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1.3.3 角平分线的性质与判定九大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：对角平分线性质的理解
【经典例题1】如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【变式训练1-1】如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上
【变式训练1-2】下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的中线、角平分线、高都是线段
C．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
D．三角形的三条高都在三角形内部
【变式训练1-3】到三角形的三边距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
【变式训练1-4】如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（ ）

A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【变式训练1-5】到三角形三边距离相等的点是三角形三条（ ）
A．中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．角平分线的交点 D．高线的交点
题型二：利用角平分线的性质求线段长度
【经典例题2】如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【变式训练2-1】如图，在中，，，，点O是三条角平分线的交点，则的边上的高是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2-2】如图，中，是角平分线，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】如图，，和分别平分和．过点P，且与垂直，若．则点P到的距离是（　　）
A．5 B． C．6 D．
【变式训练2-5】如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．
题型三：利用角平分线的性质求面积
【经典例题3】如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【变式训练3-1】如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）

A．3 B．6 C．9 D．18
【变式训练3-2】如图，在中，，，，，BD是的平分线，设和的面积分别为，，则的值为（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5
【变式训练3-3】如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（ ）
A．23 B．34 C．39 D．46
【变式训练3-4】如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用角平分线的性质求最值
【经典例题4】如图，平分，P是上一点，过点P作于点Q，，O是上任意一点，连接，则的最小值为 ．
【变式训练4-1】如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时， ．

【变式训练4-2】如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为 ．
【变式训练4-3】如图，是等腰的角平分线，，，则的值是 ；E为线段（端点除外）上的动点，连接，作，且，连接，当的周长最小时，则的值是 ．

【变式训练4-4】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．7
题型五：利用角平分线的判定求角度
【经典例题5】如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【变式训练5-2】如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
【变式训练5-3】如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是 ．
【变式训练5-4】如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ．
【变式训练5-5】如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ．
题型六：利用角平分线的性质和判定证明
【经典例题6】如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分．
【变式训练6-1】如图，在中，和的平分线相交于点，连接．求证：平分．
【变式训练6-2】如图，，，，、交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)求的度数．（用含α的式子表示）
【变式训练6-3】如图，已知中，、的平分线交于，交于，交于，连接，过作于．
(1)试判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)试判断与的数量关系，并证明你的结论；
(3)若，探究与的数量关系，并证明你的结论．
【变式训练6-4】如图，，是的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，，求四边形的面积．
【变式训练6-5】如图，中，，点分别在边上，，．

(1)求证：平分；
(2)写出与的数量关系，并说明理由．
题型七：角平分线的实际应用
【经典例题7】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

(1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？
(2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个）
【变式训练7-1】已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
【变式训练7-2】如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
【变式训练7-3】如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等．
(1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)简述你的作图理由．
【变式训练7-4】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
【变式训练7-5】三条公路两两相交于三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，问可供选择的地方有多少处 请画出图形并在图中找出来．
题型八：角平分线性质和判定的应用之多结论问题
【经典例题8】如图，在和中，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练8-1】如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式训练8-2】如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式训练8-3】如图，与均为等腰三角形，，连接交于点F，与交于点G，与交于点H，并连接．下列结论：①；②；③；④平分；⑤，正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练8-4】如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【变式训练8-5】如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
题型九：角平分线性质和判定的应用之探究问题
【经典例题9】【问题情境】在和中，，，．

(1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________；
(2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？
(3)【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由．
【变式训练9-1】已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于B，D两点，且．过点C作，垂足为E．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的等量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G．若，求线段的长．
【变式训练9-2】在中，平分交于点．

(1)如图1，若，则　 　．（直接写出结果）
(2)如图2，点为延长线上的一点，于点，当时，求的度数．
(3)如图3，平分的外角交的延长线于点，连，点是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．
【变式训练9-3】在四边形中，对角线平分．
【感知】如图①，当时，利用全等知识求证：．
【探究】如图②，当时，求．
【应用】如图③，当，，，于点，则______．
【变式训练9-4】如图1，等腰直角三角形中，O为斜边的中点，为的平分线，过点B作，垂足为D，交于点E，与交于点F．
（1）求证：；
（2）将沿方向移动至P处，角的一边分别交、于点Q、H，如图2所示，试探究线段和的数量关系，以及它们所在直线的位置关系．
【变式训练9-5】已知，直线，点A，在上（点A在点的左侧），点，在上，连接，．作的平分线交于点．
（1）特例感知：如图1，点在点的右侧，连接，作的平分线交于点，若，求的度数．
（2）点在点的左侧，连接，作的平分线交于点．
①变式求异：如图2，若，求的度数．
②化归探究：已知，直线，直线交于点（点不与点重合），若，求的度数（用含的代数式表示，直接写出答案）．
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1.3.3 角平分线的性质与判定九大题型（一课一讲）
【同步培优】
题型一：对角平分线性质的理解
【经典例题1】如图，三个村庄、、构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了到三角形三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，据此解答即可．
【详解】解：依题意，供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点
故选：A．
【变式训练1-1】如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案．
【详解】解：如图：
，，，
在的角平分线上，
故选B．
【变式训练1-2】下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条角平分线的交点是三角形的重心
B．三角形的中线、角平分线、高都是线段
C．三角形的一条角平分线把该三角形分成面积相等的两部分
D．三角形的三条高都在三角形内部
【答案】B
【分析】根据三角形重心概念、三角形的中线、角平分线、高性质判断求解即可．
【详解】解：三角形三条中线的交点是三角形的重心，
故A错误，不符合题意；
三角形的中线、角平分线、高都是线段，
故B正确，符合题意；
三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，
故C错误，不符合题意；
锐角三角形的三条高都在三角形内部，
故D错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-3】到三角形的三边距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条内角平分线的交点
C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了角的平分线的性质．根据角平分线的性质“在角的内部，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上”判断即可．
【详解】解：根据角平分线的性质知，到三角形的三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点，
观察四个选项，选项B符合题意；
故选：B．
【变式训练1-4】如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（ ）

A．的角平分线与边上中线的交点
B．的角平分线与边上中线的交点
C．的角平分线与边上中线的交点
D．的角平分线与边上中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查角平分线，三角形中线，全等三角形的知识，解题的关键是延长交于点，过点作的延长线交于点，过点作交，根据角平分线的性质，则点在的角平分线上，根据，则，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，即可．
【详解】延长交于点，过点作的延长线交于点，过点作交于点，
∵点到、的距离相等，
∴点在的角平分线上，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是上的中线，
∴点是的角平分线与边上中线的交点．
故选：B．

【变式训练1-5】到三角形三边距离相等的点是三角形三条（ ）
A．中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．角平分线的交点 D．高线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
利用角平分线的性质，只有角平分线的交点到三边的距离相等．
【详解】到三角形各边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，
故选：C．
题型二：利用角平分线的性质求线段长度
【经典例题2】如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用．过作于，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式，即可解题．
【详解】解：过作于，如图所示：
是中的角平分线，，于点，，
，
，
，
，
，
解得．
故选：A．
【变式训练2-1】如图，在中，，，，点O是三条角平分线的交点，则的边上的高是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定，勾股定理的逆定理，根据面积相等列方程求出OE是解决本题的关键．
过O作于E，于F，于D，得到，证明是直角三角形，设，从而利用面积等于3个小三角形面积和，求得的边上的高．
【详解】解：过O作于E，于F，于D，
∵点O为的三条角平分线的交点，
∴，
在中，，，，
∴
∴是直角三角形，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点O到的距离等于1．
即的边上的高是1，
故选：A．
【变式训练2-2】如图，中，是角平分线，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比的性质．根据角平分线的性质可得点D到的距离相等，设为h，然后表示出和，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，进而可求出的长．
【详解】解：∵是角平分线，
∴点D到的距离相等，设为h，
∴，
∵点A到的距离相等，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【变式训练2-3】如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，则点O到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形面积是解题的关键．利用角平分线的性质结合三角形的面积得出答案．
【详解】解：过点作，垂足分别为，连接，
，，，
，
是、的平分线，，
，
，
，
（），
故选：B．
【变式训练2-4】如图，，和分别平分和．过点P，且与垂直，若．则点P到的距离是（　　）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，点到直线的距离；过作交于，由角平分线的性质得，即可求解；掌握性质，作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作交于，
，，
，
和分别平分和，
，
；
故选：C．
【变式训练2-5】如图，中，，，点D 是的角平分线的交点，则点D到的距离为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再根据等面积法计算即可.
【详解】解：如图所示，过点D作作、、分别垂直于，、，垂足分别为E、F、G，连接
与的角平分线交于点D，
，
∴
∴，
，
∴，
∴点D到的距离为1，
故选：A．
题型三：利用角平分线的性质求面积
【经典例题3】如图，在中，的角平分线交于，则的面积为（ ）

A．8.2 B．7.8 C．6.4 D．5.6
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，以及运用三角形的高求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据角平分线的性质，得，通过同高，底边比就是面积比得，运用割补法得的面积，进行代入数值计算，即可作答．
【详解】解：如图：分别过点E作，的面积分别记
∵的角平分线交于，
∴
∵
则，，（同高，底边比就是面积比）
∴
∴
则的面积
故选：C
【变式训练3-1】如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）

A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，

∵平分，，，
，
，
∴的面积为：，
故选：C．
【变式训练3-2】如图，在中，，，，，BD是的平分线，设和的面积分别为，，则的值为（ ）
A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
过点D作交于点E，根据角平分线的性质得出，再利用三角形的面积公式分别求出，，最后求比即可得出答案．
【详解】解：过点D作交于点E
BD是的平分线，
，，
，
故选B．
【变式训练3-3】如图，的周长为23，和的角平分线交于点O，且于点D，，则的面积为（ ）
A．23 B．34 C．39 D．46
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键．
过点O作于E，于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得，再根据三角形面积计算即可．
【详解】解：如图: 过点O作于E，于F，
的平分线交于O，，，，
∴，，
∴，
∴的面积．
故选D．
【变式训练3-4】如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，作于，于，得，则，设的面积为，则，由为的中点，从而，根据的面积比的面积大，列出方程即可求解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】作于，于，
∵平分，
∴，
∴，
设的面积为，则，
∵为的中点，
∴，
∵的面积比的面积大，
∴的面积比的面积大，
∴，
∴，
∴
故选：．
题型四：利用角平分线的性质求最值
【经典例题4】如图，平分，P是上一点，过点P作于点Q，，O是上任意一点，连接，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置．
根据垂线段最短确定点O的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离．
【详解】解：∵O是上任意一点，
∴当时，的值最小，
又∵平分，P是上一点，，
∴的最小值为5．
故答案为：5．
【变式训练4-1】如图，在中，，平分交于点，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时， ．

【答案】128
【分析】本题考查的角平分线的性质，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，如图，过作于，交于，此时，此时最短，再结合角平分线与三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：如图，过作于，交于，

当时，而平分，
∴，
∴，此时最短，
∵，平分，
∴，，
∴，
故答案为：
【变式训练4-2】如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为 ．
【答案】45°
【分析】找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：如图，
找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN的值最小．
∵PM=PM′，
∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，
∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，
∴OM=OM′，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM'O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM'O=45°，
故答案为：45°．
【变式训练4-3】如图，是等腰的角平分线，，，则的值是 ；E为线段（端点除外）上的动点，连接，作，且，连接，当的周长最小时，则的值是 ．

【答案】
【分析】作，可通过面积比求出；连接，易证，，所以点F在射线上运动，作点A关于射线对称点，当，F，D三点共线时，，此时周长最小，求出结论即可．
【详解】解：作，如图：

是等腰的角平分线，
，
，
边上的高相同，
；
连接，
，
，
，
，
，
，
点F在射线上运动，
作点A关于射线对称点，当，F，D三点共线时，
，
此时周长最小，
由点A与点对称，得：
，
平分，
．
故答案为：，．

【变式训练4-4】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（　　）
A．2 B．1 C．6 D．7
【答案】B
【分析】过点作于，由角平分线的作法可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，根据过直线外一点到直线的垂线段最短， 最短为2，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
由角平分线的作法可知，是的角平分线，
点为线段上的一个动点，最短，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的面积．
故选：B．
题型五：利用角平分线的判定求角度
【经典例题5】如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故选D．
【变式训练5-1】如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出．
【详解】解：作于N，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴，
又，，
∴，
故选：B．

【变式训练5-2】如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
【答案】/70度
【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵将纸片沿折叠，点A落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
【变式训练5-3】如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是 ．
【答案】/48度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到，过点E作交延长线于F，作于G，作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出是的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵和的角平分线相交于点E，
∴，
由三角形的外角性质得，，
，
∴，
∴，
整理得，，
∵，
∴，
过点E作交延长线于F，作于G，作于H，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∴．
故答案为：．
【变式训练5-4】如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分；
过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答．
【详解】解：过点E作，如图所示：
三角形的外角和的平分线交于点E，
，
，
，
平分，
，
故答案为：．
【变式训练5-5】如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的大小等于 ．
【答案】/34度
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，先根据角平分线的判定与性质得出平分，然后利用三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：过点D作于H，于E，于F，
∵的平分线与的外角平分线交于点，
∴，，
∴平分，
∴，
∵，
∴
，
故答案为：．
题型六：利用角平分线的性质和判定证明
【经典例题6】如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】
此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论
【详解】证明：如图，过点作于点，于点，
，，
，
，
，
，即为的平分线．
又，，
．
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分．
【变式训练6-1】如图，在中，和的平分线相交于点，连接．求证：平分．
【答案】见详解
【分析】
本题考查了角平分线的判定与性质，过点作于点于点于点，利用角平分线的性质可得，进一步得到，即可证明平分．
【详解】证明：过点作于点于点于点，
，分别平分和，
，
．
于点于点，
平分．
【变式训练6-2】如图，，，，、交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)求的度数．（用含α的式子表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由条件根据可证明，则结论得证；
（2）过点作于，于，可证明，可证得，利用角平分线的判定可证明结论；
（3）由（1）可得，再利用三角形内角及外角的性质可求得．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：过点作于，于，
，
，
在和中，
，
，
，
于，于，
平分；
（3）解：，
，
，
，
，
由（2）得平分，
，
即．
【变式训练6-3】如图，已知中，、的平分线交于，交于，交于，连接，过作于．
(1)试判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)试判断与的数量关系，并证明你的结论；
(3)若，探究与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，然后由，即可获得答案；
（2）过作于，于，首先根据角平分线的性质定理可得，，得，进而证明为的角平分线，结合（1）可知，，再证明，即可证明结论；
（3）结合题意证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1），证明如下：
∵平分，平分，
∴，，
∴
；
（2），证明如下：
过作于，于，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∴在的角平分线上，
∴，
结合（1）可知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），证明如下：
∵，
∴由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式训练6-4】如图，，是的中点，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见详解
(2)60
【分析】此题主要考查了梯形的面积，角平分线的性质和判定，以关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
（1）过点作于点，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，根据等量代换可得，再根据角平分线的判定可得平分；
（2）根据全等三角形的性质可得，，可求，再利用梯形的面积公式可得答案．
【详解】（1）证明：过点作于点，
平分
是的中点，
又∵，
∴平分．

（2）平分，
∵
同理可得：，
，
【变式训练6-5】如图，中，，点分别在边上，，．

(1)求证：平分；
(2)写出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)．理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）过点作于点，证明得到，从而可得出点在的平分线上，即可得证；
（2）证明得到，由（1）知，，得到，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，

∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
平分；
（2）解：，
理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
题型七：角平分线的实际应用
【经典例题7】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：

(1)如图①，要在河边l修建一个水泵站M，使．水泵站M要建在什么位置？
(2)如图②，三条公路两两相交，现计划修建一个油库P，要求油库P到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库P的位置？（请作出符合条件的一个）
【答案】(1)见解析
(2)见解析（答案不唯一）
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和画法得出即可；
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出两个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点（作一个点即可）．
【详解】（1）如图1所示：M点即为所求．

（2）如图2所示（答案不唯一）．

【变式训练7-1】已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
【答案】(1)4处
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点，即可得到答案；
（2）作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
【详解】（1）解：可选择的地点有4处，如图：
、、、，共4处．
（2）解：能，如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
【变式训练7-2】如图，某地有两个村庄，，和两条相交的公路，，现计划在内修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定物资仓库的位置．（保留画图痕迹，不写画法）
【答案】见详解
【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作的平分线两者交于点P，点P即为所求．
【详解】连接，作线段的垂直平分线，与的平分线交于点P，则点P到点，的距离相等，到，的距离相等，作图如下，点P即为所求，

【变式训练7-3】如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等．
(1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)简述你的作图理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先做的角平分线，再画的垂直平分线，相加于点为所求；
（2）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可理解．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．点P到两条公路距离相等，到两个村庄距离也相等故为角平分线与垂直平分线的交点．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练7-4】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库．
（1）如果要求油库到两条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
（2）如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？
【答案】（1）油库的位置在直线MN或直线EF上；（2）见解析
【分析】（1）作∠BAC角平分线AN，作∠BAD的角平分线AE，直线MN，直线EF上的点满足条件．
（2）根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，分别作出三个内角的平分线、相邻两个外角的平分线，共有四个点．
【详解】解：（1）如图，油库的位置在直线MN或直线EF上；
（2）如图，点P1，P2，P3，P4即为所求．
【变式训练7-5】三条公路两两相交于三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，问可供选择的地方有多少处 请画出图形并在图中找出来．
【答案】详见解析
【分析】要到三条公路的距离相等，所以超市要选择的位置是△ABC内角平分线和外角平分线的交点，作图即可.
【详解】分别作△ABC外角的平分线和内角平分线，交点处即是所求，如图可供选择的地方有4处，分别为：O1，O2，O3，O4．
题型八：角平分线性质和判定的应用之多结论问题
【经典例题8】如图，在和中，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；设交于点，因为，所以，可判断②正确；作于点于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确；假设，则，所以，由，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正确；
设交于点G，
∴，
故②正确；
作于点于点J，
∵，
∴，又，
∴，
∴点A在的平分线上，
∴平分，
故④正确；
假设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，与已知条件相矛盾，
∴，
故③错误，
∴①②④这3个结论正确，
故选：C．
【变式训练8-1】如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④连接，平分，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质定理，掌握相关性质是解题关键．根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可判断①结论；证明，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据角平分线的判定和性质定理，即可判断④结论．
【详解】
解：在中，
，
，
又、分别平分、，
，
，故①正确．
，
又，
，
，
，
又，，
，
，，，故②正确．
在和中，
，，，
，
，故③正确．
的角平分线、相交于点P，
点P到、的距离相等，点P到、的距离相等，
点P到、的距离相等，
点P在的平分线上，
平分，故④正确．
故选：D．
【变式训练8-2】如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，，故①正确；由三角形的外角性质得，易得，故②正确；作于，于，首先证明，易得，进而证明平分，当时，才平分，假设，可证明，可得，进而可得，而与矛盾，故③错误；没有条件可以证明平分，故④错误．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，，故①正确；
由三角形的外角性质得，
∴，故②正确；
作于，于，如图所示，
则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，
∵，
∴当时，平分，
假设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，与矛盾，故③错误；
∵没有条件可以证明平分，
∴④错误．
综上所述，正确的个数有2个．
故选：C．
【变式训练8-3】如图，与均为等腰三角形，，连接交于点F，与交于点G，与交于点H，并连接．下列结论：①；②；③；④平分；⑤，正确的个数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．过点A作于点M，于点N，证明，即可判断①③④正确．
【分析】解：过点A作于点M，于点N，
∵
∴
在和中，
∴，故①正确，
∴，
∵
∴
∵
∴，故③正确，
∵
∴
∴
∴，
∴平分，故④正确，
在和中，，
由于无法判断，
故无法判断，故与不一定相等．故②错误．
故选：C．
【变式训练8-4】如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④．
【详解】解：∵
∴，，
∵平分
∴
∵平分，，
∴．
∵，
∴
∴，故①错误；
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵
∴
∴，故②正确；
∵BD平分，
∴
∵，
∴，故③正确；
过点D作于N，于 G ，于H，如图，

∵平分，， ，
∴
∵平分， ，，
∴
∴
∴为外角的平分线，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
即，故④正确．
故选：C．
【变式训练8-5】如图，在和中，，，，连接，相交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质．利用手拉手模型证明，可得①②正确，根据全等推导出是的平分线可得④正确；利用反证法证明③不成立即可．
【详解】解：设、相交于点，过点作，垂足为，作，垂足为，

，
，即，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，故②正确；
，
，
，，
平分，
，
，
，故④正确；
假设③正确，则一定有，又，则会有，
，，
，则，假设不成立，③错误．
综上，①②④正确；
故选：C．
题型九：角平分线性质和判定的应用之探究问题
【经典例题9】【问题情境】在和中，，，．

(1)【初步探究】如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，连接、，延长交于点F，则与的数量关系是________，位置关系是________；
(2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，连接交于点H，连接交于点F，（1）中结论是否仍然成立，为什么？
(3)【衍生拓展】如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若固定，求出的度数；若不固定，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)成立，理由见详解；
(3)，理由见详解．
【分析】
（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）证明：如图1，

在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：成立，证明：如图2，

，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3），
如图3，过点C作，，垂足分别为M、N，

，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【变式训练9-1】已知点C是平分线上一点，的两边分别与射线相交于B，D两点，且．过点C作，垂足为E．
(1)如图1，当点E在线段上时，求证：；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上时，探究线段与之间的等量关系；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点F，交于点O，连接并延长交于点G．若，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析；
(3)6．
【分析】（1）过点C作，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）过点C作，利用证明，从而得到，证明，得到，结合图形解答即可；
（3）在BD上截取，连接OH，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点C作，垂足为F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点C作，垂足为F，
∵平分，
∴
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
在和中，
，
∴
∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴点O到的距离相等，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴．
【变式训练9-2】在中，平分交于点．

(1)如图1，若，则　 　．（直接写出结果）
(2)如图2，点为延长线上的一点，于点，当时，求的度数．
(3)如图3，平分的外角交的延长线于点，连，点是延长线上的一点且，请探究与之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．
【答案】(1)
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）过点作于，作于，根据角平分线的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；
（2）设，则，，据此知，结合可得答案；
（3）过点作于点，于点，，交延长线于点，证明得，从而得到平分，根据三角形外角的性质得，则，根据三角形外角的性质及平角的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作于，作于，
，
平分交于点，
，
，，
，
故答案为：；
（2）解：设，则，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：，
证明：如图3，过点作于点，于点，，交延长线于点，
，
平分，平分，
，
又，
，
，
，
平分，
，
，即，
，
则
，
．
【变式训练9-3】在四边形中，对角线平分．
【感知】如图①，当时，利用全等知识求证：．
【探究】如图②，当时，求．
【应用】如图③，当，，，于点，则______．
【答案】【感知】：证明见解析；【探究】：1∶2；【应用】1∶2．
【感知】证明，即可求证；
【探究】过点C作于点E，过点C作垂直延长线于点F，根据三角形中高相等，面积的比即为底的比即可求解；
【应用】过点C作于点F，通过设未知数找到与的长度比，即可求解．
【详解】感知：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
探究：如图②，过点C作于点E，过点C作垂直延长线于点F．
∵平分，，，
∴，
∵，，且，
∴=1∶2．
应用：如图③，过点C作于点F，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
设，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即：，
∴，
．
【变式训练9-4】如图1，等腰直角三角形中，O为斜边的中点，为的平分线，过点B作，垂足为D，交于点E，与交于点F．
（1）求证：；
（2）将沿方向移动至P处，角的一边分别交、于点Q、H，如图2所示，试探究线段和的数量关系，以及它们所在直线的位置关系．
【答案】（1）见解析；（2）=且⊥，见解析
【分析】（1）由等腰直角三角形，可得AB=CB，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，由为的平分线，可得∠OCH=∠BOH=22.5°，可证∠ABE=∠BCH=22.5°，由O为斜边的中点，可得AO=CO=BO，∠ABO=∠CBO=45°，可证△ABE≌△BCH（ASA），再证Rt△BOE≌Rt△COH（HL）；
（2）=2，PQ⊥BE，过P作PM⊥OB于N，交BE于M，CD⊥BE于D，由沿方向移动至P处，可得QP∥CD，∠QPB=∠DCB=22.5°由，可得PQ⊥BE，由OC⊥OB，可得PM∥OC，可证∠NPB=∠NBP,可证△BMN≌△PHN（ASA），再证△BPQ≌△MPQ（ASA）可推出PH=2BQ．
【详解】证明（1）∵等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，
∵为的平分线，
∴∠OCH=∠BOH=22.5°
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵，
∴∠BDC=90°，
∴∠EBC+∠HCB=90°，
∴∠ABE=∠BCH=22.5°，
∵O为斜边的中点，
∴AO=CO=BO，∠ABO=∠CBO=45°，
∴∠A=∠HBC，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵OB=OC，
∵BO是等腰直角三角形的斜边中线，
∴OB⊥AC，
∴Rt△BOE≌Rt△COH（HL）；
（2）=2，PQ⊥BE，
过P作PM⊥OB于N，交BE于M，CD⊥BE于D，
∵将沿方向移动至P处，
∴QP∥CD，
∴∠QPB=∠DCB=22.5°，
∵，
∴PQ⊥BE，
∵OC⊥OB，
∴PM∥OC，
∴∠NPB=45°，
∵∠NBP=45°，
∴∠NPB=∠NBP,
∴BN=PN，
由（1）知∠EBO=∠OCD=22.5°，
∵∠NPH=∠NPB-∠HPB=45°-22.5°=22.5°=∠MBN，
∵∠MNB=∠HNP=90°，
∴△BMN≌△PHN（ASA），
∴BM=PH，
由PQ⊥BE，
∴∠PQB=∠PQM=90°，
∵∠BPQ=∠MPQ=22.5°，PQ=PQ，
∴△BPQ≌△MPQ（ASA），
∴BQ=QM=，
∴PH=2BQ．
【变式训练9-5】已知，直线，点A，在上（点A在点的左侧），点，在上，连接，．作的平分线交于点．
（1）特例感知：如图1，点在点的右侧，连接，作的平分线交于点，若，求的度数．
（2）点在点的左侧，连接，作的平分线交于点．
①变式求异：如图2，若，求的度数．
②化归探究：已知，直线，直线交于点（点不与点重合），若，求的度数（用含的代数式表示，直接写出答案）．
【答案】（1）；（2）①；②∠BGD的度数为或或．
【分析】（1）作直线，由平行线和角平分线的性质即可得出，，即可求出．
（2）①直接利用平行线和角平分线的性质即可得出．
②分类讨论Ⅰ当点D在①条件下的点D的右侧时、Ⅱ当点D在①条件下的点D的左侧，且点G在MN下方时、Ⅲ当点D在①条件下的点D的左侧，且点G在MN和PQ中间时，分别利用由平行线和角平分线的性质结合三角形内角和定理和三角形外角性质即可求出．
【详解】（1）如图，作直线，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵BE为的角平分线．
∴，
∴．
∵，
∴，
∵DF为的角平分线．
∴，
∴．
∴．
（2）①由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵DF为∠ADC的角平分线，
∴．
②Ⅰ如图，当点D在①条件下的点D的右侧时．
由（1）可知，
∵，
∴.
∵DF为∠ADC的角平分线，
∴.
∴，
∴．
Ⅱ如图，当点D在①条件下的点D的左侧，且点G在MN下方时．
同理可知，，
∴．
Ⅲ如图，当点D在①条件下的点D的左侧，且点G在MN和PQ中间时．
同理可知，，
∴．
综上可知，∠BGD的度数为或或．
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