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1.1.2 三角形的高、中线、角平分线七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：画三角形的高
【经典例题1】如图，在中，边上的高线是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的高线．熟练掌握三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是解题的关键．直接根据三角形的高的定义即可得到答案．
【详解】解：由图可知：在中，边上的高线是线段．
故选：B．
【变式训练1-1】如图，在中，下列关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键．
根据三角形的高的定义对各选项进行分析即可．
【详解】A．于点，中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
B．于点，中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
C．于点，中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
D． 于点，中，线段是边上的高，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-2】如图图形中，线段是的高的是（　　）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．根据三角形高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断．
【详解】解：线段是的高的图是选项D．
故选：D．
【变式训练1-3】如图，在中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的高，从三角形顶点向对边所在直线作的垂线段叫做三角形的高，根据三角形高的定义进行判断即可．
【详解】解：于点D，
∴中，是边上的高，故A不符合题意，
∵，线段是边上的高，B选项符合题意；
∵于点F，
∴是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练1-4】如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．
根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线作答即可．
【详解】解：∵，
∴线段是中边上的高，
故答案为：．
【变式训练1-5】如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个．
【答案】6
【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
由于于，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数．
【详解】解：于，
而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有6个，
以为高的三角形有6个．
故答案为：6．
题型二：与三角形高有关的计算
【经典例题2】如图，、是的高，，，，则（ ）
A． B．10 C． D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程．
根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可．
【详解】解：，
，
故选：C．
【变式训练2-1】如图，在中，，三角形面积为27，点O是边上任意一点，则点O分别到，边的距离之和等于（ ）
A．5 B． C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握运用三角形面积的方法是解答本题的关键．连接，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：过点作，，连接，
∵在中，，该三角形的面积为27，
∴
，
解得：，
即点O分别到，边的距离之和等于9．
故选：C．
【变式训练2-2】如图，在中，，，，，则点到边距离为 ．
【答案】//
【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得是直角三角形，设点到边距离为h，由三角形面积公式计算即可求解．
【详解】解：在中，，
是直角三角形，
设点到边距离为h，
，即，
，
故答案为：．
【变式训练2-3】如图，在中，，，，，， 则的长为
【答案】
【分析】本题考查了三角形的高的定义、直角三角形的面积．根据等面积法即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练2-4】如图，为钝角三角形，分别过点作边上的高，已知，，，则的长为 ．

【答案】6
【分析】本题考查了利用三角形的面积求高线的长．利用三角形的面积公式求得，再利用，求解即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
故答案为：6．
【变式训练2-5】如图，已知分别是中边上的高，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键．三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，分别以为底，写出的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目．
【详解】解：，
将代入得到：
解得， ．
【变式训练2-6】如图，在中，，为边上的高，与交于点．若，求的度数．
【答案】
【分析】由高的定义可得，由三角形内角和可得的度数，再根据三角形内角和可得出的度数，由平角的定义可得出的度数．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键
【详解】解：是边上的高，
，
在中，，
，
，
，
．
题型三：根据三角形的中线求长度
【经典例题3】如图，在中，是中线，，．
(1)与的周长差为_______cm．
(2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
与的周长差：
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
当的周长-四边形的周长时，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
四边形的周长-当的周长时，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
综上，线段的长为或．
【变式训练3-1】在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设）
【答案】，
【分析】本题主要考查了三角形的中线，二元一次方程组的应用，三角形的三边关系应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程，注意进行分类讨论，并注意用三角形的三边关系进行验证．
【详解】解：如图：
∵是边上的中线，
∴．
设，，则，
分两种情况分别进行讨论：
（1），，
则，，
解得，，
即，．
∵，
∴．
∵，
∴，，满足三角形的三边关系．
（2），，
则，，
解得，，
即，．
∵，
∴．
∵，
∴，，不满足三角形的三边关系．
综上所述，，．
【变式训练3-2】如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形高的定义，先根据三角形面积计算公式求出，再由三角形中线的定义即可得到．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中线，
∴．
【变式训练3-3】如图，的周长为分别是边上的中线，的延长线交于点，且，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线的定义和性质，三角形的周长，由分别是边上的中线，得到，，进而由周长为得到，根据三角形的三条中线相交于一点，得到是的中线，即可求出的长，掌握三角形的三条中线相交于一点是解题的关键．
【详解】解：∵分别是边上的中线，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵三角形的三条中线相交于一点，
∴是的中线，
∴，
∴的长为．
【变式训练3-4】如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线的定义，根据题意得出，，代入数据即可求解．
【详解】解：是的边上的中线，
，
又，的周长比的周长多，
，
即，
，
故答案为：．
【变式训练3-5】如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 。
【答案】/13厘米
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，由是的中线得到，由的周长为得，再由比长得到，等量代换后即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵比长，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：
题型四：根据三角形的中线求面积
【经典例题4】如图所示，在中，D、E、F分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的中线及三角形的面积，利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，再利用点为的中点得到，然后利用点为的中点得到，，从而得到的值．解题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，三角形的面积等于底与高的乘积的一半．
【详解】解：∵点是的中点，（阴影部分），
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，，
∴，
∴的面积等于．
故选：A．
【变式训练4-1】如图，在中，点为边的中点，连接，取的中点，连接，，点为的中点，连接，若的面积为，则的面积为（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据中点，推出，，根据得出答案即可，明白等底同高的三角形面积相等是解题的关键．
【详解】解：∵点为边的中点，
∴，
∴和等底同高，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴和等底同高，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴和等底同高，和等底同高，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式训练4-2】如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【详解】解：是的中线，，
，
是的中点，
，
故选：B
【变式训练4-3】如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，连接，根据题意得出进而根据是的中点，得出，，设，则，根据列出方程，解方程得，进而根据即可求解．
【详解】解：连接，
，
，
的面积为，
，
是的中点，
∴，，
设，
则，
，
解得，
四边形的面积为，
故答案为：．
【变式训练4-4】如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解．
【详解】解：点D为的中点，的面积为20，
，
点E为的中点，
，
点F为的中点，
，，
四边形的面积为，
故答案为：．
【变式训练4-5】如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系分别求出、、、、、，即可求出的面积．
【详解】解：如图，连接、、，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
题型五：角平分线的认识
【经典例题5】如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于H，下面判断正确的有（ ）
是的角平分线；
是的边上的中线；
是的边上的高；
是的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断即可．
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念知是的角平分线，故原说法错误，不符合题意；
②根据三角形的中线的概念知是的边上的中线，故原说法错误，不符合题意；
③根据三角形的高的概念知是的边上的高，故原说法正确，符合题意；
④根据三角形的角平分线和高的概念知是的角平分线和高，故原说法正确，符合题意；
说法正确的有③④，共2个，
故选：B．
【变式训练5-1】在中，线段，分别是高线，中线和角平分线，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂线段最短即可判断．本题考查三角形的角平分线、高、中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：∵是边上的高线，
∴根据垂线段最短可知：，
故选：A．
【变式训练5-2】如图，的角平分线与中线交于点，则结论（　　）
①是的角平分线；
②是的中线．

A．①，②都正确B．①不正确，②正确C．①，②都不正确 D．①正确，②不正确
【答案】D
【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．
【详解】解：是的角平分线，
则是的角平分线，
所以是的角平分线，故①正确；
是的中线，
则E是是中点，而O不一定是的中点，故②错误．
故选：D．
【变式训练5-3】下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条中线一定交于同一点 D．三角形的三条高交于同一点
【答案】D
【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线即可解答．
【详解】解： 三角形的高、中线、角平分线都是线段，此说法正确，故项不符合题意；
三角形的三条中线都在三角形内部，此说法正确，故不符合题意；
锐角三角形的三条中线一定交于同一点，此说法正确，故不符合题意；
三角形的三条高线所在的直线交于一点，故符合题意．
故选．
【变式训练5-4】下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③三角形三条高都在三角形内部 ④三角形的三条中线交于一点
A．①②③④ B．②④ C．①③ D．④
【答案】D
【分析】根据三角形的角平分线的定义和性质判断①；根据三角形分类判断②；根据三角形的高的定义及
性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
【详解】解：三角形的三条角平分线都在三角形内部，故①说法错误；
三角形按边分类可分为等腰三角形、和不等边三角形，等腰三角形分为等边三角形和底和腰不相
等的等腰三角形，故②说法错误；
锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内
部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故③说法错误；
三角形的三条中线交于一点，故④说法正确；
所以说法正确的是④，
故选：D．
【变式训练5-5】在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（　　）
A．角平分线 B．高 C．中线 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据垂线段最短解答．
【详解】∵是三条边都不相等的三角形的同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，
∴最短的是高线．
故选：B．
【变式训练5-6】下列说法正确的个数有（ ）
①三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答．
【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，故正确；
③钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，故正确．
所以正确的有3个．
故选：C．
题型六：利用网格求三角形面积
【经典例题6】如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，将先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，按要求回答问题．
(1)画出平移后的．
(2)平移后，和两条线段之间的关系 ．
(3)在平移过程中，求出线段扫过的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)且
(3)9
【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，根据网格求三角形的面积，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质进行求解即可；
（3）利用割补法求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：观察图形，结合平移的性质可知：且．
（3）解：根据平移可知：扫过的图形为四边形，连接，，取格点E，
则线段扫过的面积为：
．
【变式训练6-1】如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移4个单位长度再向上平移1个单位长度，得到．
(1)画出；
(2)在图中连接、，那么与的关系是 ；
(3)的面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，平行且相等
(3)3
【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，即可．
（2）根据平移的性质求解即可；
（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积截取周围三个三角形面积即可．
【详解】（1）如图，即为所作；
（2）如图：
∵平移得到，
∴，，
故答案为：平行且相等；
（3）．
【变式训练6-2】如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)作出三角形ABC向右平移3格，向上平移4格后所得的三角形；
(2)连结，，判断与的位置关系，并求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2);面积为．
【分析】（1）将三角形的三个顶点进行平移，然后连接即可；
（2）根据平移的性质即可判断；利用网格求面积即可；
【详解】（1）解：如图即为所求图形;
（2）解：三角形ABC向右平移3格，向上平移4格后所得的三角形,
，
四边形的面积为．
【变式训练6-3】如图，在每格边长为1的网格上．平移格点三角形，使三角形的顶点A平移到格点D处．
(1)请画出平移后的图形三角形（B，C的对应点分别为点E，F）
(2)求三角形的面积．
(3)直接写出线段与线段之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)且
【分析】本题主要考查图形平移：
（1）根据A、D两点位置可得三角形向右平移4个单位，又向下平移1个单位，从而确定B、C两点平移后位置，再顺次连接起来即可得到三角形的位置；
（2）利用长方形面积减去周围多余三角形的面积可得三角形的面积；
（3）根据平移的性质可得且．
【详解】（1）解：如图，三角形即为所求；
（2）解：三角形的面积为．
（3）解：由平移的性质得：且．
【变式训练6-4】如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的；
(2)在图中作出三角形中边上的中线；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的中线、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质、三角形的中线的定义是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）取的中点，连接即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：的面积为：
．
【变式训练6-5】如图，的三个顶点的坐标分别为．
(1)将向下平移4个单位得到，画出．
(2)请画出关于轴对称的．
(3)求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
【分析】本题考查了作图—平移变换、轴对称变换，求三角形面积，熟练掌握平移的性质和轴对称的性质是解此题的关键．
（1）利用平移的性质作出点的对应点，再顺次连接即可；
（2）利用轴对称的性质作出点的对应点，再顺次连接即可；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
;
（2）解：如图，即为所作，
；
（3）解：由图可得：
．
题型七：三角形三条重要线段应用之探究问题
【经典例题7】综合与实践
问题情境 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．

【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________．
【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时．
①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
②当，，时，线段的长为________．
【答案】（1）；（2）（1）中的数量关系仍然成立．证明见解析；（3）①；②6
【分析】（1）由题意得出，则得出，可证出结论；
（2）方法同（1）可得出结论；
（3）①根据可得出结论；
②由三角形面积求出，则可得出答案．
【详解】解：（1），，，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）（1）中的数量关系仍然成立．
证明：，，，
，
，
，
．
（3）①，，，
，
，
，
；
②，，
，
，
由①可知，
，
故答案为：6．
【变式训练7-1】【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积，
【详解】（1）解：如图，过点A作，
则
．

（2）和是等高三角形，
，
；
和是等高三角形，
，
．
【变式训练7-2】如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．

(1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数；
(2)如图2，当都是的高时，求的度数；
(3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合三角形的内角和定理，得出，，进而推出，即可求解；
（2）根据，都是的高，可得出，进而得出，根据，则，求解即可；
（3）根据三角形的外角定理可得，，根据，，得出，求出，，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，都是的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
，
∴
∴；
（2）解：∵，都是的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练7-3】【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积，
【详解】（1）3∶4；

解：如图，过点A作，
则
．
（2）和是等高三角形，
，
；
和是等高三角形，
，
．
【变式训练7-4】在中，，过点C作于D，

(1)在图1中，若，，，则 ，边上的高 ；
(2)在图2中，若点P是B，C所在直线上的一点（不与点B，C重合），过点P作于E，作于F，请你补齐图形，尝试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)图形见详解，当点在线段上运动时，；当点在点左边运动时，；当点在点右边运动时，．理由见解析．
【分析】（1），据此即可求解；
（2）分类讨论当点在线段上运动、当点在点左边运动、当点在点右边运动，结合之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：，
∵
∴
故答案为：；
（2）解：当点在线段上运动时，连接，如图所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
当点在点左边运动时，连接，如图所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
当点在点右边运动时，连接，如图所示：

∵，
，，，
∴
∵
∴
【变式训练7-5】小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：

【习题回顾】：
(1)已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．试说明：；
【变式思考】：
(2)如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，的反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论；
（2）先求解，结合角平分线可得，证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：，是高，
，，
，
是角平分线，
，
，，
．
（2），，
，
为的角平分线，
，
为边上的高，
，
，
又，，
．
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1.1.2 三角形的高、中线、角平分线七大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：画三角形的高
【经典例题1】如图，在中，边上的高线是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【变式训练1-1】如图，在中，下列关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【变式训练1-2】如图图形中，线段是的高的是（　　）
A．B． C． D．
【变式训练1-3】如图，在中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【变式训练1-4】如图，中，，，，，垂足分别为、、，则线段 是中边上的高．
【变式训练1-5】如图，在中，于，那么图中以为高的三角形共有 个．
题型二：与三角形高有关的计算
【经典例题2】如图，、是的高，，，，则（ ）
A． B．10 C． D．6
【变式训练2-1】如图，在中，，三角形面积为27，点O是边上任意一点，则点O分别到，边的距离之和等于（ ）
A．5 B． C．9 D．10
【变式训练2-2】如图，在中，，，，，则点到边距离为 ．
【变式训练2-3】如图，在中，，，，，， 则的长为
【变式训练2-4】如图，为钝角三角形，分别过点作边上的高，已知，，，则的长为 ．

【变式训练2-5】如图，已知分别是中边上的高，，求的长．
【变式训练2-6】如图，在中，，为边上的高，与交于点．若，求的度数．
题型三：根据三角形的中线求长度
【经典例题3】如图，在中，是中线，，．
(1)与的周长差为_______cm．
(2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长．
【变式训练3-1】在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设）
【变式训练3-2】如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．求的长．
【变式训练3-3】如图，的周长为分别是边上的中线，的延长线交于点，且，求的长．
【变式训练3-4】如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ．
【变式训练3-5】如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 。
题型四：根据三角形的中线求面积
【经典例题4】如图所示，在中，D、E、F分别为、、的中点，且（阴影部分），则的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，在中，点为边的中点，连接，取的中点，连接，，点为的中点，连接，若的面积为，则的面积为（ ）

A．6 B．4 C．3 D．2
【变式训练4-2】如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式训练4-3】如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为，则四边形的面积为 ．
【变式训练4-4】如图，已知点D，E，F分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为 ．
【变式训练4-5】如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ．
题型五：角平分线的认识
【经典例题5】如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E，F为上的一点，于H，下面判断正确的有（ ）
是的角平分线；
是的边上的中线；
是的边上的高；
是的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-1】在中，线段，分别是高线，中线和角平分线，则（　　）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，的角平分线与中线交于点，则结论（　　）
①是的角平分线；
②是的中线．

A．①，②都正确B．①不正确，②正确C．①，②都不正确 D．①正确，②不正确
【变式训练5-3】下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段 B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条中线一定交于同一点 D．三角形的三条高交于同一点
【变式训练5-4】下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形 ③三角形三条高都在三角形内部 ④三角形的三条中线交于一点
A．①②③④ B．②④ C．①③ D．④
【变式训练5-5】在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（　　）
A．角平分线 B．高 C．中线 D．不能确定
【变式训练5-6】下列说法正确的个数有（ ）
①三角形的高、中线、角平分线都是线段；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型六：利用网格求三角形面积
【经典例题6】如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，将先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，按要求回答问题．
(1)画出平移后的．
(2)平移后，和两条线段之间的关系 ．
(3)在平移过程中，求出线段扫过的面积．
【变式训练6-1】如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移4个单位长度再向上平移1个单位长度，得到．
(1)画出；
(2)在图中连接、，那么与的关系是 ；
(3)的面积为 ．
【变式训练6-2】如图，在所给的网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
(1)作出三角形ABC向右平移3格，向上平移4格后所得的三角形；
(2)连结，，判断与的位置关系，并求四边形的面积．
【变式训练6-3】如图，在每格边长为1的网格上．平移格点三角形，使三角形的顶点A平移到格点D处．
(1)请画出平移后的图形三角形（B，C的对应点分别为点E，F）
(2)求三角形的面积．
(3)直接写出线段与线段之间的关系．
【变式训练6-4】如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的；
(2)在图中作出三角形中边上的中线；
(3)求的面积．
【变式训练6-5】如图，的三个顶点的坐标分别为．
(1)将向下平移4个单位得到，画出．
(2)请画出关于轴对称的．
(3)求出的面积．
题型七：三角形三条重要线段应用之探究问题
【经典例题7】综合与实践
问题情境 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．

【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________．
【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时．
①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
②当，，时，线段的长为________．
【变式训练7-1】【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【变式训练7-2】如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．

(1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数；
(2)如图2，当都是的高时，求的度数；
(3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．
【变式训练7-3】【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．

【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【变式训练7-4】在中，，过点C作于D，

(1)在图1中，若，，，则 ，边上的高 ；
(2)在图2中，若点P是B，C所在直线上的一点（不与点B，C重合），过点P作于E，作于F，请你补齐图形，尝试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【变式训练7-5】小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：

【习题回顾】：
(1)已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．试说明：；
【变式思考】：
(2)如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，的反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数．
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