sn = b1 + b2 + + bn ，
即 Sn =1+ 2 3
1 + + (n 1) 3n 2 + n 3n 1 ① ---9 分 ABD AC BCD
3S = 3+ 2 32 + + n 1
解析： ( ) ( ) ， ( ) ( ) n ( )
3n 1 + n 3n ② ---11 分
11. f 2x 1 + f 3 2x = 2 f x 关于 1,1 对称
n 1 n
f (x 2)为偶函数， f (x)关于 1 3 3 3 1x = 2对称 ①-②得： 2S =1+ 3+ 32 + + 3n 1n n 3
n = n 3n = n 3n
1 3 2
f (x)的周期T = 4 1 ( 2) =12 n 1 1 (2n 1) 3
n +1
S = 3n + = ,n N ---13 分
故 A 错 n ( 2 4 ) 4 4 +
f (2024) = f ( 4) （ f (x)的周期为12） 16.解析：
f ( 4) = f (0) （ f (x)关于x = 2对称） （Ⅰ）证明：因为 FG∥平面 ABC ， FG 平面 ACD ，平面 ACD 平面 ABC = AC ，
f (0) = 2 f (2)=0 （ f (x)关于(1,1)对称） 所以 FG∥AC ， ---2 分
又 FG 面 EFG ， AC 面 EFG ，
故 B 正确
所以 AC∥平面 EFG ； ---4 分
2024 年 6 月衢州市检测高二数学答案 2024 年 6 月衢州市检测高二数学答案
（Ⅱ）因为 E, F ,G 为 AB, AD,CD 中点，取 BC 中点 H ，
解得 1 6 1 6 = ，即 DG = . ---15 分
则平面 EFGH 即为平面 EFG 截正四面体 A BCD的截面， ---6 分 2 6 2 6
z
且 EFGH 为边长是 1 的正方形， ---7 分
2 A
所以 1S =截面 ； ---9 分 4 E
A
F x
y
B D
G
E F
M
C
B D
H G 17.解析：
C （Ⅰ） f (x) = ex a， ---1 分
（Ⅲ）方法一：取CD中点M ，连接 BM ，过点 E 作 BM 的垂线，垂足为 N ，连接 NG ①当 a 0 时， f (x) 0 y = f (x)在R 上单调递增； ---3 分
易知， EN ⊥平面 BCD，
②当 a 0时， f (x) 0 x lna, f (x) 0 x lna ， ---4 分
所以 EGN 即为直线 EG 与平面 BCD所成角， ---11 分
y = f (x)在 ( , lna)上单调递减，在 (lna，+ )上单调递增； ---6 分
又 6 ， ENEN = tan EGN = ，
6 NG （Ⅱ）①当 a 0 时， f (x) 0 y = f (x)在R 上单调递增，
所以 2 ， 分 x → 时， f (x)→ 与 f (x) 0矛盾， ---8 分 NG = ---13
2 ②当 a 0时，由（1）可知当 x = lna时， f (x) = a alna b 0， ---10 分
min
3 6 1 6
MN = ，所以GM = ，即DG = ---15 分
3 6 2 6 又 a 0， b a alna ， ab a
2 a2lna , ---11 分
A 令 g (x) = x
2 x2lnx(x 0) ，则g (x) = x (1 2lnx) , ---12 分
e
g (x) 0 0 x e,g (x) 0 x e ,当 x = e 时，g (x) = , ---14 分
E max 2
F
当 ea = e,b = 时， ab的最大值为
e
. ----15 分
B D 2 2
N G 18.解析：
M
C （Ⅰ）(i) P (X = 2) 2= ； ---4 分
3
方法二：如图，取CD 中 点 M 中，连接 BM 中，以 M 中为标原点点， MD,MB 中所在直线
1
分别为 x, y 轴，过点M 且与平面 BCD垂直的直线为 z 轴建立空间直角标原系， (ii)前 2k 2 次抽牌都只抽到对方手中的幸运数字牌，概率均为 ， 3
3 6 2k 2 k 1
E (0, , )，设 DG = DC = ( ,0,0)， ( ) (1 ) 2 2 (13 6 所以 P X = 2k = = ) ,k N ； ---10 分 3 3 3 9
所以MG = MD + DG = ( 1 + ,0,0)，即 ( 1G + ,0,0)， （Ⅱ）记乙方获胜为事件 A ， 2 2
k2 (1 1 3 6 1 )
所以 kEG = ( + , , )， ---10 分 3 9 方法一：则 ( ) ( ) 3 (1 32 3 6 P A = P X = 2k = = lim 1 ) = . ---13 分 1 k→ 4 9k=1 1 4
又平面 BCD的法向量为 n = (0,0,1)， ---11 分 9
乙方获得积分的期望为 E1 =100P (A) = 75 , ---14 分 6
EG n
所以 1sin = cos EG,n = = 6 = ， ---13 分 则甲方获胜的概率为 1P (A) =1 P (A) = ， ---15 分
EG n 2 3 2 4 +
4 甲方获得积分的期望为 E2 = 200P (A) = 50 , ---16 分
因为 E E ，所以我会选择乙方进行游戏. ---17 分 1 2
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方法二： ( ) 2 1P A = + (1 P (A))，即 3P (A) = . ---13 分
3 3 4
下同法一.
19.解析：
（Ⅰ）当 P 与点点O重合时，可设 A(x0 , y0 )(x ，则有 、 ， 0 0) B ( x0 , y0 ) T (x0 , y0 )
且 x0 = 2y0 ， AT ⊥ BT ,
则 1 1 8S ABT = AT BT = 2y0 2x0 = ， ---1 分 2 2 9
即 42y2 = ， y 2 20 0 = ，则
8
x 20 = ， ---3 分 9 9 9
即有 2 8+ =1，由离心率为 2 ，即 c 2= ，
9a2 9b2 2 a 2
则 a2 1 8= 2c2 = b2 + c2 ， a2 = 2b2 ，即有 + =1，
9b2 9b2
解得b2 =1， a2 = 2， ---5 分
y2
即C 的方程为 + x2 =1； ---6 分
2
（Ⅱ）设直线 t tl 方程为 x = 2y + t ，令 x = 0 ，有 y = ，即 yP = ， ---7 分 2 2
设点 A(x1, y1 )、 B (x2 , y2 )，则T (x1, y ， 1 )
x = 2y + t

联立直线与椭圆方程： y2 ，消去 x有9y
2 + 8ty + 2t2 2 = 0，
+ x
2 =1
2
有 8t ， 2t
2 2
y1 + y2 = y1 y9 2
= ， ---9 分
9
Δ = 64t2 36(2t2 2) 0 ，得 3 t 3， ---10 分
y
l 为 y = 2
+ y1 (x x ) + yBT ， x2 x
2 2
1
x y x y x y + x y
令 y = 0 ， x = 1 2 2 2 + x = 1 2 2 1Q 2 ， ---11 分 y1 + y2 y1 + y2
2t2 2
x1y2 + x y (2y + t ) y
4
由 中，得 2 1 1 2
+ (2y2 + t ) y1 4y y 1
x = 2y + t = = 1 2 + t = 9 + t = 中，
y + y 8t t1 2 y1 + y2 y1 + y2
9
即 1xQ = ， ---13 分 t
2
2 2 t
则 1 t 1C OPQ = yP + xQ + yP + xQ = + + + + 2 t 4 t2
t 1 t2 1
2 + 2 = 2 +1， ---16 分
2 t 4 t2
当且仅当 t = 2 时等号成立， ---17 分
故 OMN 周长的最小值为 2 +1 .
2024 年 6 月衢州市检测高二数学答案衢州市2024年6月高二年级教学质量检测试卷
数 学
考生须知：
1. 全卷分试卷和答题卷。考试结束后, 将答题卷上交。
2. 试卷共 4 页, 有 4 大题, 19 小题。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
3. 请将答案做在答题卷的相应位置上, 写在试卷上无效。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个符合
题目的要求.
1. 已知复数，则
A. B. C. D.
2. 设随机变量，则的数学期望为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
3. 已知直线 与平面 ，则 “ ” 是“直线 与平面 无公共点”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某圆锥的轴截面是腰长为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
5. 已知向量 ，且 ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
6. 在中，，是 的中点， ，则 的取值范围为
A. B. C. D.
7. 若曲线 有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知曲线 ，曲线，两曲线在第二象限交于点， 在 处的切线倾斜角分别为，则
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列论述正确的是
A. 样本相关系数 时，表明成对样本数据间没有线性相关关系
B. 由样本数据得到的经验回归直线 必过中心点
C. 用决定系数 比较两个回归模型的拟合效果时， 越大，表示残差平方和越大，模型拟合
效果越差
D. 研究某两个属性变量时，作出零假设 并得到 列联表，计算得 ，则 有
的把握能推断 不成立
10. 已知 是双曲线的右焦点， 为其左支上一点，点 ，则
A. 双曲线的焦距为 6
B. 点 到渐近线的距离为 2
C. 的最小值为
D. 若 ，则 的面积为
11. 已知函数 的定义域为 ，若 ，且 为偶函数， ，
则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为 . (用数字作答)
13. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练, 第 1 次由甲将球传出, 每次传球时, 传球者都等 可能地将球
传给另外三个人中的任何一个人. 则 4 次传球的不同方法总数为 （用 数字作答）； 4 次
传球后球在甲手中的概率为 .
14. 如图，等腰直角三角形中，，，是边上一动点（不包括端点）. 现
将沿折起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球体积的
取值范围是 .
四、解答题： 本题共 5 个小题，共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
15. （本小题满分 13 分）
已知数列为等比数列，成等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和 .
16.（本小题满分15分）
如图，在棱长为 1 的正四面体中，是的中点，分别在棱和上（不含
端点），且平面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若为中点，求平面截该正四面体所得截面的面积；
（Ⅲ）当直线与平面所成角为时，求.
17. （本小题满分 15 分）
已知函数.
（Ⅰ） 讨论的单调性；
（Ⅱ）若，求的最大值.
18. （本小题满分 17 分）
某学校的数学节活动中，其中有一项“抽幸运数字”擂台游戏，分甲乙双方，游戏开始时，甲
方有2张互不相同的牌，乙方有3张互不相同的牌，其中的2张牌与甲方的牌相同，剩下一张
为“幸运数字牌”.
游戏规则为：
①双方交替从对方抽取一张牌，甲方先从乙方中抽取；
②若抽到对方的牌与自己的某张牌一致，则将这两张牌丢弃；
③最后剩一张牌（幸运数字牌）时，持有幸运数字牌的那方获胜.
假设每一次从对方抽到任一张牌的概率都相同.
奖励规则为：
若甲方胜可获得200 积分，乙方胜可获得100 积分.
（Ⅰ）已知某一轮游戏中，乙最终获胜，记为甲乙两方抽牌次数之和.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求，；
（Ⅱ）为使获得积分的期望最大，你会选择哪一方进行游戏？并说明理由.
19. （本小题满分 17 分）
已知椭圆的离心率为 ，斜率为的直线与轴交于点，与
交于两点，是关于轴的对称点. 当与原点重合时，面积为.
（Ⅰ） 求的方程；
（Ⅱ）当异于点时，记直线与轴交于点，求周长的最小值.

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