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1.1.1 三角形的认识及其三边关系八大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：三角形的识别与有关概念
【经典例题1】下列图形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，即可解题．
【详解】解：由三角形定义可知，
是三角形，
故选：C．
【变式训练1-1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的定义即：由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，进行判断即可．
【详解】解：A，B，C，中的三条线段没有首尾顺次连接，故不是三角形，
C中的三条线段首尾顺次连接，且不在同一条直线上，故C满足题意；
故选：C．
【变式训练1-2】三角形是（ ）
A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形
【答案】B
【分析】根据三角形的定义解答即可．
【详解】解：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，
故选：B．
【变式训练1-3】如图，在中，的对边是 ，在中，的对边是 ，在中，边的对角是 ．

【答案】
【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可．
【详解】解：由图可知：
在中，的对边是，在中，的对边是，在中，边的对角是，
故答案为：，，．
【变式训练1-4】如图，中，与的夹角是 ，的对边是 ，，的公共边是 ．

【答案】
【分析】根据图形即可解答．
【详解】解：与的夹角是，的对边是，，的公共边是，
故答案为：，，．
题型二：三角形的个数问题
【经典例题2】如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】根据三角形的定义， 找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．
【详解】图中是三角形的有：、、、、．
故选：C．
【变式训练2-1】看图填空．
（1）图中共有 个三角形，分别是 ；
（2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ；
（3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ；
（4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ．
【答案】 4 B、G，E / E /
【分析】本题考查三角形相关概念：
（1）写出图中的三角形即可；
（2）根据顶点，边，角的定义，作答即可；
（3）根据对边，对角的定义，作答即可；
（4）根据内角，外角，对边的的定义，作答即可．
【详解】解：（1）图中共有4个三角形，分别是：，
故答案为：4，；
（2）的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是，三个角分别是；
故答案为：B、G，E；；；
（3）中，顶点A所对的边是，边所对的顶点是；
故答案为：，；
（4）是的内角，是的外角，的对边是；
故答案为：，，．
【变式训练2-2】如图所示．
（1）图中共有 个三角形，它们是 ；
（2）线段是 ， ， 的边；
（3）是 ， ， 的角．
【答案】 6
【分析】（1）首先根据给出的图形，写出所有的三角形，进而确定个数即可；
（2）根据三角形的边的定义作答即可；
（3）根据三角形的角的定义作答即可．
【详解】解：（1）由图可知，图中的三角形有：，共6个，
故答案为：6，；
（2）由图可知：
以为边的三角形有、、，
故答案为：，，；
（3）由图可知：
是、、的角，
故答案为：，，．
【变式训练2-3】如图所示：
(1)图中有几个三角形？把它们一一说出来．
(2)写出的三个内角．
(3)含边的三角形有哪些？
【答案】(1)图中有7个三角形，即
(2)的三个内角是
(3)含边的三角形有
【分析】本题考查了三角形的定义，角的写法，查找三角形时可按逆时针方向，先固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定三角形．
【详解】（1）解：图中有7个三角形，
分别为：；
（2）解：在中，
它的三个内角是；
（3）解：由（1）知图中有7个三角形，即，
含边的三角形有．
【变式训练2-4】如图所示，在中，点，分别在，上，交于点．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来．
(2)写出以为内角的三角形．
(3)写出的对边．
(4)写出以线段为边的三角形．
【答案】(1)图中有个三角形，分别是，，，，，，，
(2)，
(3)在中，的对边是；在中，的对边是
(4)，
【分析】本题考查三角形定义，三角形的边和内角
（1）先找出基本三角形，再找组合图形；
（2）根据三角形的内角即可解答；
（3）根据三角形的边即可解答；
（4）根据三角形的边即可解答；
解题的关键是要细心、仔细的数出三角形的个数．
【详解】（1）解：图中有个三角形，分别是，，，，，，，；
（2）含有的三角形有，；
（3）在中，的对边是；在中，的对边是；
（4）以线段为边的三角形有，．
【变式训练2-5】如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．

(1)图中共有三角形__________个．
(2)在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______．
【答案】(1)8；
(2)，．
【分析】（1）根据图形，即可解答；
（2）根据图形，即可解答．
【详解】（1）解：图中共有8个三角形，分别是，，，，，，，．
（2）解：在中，所对的边是；在中，边所对的角是，
故答案为：，．
题型三：三角形的分类
【经典例题3】已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形分类，掌握三角形的内角和为是解题的关键．
设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，根据，再根据可得出答案．
【详解】解：设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴三角形为钝角三角形．
故选：C．
【变式训练3-1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可．
【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
【变式训练3-2】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和公式是解题的关键．利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可．
【详解】解：A：，代入，
得：，
，故此选项不符合题意；
B：，根据得：
，
，故此选项不符合题意；
C：，
∴，
∴为钝角三角形，故此选项符合题意；
D：代入，
得：，
，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练3-3】满足下列条件的，其中是直角三角形的有（ ）
① ；②③； ④
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，根据三角形的内角和定理结合有一个角是直角的三角形的是直角三角形，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴是钝角三角形，故②错误；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴是直角三角形，故④正确；
故选A．
【变式训练3-4】有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）

A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．根据三角形的分类可直接选出答案．
【详解】解：按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
按角分类：直角三角形，锐角三角形和钝角三角形．
故①的分类不正确；图②中的三角形的分类正确．
故选：B．
【变式训练3-5】下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若且，则为锐角三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案．
【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意；
B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意；
C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意；
D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
题型四：三角形的稳定性
【经典例题4】如图，自行车的主要结构设计成三角形，其依据是（ ）

A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和是180°
C．节省材料 D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】本题考查生活中数学知识的应用，熟记三角形的稳定性是解决问题的关键．
【详解】解：自行车的主要结构设计成三角形，其依据是三角形的稳定性，
故选：D．
【变式训练4-1】如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ）
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．灵活性
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．
【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，
故选；C．
【变式训练4-2】三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性
故选：B．
【变式训练4-3】小华家的人字梯在两旁分别有一根“拉杆”，这样设计是利用（ ）

A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是三角形的稳定性，解题关键是熟练掌握三角形的稳定性原理．根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】解：在人字梯的中间设计的拉杆，
可从不稳定的四边形中构成一个稳定的三角形，
从而达到稳定人字梯的作用．
故选：C．
【变式训练4-4】下列说法错误的是（ ）
A．一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释
B．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“线动成面”来解释
C．我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性
D．日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性
【答案】B
【分析】本题主要考查了点、线、面知识，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“点动成线、线动成面、面动成体”和三角形的稳定性、四边形的不稳定性，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释，该说法正确，不符合题意；
B. 在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“点动成线”来解释，故原说法不正确，符合题意
C. 我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性，该说法正确，不符合题意；
D. 日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性，该说法正确，不符合题意．
故选：B．
【变式训练4-5】意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．模型中三角形架子是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是三角形具有稳定性，
故选：A．
【变式训练4-6】我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是 ．
【答案】三角形的稳定性
【分析】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键，根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，及三角形的稳定性．
【详解】解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
题型五：构成三角形的条件
【经典例题5】以下列各线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟练掌握相关概念是解题关键．
根据三角形任意两边之和大于第三边进行判断即可．
【详解】A：，故不能构成三角形，不符合题意；
B：，故不能构成三角形，不符合题意；
C：，故不能构成三角形，不符合题意；
D：，故可以构成三角形，符合题意；
故选：D．
【变式训练5-1】根据下列条件，能唯一画出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】要满足唯一画出，就要求选项给出的条件是否符合三角形全等的判定方法，不符合即无法画出唯一的三角形，由此得出答案．
【详解】解：，不能构成三角形，故选项A错误；
不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度，故选项B错误；
已知两角可得到第三个角的度数，已知一边可根据来画一个三角形，故选项C正确；
只有一个角和一条边无法根据此画出三角形，故选项D正确．
故选C．
【变式训练5-2】有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可．
【详解】解：若选取长度分别是4cm、5cm、8cm的小棒，，故能围成三角形；
若选取长度分别是4cm、5cm、9cm的小棒，，故不能围成三角形；
若选取长度分别是5cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形；
若选取长度分别是4cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形．
综上所述，可以围成3种不同形状的三角形．
故选：D．
【变式训练5-3】如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形．
【详解】解：若3为腰长，7为底边长，
∵，
∴三角形不存在，
若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边，
∴这个三角形的周长，
故答案为：．
【变式训练5-4】已知三边分别是、、， 化简
【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解．
【详解】解：∵、、分别为的三边长，
∴，，
∴，，，
∴
故答案为：．
【变式训练5-5】王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
(1)请用a表示第二条边长和第三条边长；
(2)第一条边长可以为7米吗？为什么？
【答案】(1)；
(2)不可以，理由见解析．
【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长；
（2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可．
【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米
∴第二条边长为米，
由题意可知：第三条边长为米；
（2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米
∵
∴此时不能构成三角形，
∴第一条边长不可以为7米．
题型六：确定第三边的取值范围
【经典例题6】已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，设第三边为x，即，
∵，即
∴，
∵第三条边长为整数，
∴x可能为：2，3，4，
则第三边长不可能为1，
故选：A
【变式训练6-1】一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：设第三边长是，
∵三角形的两边长分别为和，
∴，即，
∵是整数，
∴，，，，，
∴当时，三角形的周长最小值是，
故选：．
【变式训练6-2】用一条24cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
【答案】（1）各边长为：cm，cm，cm；（2）能，理由见解析.
【分析】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【详解】（1）设底边长为x cm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2x cm，
∴2x+2x+x=24，解得，x=cm，
∴2x=2×=cm，
∴各边长为：cm，cm，cm．
（2）能
①当4cm为底时，腰长==10cm；
②当4cm为腰时，底边=24-4-4=16cm，
∵4+4＜16，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为10cm，10cm．
【变式训练6-3】已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
(1)若，且c为偶数．求的周长．
(2)化简：．
【答案】(1)的周长为11或13
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答．
【详解】（1）解：，
，即，
由于c是偶数，则或6，
当时，的周长为，
当时，的周长为．
综上所述，的周长为11或13．
（2）解：的三边长为a，b，c，
，
．
【变式训练6-4】在中，，．
(1)若是整数，求的长；
(2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【答案】(1)8
(2)17
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）由题意得：，
，
是整数，
；
（2）是的中线，
的周长为10，
，
，
，
的周长．
【变式训练6-5】如图，在中，点D、E分别为边上的动点．
(1)若时，的长恰好是偶数，则的长为 ；
(2)若时，，求的度数．
【答案】(1)4或6
(2)
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握三角形三边关系的应用，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
（1）由题意知，，即，然后作答即可；
（2）如图，连接，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，即，
∵的长恰好是偶数，
∴的长为4或6，
故答案为：4或6；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
题型七：三角形三边关系的应用
【经典例题7】已知，，是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，求代数式的值
（1）根据，，是三角形的三边长，得，化简计算即可．
（2）根据，，，代入化简式计算即可．
【详解】（1）∵，，是三角形的三边长，得，
∴
．
（2）当，，时，
原式．
【变式训练7-1】已知是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)此三角形是等腰三角形，详见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
（1）根据三角形三边关系定理可得，，再去绝对值符号即可；
（2）根据及三角形的周长是16求得a，b，c的值即可判断三角形的形状．
【详解】（1）解：是三角形的三边长，
．
，．
．
（2）此三角形是等腰三角形．
理由如下：
，
．
．
三角形的周长是16，
．
．
此三角形是等腰三角形．
【变式训练7-2】如图，在中．
(1)如果，，是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长．
(2)如果、分别是和的角平分线．
①当时，求的度数．
②当时，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了三角形三边关系、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由三角形三边关系可得，结合是能被3整除的偶数，得出，最后由三角形周长公式计算即可；
（2）①由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得到，最后再由三角形内角和定理计算即可；②由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，从而得到，最后再由三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：由三角形三边关系可得：，即，
是能被3整除的偶数，
，
的周长；
（2）解：①，，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
；
②，，
，
、分别是和的角平分线，
，，
，
．
【变式训练7-3】如图，已知．

(1)若，，的长是偶数，请求出的值；
(2)作分别交，的延长线于点，，若，，求的度数．
【答案】(1)4或6
(2)
【分析】（1）根据题意，得，结合长是偶数，计算即可．
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，得到，再利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三边关系定理，平行线的性质定理是解题的关键．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵的长是偶数，
∴的长是4或6．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式训练7-4】先化简再求值：，其中a满足与2和3构成的第三边，且a为整数．
【答案】，1
【分析】先化简，根据三角形存在性，确定a的值，后代入计算即可，本题考查了分式的化简求值，化简是关键．
【详解】
，
根据a满足与2和3构成的第三边，且a为整数，
，
故，
由于，
故，
故，
原式．
【变式训练7-5】已知的三边长是．
(1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值；
(2)化简．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
（1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案；
（2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可．
【详解】（1）解：的三边长是，，
，即，
三角形的周长是小于22的偶数，
，
或；
（2）解：由三角形三边关系得：，
，，
．
题型八：阅读材料题
【经典例题8】阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
，
，
，，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知的三边长a，b，c，且a，b满足，若的周长为偶数，求的周长；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据题中所给方法利用完全平方公式把变形，进行求解a、b的值，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行分类求解即可；
（2）把变形为，然后可得的值，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
的周长为偶数，
，
的周长为：；
（2）解：，
，
，
，
，即，
，
综上的值为．
【变式训练8-1】阅读材料：若，求m、n的值．
解： ，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知等腰的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)的周长为7
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．
（1）根据材料将原式分为两个完全平方的形式即可解答；
（2）将按材料方式进行整理，根据三角形三边关系得出c的值，即可求得结果；
（3）由，得，按照原式按材料方式将整理，求出x、y、z的值，即可求得结果．
【详解】（1），
，
，
，
，
解得：，
则；
（2），
，
，
则，，
解得：，，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
的周长为1+3+3=7；
（3），
，
则，
，
，
则，，
解得，，，
．
【变式训练8-2】观察下列分解因式的过程：．
解：原式
．
像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
(1)请你运用上述配方法分解因式：；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值．
【答案】(1)；
(2)23．
【分析】（1）本题考查了因式分解，掌握公式法即可解题．
（2）本题考查了配方法运用，将原式变形为，再根据平方的非负性，解出a和b的值，最后利用三角形三边关系即可解题．
【详解】（1）解：原式，
．
（2）解：由整理，
得，
，
，
解得，．
由三角形三边之间的关系，得．
为正整数，周长最大，
，
，
即周长的最大值为23．
【变式训练8-3】阅读材料：若，求m，n的值．
解：，，
，．
请解答下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边a，b，c的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查完全平方公式及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式及三角形的三边关系是解题的关键；
（1）根据利用完全平方公式进行因式分解进行求解；
（2）先利用完全平方公式及三角形的三边关系可进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的三边a，b，c的长都是互不相等的正整数，
∴，
∴．
【变式训练8-4】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，是的三边长，且满足，求的最长边的取值范围；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查因式分解应用，三角形三边关系，平方得非负性．
（1）根据题意进行求解即可；
（2）利用完全平方公式将所给式子变形，再根据三角形三边关系即可求解；
（3）将式子变形利用平方非负性即可计算出，，三边长，再计算周长即可．
【详解】（1）解：根据题意列式：
∴，
即：；
（2）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∵，，是的三边长，
∴，即：，
∵是的最长边，
∴；
（3）解：∵，
∴，
即：，
∴，
∴的周长为：．
【变式训练8-5】阅读材料：若，求、的值．
解：， ， ， 、
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)若的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查阅读理解、配方法解题、平方非负性、非负式和为零成立的条件、三角形三边关系等知识，读懂题意，灵活运用配方法及非负式和为零成立的条件是解决问题的关键．
（1）阅读材料所给方法，利用配方法，结合平方非负性，由非负式和为零成立的条件列方程求出值即可得到答案；
（2）阅读材料所给方法，利用配方法，结合平方非负性，由非负式和为零成立的条件列方程求出值，再由三角形三边关系确定即可得到答案；
（3）阅读材料所给方法，由题意得到，代入得到，利用配方法，结合平方非负性，由非负式和为零成立的条件列方程求出值，代入求值即可得到答案．
【详解】（1）解：阅读材料，解析如下：
，
，
，
，
（2）解：阅读材料，解析如下：
，
，
，
，
，
的三边长、、都是正整数，
的正整数只有，即，
的周长为；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，则，
．
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1.1.1 三角形的认识及其三边关系八大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：三角形的识别与有关概念
【经典例题1】下列图形中，三角形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-1】下面各项都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】三角形是（ ）
A．由在同一平面内的三条直线首尾顺次相接所组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形
C．任意连接在同一平面内的三个点所得到的封闭图形
D．由在同一平面内的三条线段所组成的图形
【变式训练1-3】如图，在中，的对边是 ，在中，的对边是 ，在中，边的对角是 ．

【变式训练1-4】如图，中，与的夹角是 ，的对边是 ，，的公共边是 ．

题型二：三角形的个数问题
【经典例题2】如图，图中三角形的个数共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式训练2-1】看图填空．
（1）图中共有 个三角形，分别是 ；
（2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ；
（3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ；
（4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ．
【变式训练2-2】如图所示．
（1）图中共有 个三角形，它们是 ；
（2）线段是 ， ， 的边；
（3）是 ， ， 的角．
【变式训练2-3】如图所示：
(1)图中有几个三角形？把它们一一说出来．
(2)写出的三个内角．
(3)含边的三角形有哪些？
【变式训练2-4】如图所示，在中，点，分别在，上，交于点．
(1)图中有几个三角形？把它们一一写出来．
(2)写出以为内角的三角形．
(3)写出的对边．
(4)写出以线段为边的三角形．
【变式训练2-5】如图，在中，D，E分别为边，上的点，，相交于点F．

(1)图中共有三角形__________个．
(2)在中，所对的边是__________；在中，边所对的角是_______．
题型三：三角形的分类
【经典例题3】已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式训练3-1】如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【变式训练3-2】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-3】满足下列条件的，其中是直角三角形的有（ ）
① ；②③； ④
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式训练3-4】有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）

A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对
【变式训练3-5】下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若且，则为锐角三角形
题型四：三角形的稳定性
【经典例题4】如图，自行车的主要结构设计成三角形，其依据是（ ）

A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和是180°
C．节省材料 D．三角形的稳定性
【变式训练4-1】如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ）
A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．灵活性
【变式训练4-2】三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
【变式训练4-3】小华家的人字梯在两旁分别有一根“拉杆”，这样设计是利用（ ）

A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
【变式训练4-4】下列说法错误的是（ ）
A．一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转，像形成一个球，可以用“面动成体”来解释
B．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里可以用“线动成面”来解释
C．我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，港珠澳大桥中的斜拉索桥运用的数学原理是三角形的稳定性
D．日常生活中的起重机、伸缩门运用的数学原理是四边形的不稳定性
【变式训练4-5】意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【变式训练4-6】我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是 ．
题型五：构成三角形的条件
【经典例题5】以下列各线段长为边，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式训练5-1】根据下列条件，能唯一画出的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练5-3】如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．
【变式训练5-4】已知三边分别是、、， 化简
【变式训练5-5】王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
(1)请用a表示第二条边长和第三条边长；
(2)第一条边长可以为7米吗？为什么？
题型六：确定第三边的取值范围
【经典例题6】已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练6-1】一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】用一条24cm的细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
【变式训练6-3】已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
(1)若，且c为偶数．求的周长．
(2)化简：．
【变式训练6-4】在中，，．
(1)若是整数，求的长；
(2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长．
【变式训练6-5】如图，在中，点D、E分别为边上的动点．
(1)若时，的长恰好是偶数，则的长为 ；
(2)若时，，求的度数．
题型七：三角形三边关系的应用
【经典例题7】已知，，是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)若，，，求（1）中式子的值．
【变式训练7-1】已知是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
【变式训练7-2】如图，在中．
(1)如果，，是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长．
(2)如果、分别是和的角平分线．
①当时，求的度数．
②当时，求的度数．
【变式训练7-3】如图，已知．

(1)若，，的长是偶数，请求出的值；
(2)作分别交，的延长线于点，，若，，求的度数．
【变式训练7-4】先化简再求值：，其中a满足与2和3构成的第三边，且a为整数．
【变式训练7-5】已知的三边长是．
(1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值；
(2)化简．
题型八：阅读材料题
【经典例题8】阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
，
，
，，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知的三边长a，b，c，且a，b满足，若的周长为偶数，求的周长；
(2)已知，求的值．
【变式训练8-1】阅读材料：若，求m、n的值．
解： ，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知等腰的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长；
(3)已知，，求的值．
【变式训练8-2】观察下列分解因式的过程：．
解：原式
．
像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
(1)请你运用上述配方法分解因式：；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值．
【变式训练8-3】阅读材料：若，求m，n的值．
解：，，
，．
请解答下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边a，b，c的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边的长；
【变式训练8-4】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：．
即：．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，是的三边长，且满足，求的最长边的取值范围；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
【变式训练8-5】阅读材料：若，求、的值．
解：， ， ， 、
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)若的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长；
(3)已知，，求的值．
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