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2024年安徽省省各地市中考数学一模压轴题精选
温馨提示： 本卷共45题，题目均选自2024年安徽省各地市一模试题。 本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。 本卷难度较大，适合基础较好的同学。
第一部分 代数部分
1.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2024·安徽省六安市)已知，，是互不相等的三个实数，且，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知，，为实数，且，，则，，之间的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.(2024·安徽省滁州市)如图，正方形的顶点，在轴上，反比例函数的图象经过点和的中点，若，则的值是______．
5.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知直角三角形中，，，将绕点旋转至的位置，且为中点，在反比例函数上，则的值______．
6.(2024·安徽省合肥市经开区)如图， 的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知 的面积是，则点的坐标为______．
7.(2024·安徽省亳州市)如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
若点坐标为，则 ______；
若，则的面积为______．
8.(2024·安徽省宿州市)如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点连接．
的面积为______；
若，，则的值为______．
9.(2024·安徽省合肥市蜀山区)在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．
若对于，，有，则 ______；
若对于，，都有，则的取值范围是______．
10.(2024·安徽省芜湖市)已知抛物线经过点和点．
求该抛物线的解析式；
若该抛物线与轴交于点，求的面积；
当自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，求的最小值，并求出对应的的值．
11.(2024·安徽省宿州市)在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为顶点的抛物线与直线相交于，两点．
求该抛物线和直线的函数表达式；
点位于直线下方的抛物线上，轴，交直线于点，求线段的最大值；
若点，分别是该抛物线和线段上的动点，设线段与轴交于点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．
12.(2024·安徽省六安市)如图，二次函数的图象与轴交于为原点，两点，已知二次函数图象经过点．
求二次函数的表达式；
已知轴上一点，点是二次函数图象上位于轴下方的一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为．
求直线表达式；
当取最大值时，求点的坐标．
13.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
求抛物线的表达式；
当时，抛物线有最小值，求的值；
若点是第四象限内抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值．
14.(2024·安徽省亳州市)已知抛物线经过点和．
试确定该抛物线的函数表达式；
如图，设该抛物线与轴交于，两点点在点左侧，其顶点为，对称轴为，与轴交于点．
求证：是直角三角形；
在上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15.(2024·安徽省滁州市)如图，抛物线经过，，三点，为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，与相交于点于．
求抛物线的函数表达式；
求线段长度的最大值；
连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点．
求抛物线的表达式；
如图，点，在轴上在的右侧，且，，过点，分别作轴的垂线交抛物线于点，，连接，，，并延长交于点．
求的长用含的代数式表示；
若的面积记作，的面积记作，记，则是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．
17.(2024·安徽省合肥市经开区)如图是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形杯体厚度不计，点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度即，之间的距离为以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系个单位长度表示．
求杯体所在抛物线的解析式；
将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围；
将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处，如图
请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标：
请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
第二部分 几何部分
18.(2024·安徽省滁州市)如图所示，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是、，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
19.(2024·安徽省宿州市)如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
20.(2024·安徽省六安市)如图，中，点，分别是，的中点，点在上，且，则下列结论中不正确的是( )
A. 平分 B.
C. D.
21.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，正方形中，，点，分别在边，上，点在对角线上，，，下列结论错误的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 若的最小值为，则
C. 若，则的最小值为
D. 若的最小值为，则
22.(2024·安徽省芜湖市)如图，在矩形中，，点，分别在，上，且，连接，，，连接交于点，交于点，则下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
23.(2024·安徽省宿州市)如图，在中，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，则以为边长的正方形的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
24.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
25.(2024·安徽省亳州市)已知，如图，在中，，平分点，分别是边，上的点点不与点，重合，且，与相交于点有下列结论：∽；若，，则；若，，且，则：：其中正确的是( )
A. B. C. D.
26.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，中，高，相交于点，连接，若，，，则 ______．
27.(2024·安徽省六安市)如图，在中，平分，是上一点，且则：
______填“”或“”或“”；
若：：，，则的长是______．
28.(2024·安徽省合肥市经开区)在矩形中，，，点为线段上的动点，将沿折叠，使点落在点处．
当点落在矩形对角线上时，则的长为______；
当是以为腰的等腰三角形时，则的长为______．
29.(2024·安徽省滁州市)在矩形中，，点为边上一点，，为的中点，
______；
若，、相交于点，则 ______．
30.(2024·安徽省芜湖市)如图，在中，，，，点为上一点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．
当点是的中点时，的最小值为______；
当，且点在直线上时，的长为______．
31.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上不与两端点重合．
若为线段的中点，则 ______；
折痕的长度的取值范围为______．
32.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，是半圆的直径，是半圆上不同于，的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连接，，．
求证：；
若，，求的长．
33.(2024·安徽省宿州市)如图，中的两条弦于，点在上，连接交于，交于．
若，，求的长；
分别连接，，求证：．
34.(2024·安徽省滁州市)如图，在中，，以为直径的与交于点，与边交于点，过点作的垂线，垂足为．
求证：为的切线；
若，，求的半径及的值．
35.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，中，，，点、分别在边、上，连接、，恰好，过点作的垂线，垂足为点，且交边于点．
设，用含的代数式表示为______；
求证：∽；
求的值．
36.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，是的直径，是一条弦，是弧的中点，于点，交于点交于点，交于点．
求证：；
若，，求的半径．
37.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知是的内接三角形，是的直径，是的弦，连接，交于点．
求证：；
如图，连接、，若，且，，求的长．
38.(2024·安徽省芜湖市)四边形内接于，．
如图，若，求的度数；
如图连接交于点．
求证：；
若，，，求的长．
39.(2024·安徽省滁州市)如图，在中，，，点为边的点，点是边上的点，：：，连接，且．
求证：；
求证：；
连接，求的值．
40.(2024·安徽省六安市)如图，已知等腰和等腰有公共的顶点，且，，，点恰好落在边上与、不重合，连接．
求证：；
若与相交于点，求证：；
若，，且，求的长．
41.(2024·安徽省亳州市)如图，在正方形中，是的中点，在延长线上取点，使，过点作交于点，交于点，交于点，连接，，．
求证：∽；
若正方形的边长为．
求的值；
求四边形的面积．
42.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，在中，，，点为上一点，连接，点是的中点，连接，交于点，过点作于点．
求证：∽；
如图，连接，解决以下问题：
求的度数；
求证：．
43.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知：如图，在中，，是的平分线，连接、，且于点．
求证：；
如图，点、分别是边、上的点，且于点，求的值．
44.(2024·安徽省宿州市)在四边形中，对角线，相交于点，．
如图，若，求证：；
已知．
如图，若，求证：；
如图，分别取，的中点，，连接，求的值．
45.(2024·安徽省芜湖市)已知在正方形中，，点，分别在边，上，且，连接，．
如图，连接交于点，若，求证：；
如图，连接，，若，求的长；
如图，连接，过点作，垂足为，交于点，求证：．
参考答案
1.【答案】
【解析】解：把代入得，，
因为直线经过第一、二、三象限，
所以，，即，
所以的范围为，
因为，
所以的范围为．
故选：．
先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则的范围为，接着用表示，然后根据一次函数的性质求的范围．
本题考查了一次函数与系数的关系，解决本题的关键是用表示出的值．
2.【答案】
【解析】解：，
．
．
，
．
故选：．
根据完全平方公式以及偶次方的非负性解决此题．
本题主要考查完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式以及偶次方的非负性是解决本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据得，根据得，则，即可得，综上，即可得．
本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得：设，则，
可得：，
解得：，
故C，
反比例函数的图象经过点，
，
．
故答案为：．
根据正方形的性质以及结合已知表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出点坐标是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：连接，作轴于点，
由题意可得：，是的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在反比例函数上，
，
故答案为：．
连接，作轴于点，先证明是等边三角形，求出，，再得出，进而得出，求出，即可得出答案．
本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则过点，
点在反比例函数的图象上，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，，
，
，
由于是 的对角线，且，于是可设，
正方形的面积为是，
即，
解得负值舍去，
点的坐标为，
故答案为：．
由点在反比例函数的图象上，可求出的值，再利用反比例函数系数的几何意义求出，再根据平行四边形的性质得出，根据对角线过点，可得点的纵横坐标相等，设未知数表示正方形的面积，即可求出点坐标．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义以及平行四边形的性质，理解反比例函数系数的几何意义以及平行四边形的性质是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：点在一次函数的图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
．
故答案为：；
若，则反比例函数解析式为，联立方程组，解得，或，
，
在一次函数中，令则，
，
．
故答案为：．
先求出点坐标，再利用待定系数法求出值即可；
联立方程组求出点点坐标，根据三角形面积计算方法计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
8.【答案】
【解析】解：经过坐标原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
点关于原点成中心对称图形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，
，，
，
，
，
，
，
丨丨，
反比例函数图象在第二象限，
．
故答案为：．
根据反比例函数值的几何意义以及中心对称图形图形的性质即可求得三角形面积；
连接，三线合一可知三角形是直角三角形，利用比例关系的平方等于面积之比，可求得值．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握比例关系的转化是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：若对于，，有，
得，关于对称轴对称，
则；
故答案为：；
由抛物线开口向下，
对于，，即都有，
得到对称轴的距离比到对称轴的距离近，
故与的中点在对称轴的右侧，
故，
故．
故答案为：．
由对于，，有，得，关于对称轴对称即可得答案；
由已知得到对称轴的距离比到对称轴的距离近，故与的中点在对称轴的右侧，
即可得，故．
本题主要考查了二次函数的对称性，解题关键是正确应用对称性．
10.【答案】解：已知抛物线经过点和点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
时，
，
，
；
当时，
时，此函数的最大值为，
时，此函数的最小值为，
，
时，的最小值为，
当时，
时，此函数的最大值为，
时，此函数的最小值为，
，
时，的最小值为，
综上所述：
，
时，有最小值为．
【解析】根据待定系数法求抛物线的解析式；
求出点的坐标，再求的面积即可；
分两种情况当时，当时讨论即可．
本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数 为常数，，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧随的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为轴．
11.【答案】解：设一次函数的表达式为，
将点、的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数的表达式为：；
二次函数表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
则二次函数表达式为：；
设点，则点，
则，
线段的最大值为；
设点，点；
当是对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得：或均舍去；
当或为对角线时，
同理可得：
或，
解得：或或舍去，
综上，点的横坐标或．
【解析】由待定系数法即可求解；
由，即可求解；
当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当或为对角线时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法和最值的确定，分类求解是解题的关键．
12.【答案】解：由题意，抛物线过点，
．
抛物线的表达式为：．
抛物线过，，
．
．
抛物线的表达式为：．
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
．
直线的表达式为：．
过点作轴交于点，
点的横坐标为，
点．
点．
，
，
当时，有最大值．
此时点的坐标为：．
【解析】依据题意，用待定系数法即可求解；
依据题意，设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，求出，即可判断得解；
依据题意，可得，再由，即可求解．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值等知识，解题时要熟练掌握并能理解是关键．
13.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
即；
，即抛物线的最小值是，
即和不可能在抛物线对称轴两侧；
当时，即，
则时，抛物线取得最小值，
即，
解得：舍去或，
即；
当时，即，
则时，抛物线取得最小值，
即，
解得：，舍去，
综上，或；
过点作轴交于点，
由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则．
即的面积的最大值为．
【解析】【分析】
用待定系数法即可求解；
当时，即，则时，抛物线取得最小值；当时，即，则时，抛物线取得最小值，进而求解；
由，即可求解．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积．利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
14.【答案】解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
证明：令，则或，
即点、的坐标分别为：、，
则抛物线的对称轴为直线，当时，，
则点，
由点、、的坐标得，，，，
即，
则是直角三角形；
解：存在，理由：
，，为顶点的三角形与相似，
则或，
由点的坐标得：，
则或，
设点，
则或，
解得：或，
则点的坐标为：或或或．
【解析】由待定系数法即可求解；
由点、、的坐标得，，，，即可求解；
，，为顶点的三角形与相似，则或，即或，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等，分类求解是解题的关键．
15.【答案】解：抛物线经过，，三点，
设抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得，
，
抛物线解析式为；
设，且，
在中，，，，
设直线的解析式为，将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
，
轴，
轴，
，
∽，
，即，
，
当时，取得最大值，最大值是；
存在点，使得中有一个角与相等．
，，，
，，
，
轴，
，
，
，
设，且，则，
，
由知，
，
若，
，
，
，
，
解得或舍去，
点的坐标为；
若，
则，
，
，
，
解得或舍去，
点的坐标为；
综上，存在，点的坐标为或
【解析】根据题意可得，将代入，解方程即可；
设，先求出直线的解析式，再证明∽，根据相似三角形性质，用含的代数式表示出，再利用二次函数最值即可得到答案；
中有一个角与相等，分两种情况：若，若，运用三角函数定义和等腰直角三角形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．
16.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的顶点式为，
将点代入得，解得，
抛物线的表达式为；
抛物线，，，
，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
的长为；
，，
的面积记作，的面积记作，
，
当时，有最大值，最大值为．
【解析】由抛物线的对称轴为直线，设抛物线的顶点式为，将点代入即可求解；
由抛物线可得，，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，即可得的长用含的代数式表示；
求出的面积记作，的面积记作，则，根据二次函数的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：，杯子的高度即，之间的距离为．
，，
设抛物线的解析式为，
，
解得，
抛物线的解析式为．
抛物线的解析式为，
平移后的解析式为．
抛物线的对称轴为直线，，
的对称点为，
，
平移后，
设直线的解析式为，
，
解得；
；
设直线的解析式为，
，
解得；
，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
．
根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为，
，杯子的高度即，之间的距离为．
，，
水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
，，
，
，
，
，
．
抛物线的解析式为，
设点是抛物线上的一点，且，；
过点作轴，交于点，
水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，
，，
，
，
过点作轴于点，
轴，
，，
，
，
，
，
，，
时，取得最大值，且最大值为，
过点作于点，
则，
故的最大值为，
故液体的最大深度为．
【解析】根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可；
先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可．
根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标．
设点是抛物线上的一点，且，；过点作轴，交于点，过点作轴于点，确定，计算得最大值，且最大值为，过点作于点，则，
故的最大值为．
本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，可证四边形是矩形，可得，，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：连接，
四边形为矩形，
，，，
于点，且为的中点，
是的中线，即，
，，
，，
，
，
，即，
．
故选：．
连接，根据四边形为矩形，得出，，，又因为于点，且为的中点，则是的中线，即，根据勾股定理求出，，，，，又因为，得出，利用正切值，即，得出．
本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20.【答案】
【解析】解：点是的中点，，
，
，
点，分别是，的中点，
为的中位线，
，，
，
，
平分，故选项A不符合题意；
，
，
，选项B不符合题意；
，，
∽，
，
，
，选项C符合题意；
延长交于点，
，，，
≌，
，，
，
，选项D不符合题意．
故选C．
由直角三角形斜边上的中线性质得到，则，再证明为的中位线，得到，进而推出，即可判断；根据，得到，即可得到，即可判断；证明∽，得到，则，即可判断；延长交于点，证明≌，得到，，即可判断．
本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判断，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：作点关于的对称点，连接，如图，
四边形为正方形，
，
点在上，
点在对角线上，
，
当点，，在一条直线上时，取得最小值．
，
，
为等腰直角三角形，
．
若，，
，，
点，，在一条直线上，取得最小值，这时，四边形为矩形，
，
若，则的最小值为，
的结论正确，不符合题意；
的最小值为，
此时点，，在一条直线上，且，
四边形为矩形，
，
．
的结论正确，不符合题意；
，
，，
，．
，为等腰直角三角形，
，
．
点，，在一条直线上时，，
若，则的最小值为．
的结论正确，不符合题意；
若的最小值为，设，则，
，
或，
或．
的结论不正确，符合题意．
故选：．
作点关于的对称点，连接，利用轴对称的性质和正方形的性质得到，点，，在一条直线上，取得最小值；利用已知条件，正方形的性质，直角三角形的性质和勾股定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形与轴对称的性质是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，故A正确，不符合题意；
，，
，
又，
∽，
，
，
，
，即，故B正确；
在中，，
，，
∽，
，即，故C正确；
设，，，则，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∽，
，
，故D错误；
故选：．
由矩形的性质得到，进而得到，再由，可得，即可判断；证明∽，得到，进而可得，即，即可判断；在中，由勾股定理得，证明∽，可得，即，即可判断；设，，，则，，，证明是等腰直角三角形，得到，则，则，证明∽，得到，即可判断．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23.【答案】
【解析】解：过作，过作，，交于．
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理：，
，
，
，
，
同理：，
，
，
，
，
原式，
即正方形的面积，
故当时，
正方形的面积有最小值，
故选：．
过作，过作，，交于设，则，利用得，，故BD，利用两个得，设，再利用勾股定理计算出，接着利用平行成比例得，得，同理：，再利用勾股定理得，再利用配发求最值即可．
本题考查了含的三角形的知识，做出高，利用的性质是解题关键．
24.【答案】
【解析】解：连接，取的中点，连接、，
，，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
当时，取最小值，此时，的值也最小，
，
，
，
的最小值为，
此时，的最小值为，
故选：．
连接，取的中点，连接、，先证明为等腰直角三角形，得到，进而可知当时最小，利用三角函数求出的最小值即可求解，
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
又，
∽；故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
过点作，交于，
，
，
，
，
，故正确，
故选：．
由角平分线的性质可证，可证∽；故正确；由相似三角形的性质可求，即可求，故正确；通过证明∽，可求，的长，由平行线分线段成比例可求，故正确，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于点，
高，相交于点，
，
，
，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
故答案为：．
过点作交于点，根据直角三角形的性质、角的和差求出，，利用证明≌，根据全等三角形的性质求出，，根据线段的和差求出，解直角三角形求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出合理的辅助线构建全等三角形．
27.【答案】
【解析】解：平分，
，
，
，
，
．
故答案为：；
由得，，
∽，
，
：：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，由等角的补角相等得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
先证明∽，根据相似三角形的性质证得与的比值，根据求出的值，进而求出的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28.【答案】 或
【解析】解：矩形中，，，
，
，
根据折叠的性质，得，
，
设，则，
解得．
故答案为：．
当时，
如图，过点作于点，于点，
四边形是矩形，，
根据折叠的性质，得，，
，
，
，
；
当时，
如图，过点作于点，延长交于点，
，
直线是矩形的对称轴，
，四边形是矩形，
，，
，
设，则，
解得．
故答案为：或．
根据勾股定理，得到，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可．
分和两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可．
本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．
29.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
为的中点，
，
故答案为：；
如图，过点作交于点，
四边形是矩形，
，，
，
∽，∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
为的中点，，
，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
由勾股定理求出的长，即可得出结论；
过点作交于点，则，得∽，∽，证∽，求出，再由线段垂直平分线的性质得，然后由相似三角形的性质求出的长，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
30.【答案】 或
【解析】解：当点是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆，交于点，则为最小值，
，，，
，
又是的中点，
，
又，
，
故答案为：；
如图：
，
，
，
，
点、、在同一条直线上，由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在 中，，
；
当点在的延长线上，在 中，，
，
综上所述：当时，的长为或 ，
故答案为：或 ．
根据勾股定理得到长，当点在上时，最小，计算即可；
现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．
31.【答案】；
．
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
设，则，，运用勾股定理计算即可．
根据垂线段最短，可得当时，取得最小值，当与点重合时，取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可．
【解答】
解：矩形中，，，沿着折叠矩形，为线段的中点，
，，；
设，则，，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据垂线段最短，可得当时，取得最小值，
矩形中，，，，
四边形是矩形，
；
当与点重合时，取得最大值，
矩形中，，，沿着折叠矩形，
，，，；
设，则，，
，
，
解得．
矩形中，沿着折叠矩形，
，，
，
，
；
；
过点作于点，
则四边形是矩形，
；
，
，
点折叠后的对应点在线段上不与两端点重合
折痕的长度的取值范围为．
故答案为：．
32.【答案】证明：是的内心，
，
．
；
解：过作于点，
，
点为的中点，
，
为直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，即，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】根据是的内心，以及圆周角定理可得，，从而得到，即可求证；
过作于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，再证明是等腰直角三角形，可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，即可求解．
本题主要查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内心问题，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
33.【答案】解：，
．
，
，
．
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
；
证明：连接，，如图，
，
，
，
∽，
．
，，
∽，
，
．
，
，
∽，
．
，
，
．
【解析】利用圆周角定理，垂直的定义，三角形的内角和定理，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
连接，，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和等量代换的性质得到，最后利用同位角相等两直线平行的性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
34.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：连接，，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
又，
是的中线，
，，
，
，
的半径为；
为的直径，
，
，
∽，
，
，
，
在中，
，
，
．
答：的半径为，的值是．
【解析】由，得，即可得，故，而，有，即知为的切线；
连接，，由，可得，，而，故DF是的中线，可得，，，即得，的半径为；证明∽，可得，，在中，，得，从而．
本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
35.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，，
，
故答案为：；
证明：由得，，
，
，
又，
∽；
解：如图，过点作，过点作，、交于点，延长交于点，连接，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求解即可；
结合求出，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
过点作，过点作，、交于点，延长交于点，连接，过点作于点，结合正方形的性质推出四边形是正方形，根据正方形的性质利用证明≌，得出，进而求出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，，利用证明≌，根据矩形的性质、全等三角形的性质求出，则，据此即可得解．
此题是三角形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
36.【答案】证明：是弧的中点，
，
，且是的直径，
，
，
，
．
于点，是的直径，
，
，
，
设，，
，
，
，
解得或舍去，
，
，
，
，
的半径为．
【解析】由是弧的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出，即可证明出结论．
根据，设，，利用勾股定理求得，再利用正切函数计算即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程的解法，正切函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正切函数是解题的关键．
37.【答案】证明：，都是弧所对的圆周角，
，
，
；
解：，点为的中点，
为的中位线，
，
为直径，
，，
，
，
设，，
在和中，
有，
即
整理得：，
，
解得：，
，
，
解得：或舍去，
的长为．
【解析】根据圆周角定理可得，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
由和点为的中点，可得是的中位线，求得，根据圆周角定理得，，由勾股定理求得，，设，，在和中，根据勾股定理建立关于、的方程，解方程即可．
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
38.【答案】解：，若．
，
四边形内接于，
；
证明：，，
∽，
，
，
，
，
，
；
解：设，则，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
由知，，
．
【解析】根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；
先证明∽，得，再根据即可得出结论；设，则，先证明，再根据勾股定理求出，，的长，由知，求出的长，再根据勾股定理即可．
本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键．
39.【答案】证明：过点作，交的延长线于点，
，，
，
，
，，
，
又，
≌，
，
，
，
∽，
，
，
又，
，
；
证明：≌，
，
，，，
≌，
，
，
；
解：过点作，交的延长线于点，
由可知，，
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【解析】过点作，交的延长线于点，证明≌，得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作，交的延长线于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
40.【答案】证明：在和中，
，
≌，
；
证明：，
，
即，
，，
即：：，
∽，
，
，
，
，
∽，
：：，
；
解：，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，，
由得≌，
，，
，
在中，，，
．
【解析】证明与全等得到；
先证明∽得到，再证明∽，然后根据相似三角形的性质和比例性质得到结论；
先证明为等腰直角三角形得到，，所以，，由≌得到，，接着证明，然后在中利用勾股定理可计算出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
41.【答案】证明：在正方形中，，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：在正方形中，，
，
，
又，，
≌，
，
是的中点，正方形的边长为．
，
，，
，
又，，
≌，
，
，
在中，，
，
；
由知，，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
四边形的面积．
【解析】根据正方形的性质及邻补角定义求出，结合直角三角形的性质、对顶角性质求出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
利用证明≌，≌，根据全等三角形的性质求出，则，解直角三角形求解即可；
结合根据线段的和差求出，则，根据锐角三角函数定义求出，再根据四边形的面积求解即可．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握了正方形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
42.【答案】解：，，点是的中点，
，
，
，
∽．
，，点是的中点，
，
，
，，，四点共圆，
．
过点作，交于点，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
．

【解析】根据，，证明∽即可．
根据，判定，，，四点共圆，得．
过点作，交于点，证明是等腰直角三角形，再证明≌，结合勾股定理即可得．
本题考查了三角形综合，三角形相似，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形相似，四点共圆，三角形全等是解题的关键．
43.【答案】证明：在中，
，是的平分线，
，
，
，
点，，，四点共圆，
，
；
解：，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
点，，，四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
，
，
点，，，四点共圆，
，
∽，
．
【解析】证明点，，，四点共圆，即可解决问题；
结合可得是等腰直角三角形，再证明点，，，四点共圆，可得，然后证明∽，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定与性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到∽．
44.【答案】证明：，，，
≌，
，
同理可得：≌，
，
，
，
；
如图，
作，并截取，连接，，连接，设，交于点，
，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
由得，
，
，
，
，
，
；
如图，
取的中点，连接，，设交于，交于，
，分别是和的中点，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】可证明≌，≌，进而得出，进而得出结论；
，并截取，连接，，连接，设，交于点，可证得是等边三角形，从而，，进而得出，由结论得出，进而求得，进一步得出结论；
取的中点，连接，，设交于，交于，根据三角形中位线性质得出，，，，从而得出，，从而得出，可得出，进一步得出结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等边三角形．
45.【答案】证明：是正方形，
，，
，，
∽，
，
又，
，
，即；
解：是正方形，
，
又，，
≌，
，，，
，
，
，
；
证明：连接交于点，如图，
由可知，，
，
，
又，
∽，
，即，
又，，
，
，
又，
．
【解析】根据正方形的性质证明∽即可解题；
根据正方形的性质得到≌，然后推导出，根据三角函数得到，进而求出的长；
连接交于点，推导∽，即可得到，即，根据和等量代换即可解题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．

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