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2023-2024学年数学八年级下册苏科版期末质量检测卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列事件中是确定事件的是（ ）
A．14人中至少有2人在同一个月过生日 B．小明投篮一次得3分
C．一个月有30天 D．小林参加马拉松比赛，成绩是第一名
2．如图是某商品月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是（ ）
A．1月 B．2月 C．3月 D．4月
3．若关于x的分式方程无解，则（　　）
A． B．0 C．1 D．
4．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之左右移动，已知是边的中点，连接，．下列判断正确的是　　
结论Ⅰ：在移动过程中，的长度不变；
结论Ⅱ：当时，四边形是平行四边形．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
8．正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（ ）
A．24 B． C．27 D．
10．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的垂线，垂足为点B，点C在y轴上，且则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．要使有意义，则的取值范围是 ．
12．在质地均匀的小立方体中，有一个面上标有数字1，有两个面上标有数字2，有三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是 ．
13．若分式的值为零，则的值为 ．
14．如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ．
15．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ．
16．如图，一次函数与的图像相交于点P，那么 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解分式方程：．
18．计算：．
19．先化简，再求值：，再从，，，中选择一个合适的数作为的值代入求值．
20．如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：．

21．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢 如能找到两个数m，n（，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如：化简，∵，且，，∵，．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，n（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定化简．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)化简：；
(3)计算：．
22．“垃圾分一分，环境美十分”．某社区为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
(1)购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
(2)若该社区决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的七折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了．那么该社区此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
23．已知在正方形中，点是对角线上一点．
(1)如图1连接，若，，求出的长．
(2)如图2，过点作于点，交于点，点、分别在、上（不与端点重合），连接，，若，，求证：．
(3)如图3，在（1）的条件下，线段上有一动点，当的值取得最小时，直接写出的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点．
(1)点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)动点在第一象限内，且满足；
若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标；
若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了随机事件以及确定事件，正确区分各事件是解题的关键．直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．
【详解】解：A、14人中至少有2人在同一个月过生日，是确定事件，故此选项符合题意；
B、小明投篮一次得3分，是随机事件，故此选项不符合题意；
C、一个月有30天，是随机事件，故此选项不符合题意；
D、小林参加马拉松比赛，成绩是第一名，是随机事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查折线图，从折线图中获取信息作答即可．
【详解】解：由图可知：
1月，利润是；
2月，售价，进价是，此时利润大于2；
3月，售价小于4，进价是3，此时利润小于1；
4月，利润是
综上3月份的利润小于1，最小，
故选C．
3．A
【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程无解问题，通过分析确定该分式方程的增根为是解题关键．
解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，求解即可获得答案．
【详解】解：，
去分母，得，
合并同类项、系数化为1，得，
由题意可知，分式方程的增根为，
即有，解得．
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为天，则慢马需要的实际为天，快马需要的实际为天，再根据速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍列出方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，则慢马需要的实际为天，快马需要的实际为天，
由题意得，，
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键．连接，根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答．
【详解】解：连接，

∵点B的坐标是，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以判断结论Ⅰ；根据，证明，，即可判断结论Ⅱ，进而可以解决问题．
【详解】解：是边的中点，，
，故结论Ⅰ正确；
，
四边形是矩形，
，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，故结论Ⅱ正确，
故选：A
8．A
【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可．
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为，
∴另一个交点与点关于原点对称，
∴另一个交点是．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用，设两个小正方形的边长分别为a，b，不妨设，，根据题意，，，由完全平方公式求得即可．
【详解】解：设两个小正方形的边长分别为a，b，不妨设，，
根据题意，，，即，
由得
，
即，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，便可求得结果．
【详解】解：连接，如图，
轴，
，
，
，
，
．
故选：C．
11．/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式等知识，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
先根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式即可得到答案．
【详解】解：要使有意义，
，
解得，
故答案为：．
12．3
【分析】根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，
向上一面的数字可能性最大的是3；
故答案为：3．
【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
13．2
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可．
【详解】由题意得：且
解得：
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键．
连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解．
【详解】解：连接，
∴正方形中，，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
由折叠的性质可知：，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边和角平分线定义，根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定得出，，进而可得和的长，然后根据线段和差即可求解，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质和角平分线定义解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．5
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式．由图象得出交点纵坐标是5是解题的关键．
由图象可得交点P的纵坐标为5，代入一次函数，求得点P坐标，再把点P坐标代入反比例函数求解即可．
【详解】解：对于一次函数，
当时，则，
解得：，
∴，
把代入，得，
故答案为：5．
17．
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
18．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
19．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先计算括号内分式减法运算，然后将除法转换成乘法进行约分化简，最后选取符合题意的代入求值，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键．
【详解】解：
，
，
，
，
由题意得，且，
∴时，
原式，
．
20．见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、对顶角相等、全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质可得，，由对顶角相等可得，再根据平行线的性质可得，从而可证，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴．
21．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键．
（1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案；
（2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案；
（3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案．
【详解】（1）解：∵且，
，
，
故答案为：；
∵且，
，
，
故答案为：；
（2）解：∵且，
，
，
；
（3）解：
，
，，
22．(1)购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元
(2)该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，找出等量关系即可列出方程，或找到不等关系列出不等式：
（1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元，根据“用3000元购买A品牌垃圾桶的数量是用2000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍”即可列出分式方程，求解后检验即可解答；
（2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据“该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶”即可列出不等式，求解后取最大值即可解答．
【详解】（1）解：设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元．根据题意，得：
，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴
答：购买一个A品牌需要120元，购买一个B品牌的垃圾桶需160元．
（2）解：设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶．根据题意，得
，
解得：，
∵n取整数，
∴n的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B品牌垃圾桶．
23．(1)；
(2)见解析
(3)当的值取得最小时，．
【分析】（1）连接，可求得和的长，进而得出和的长，进而得出的长，进一步得出结果；
（2）延长，交于，连接，，可证得，从而，进而证明，从而，从而得出，进一步得出结论；
（3）作，作于，作于，交于，作于，可推出，从而，从而得出当点在处时，最小，可得出，进而得出，设，则，，从而得出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：如图1，连接，
四边形是正方形，
，，，，，，
，
，，，
，
；
（2）证明：如图2，延长，交于，连接，，
，
，
由（1）知：，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，
作，作于，作于，交于，作于，
，
，
当点在处时，最小，
，，
，
，
设，则，，
，
，
当的值取得最小时，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
24．(1)，；
(2)；或或或．
【分析】（）根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入求出点坐标；
（）首先根据求出的面积，再根据 ，得出点的横坐标，从而得出答案；
由知，点在直线上，设直线交轴于，分 ，，三种情形，分别利用菱形的性质可得答案．
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：，；
（2）由题意知，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴的坐标为；
由知，点在直线上，设直线交轴于，

当时，若点在第一象限，
∴，
∴，
当点在第四象限时，不符合题意，舍去，
当时，

同理得，，，
当时，点，
则点与关于对称，
∴，

综上，所有点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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