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专题13 子集、全集、补集
1、理解集合间的包含与被包含关系，子集的概念； 2、能够求出给定集合的子集； 3、理解全集、补集的概念； 4、能够求出给定集合的补集。
一、子集基本概念：
子集：如果集合的任意一个元素都是集合的元素(若,则),那么集合称为集合的子集(subset),记为或,读作“集合A包含于集合B"或“集合B包含集合A".
特别的，任何一个集合是它本身的子集.
对于空集，我们规定，即空集是任何集合的子集.
真子集：如果,并且,那么集合称为集合的真子集(proper subset),记为或,读作"A真包含于B"或"B真包含A",如.
二、补集基本概念
全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universal set),全集通常记作.
例如,在实数范围内讨论集合时,便可看作一个全集.
补集：设,由中不属于的所有元素组成的集合称为的子集的补集(complementary set),记为(读作"A在S中的补集"),即．
三、Venn图
我们常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.
四、利用Venn图表示集合关系
子集 补集
例题1．下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，则，则集合的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
例题3.已知集合，.若，则的值为（ ）
A．2 B．1
C．-1 D．-2
例题4.已知，，若，则______．
1．设，，若，则 （ ）
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
2．已知集合，，若，则（ ）
A．或 B． C． D．或或
3．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
4．已如集合，则满足的集合的个数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为______.
1．已知集合满足，则集合A可以是（ ）
A． B． C． D．
2．集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）下列正确的有（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）已知集合，且，则实数的取值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
一、单选题
1．若集合，则的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．下列与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．集合的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______．
7．若集合，则时，___________．
8．已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
9．若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.
10．集合，，若且，则的取值为________．
三、解答题
11．已知集合或，，且，求m的取值范围．
12．已知集合A={x|x2-9x+14=0}，集合B={x|ax+2=0}，若B是A的真子集，求实数a的取值集合．
13．已知非空集合，，若，求实数的取值范围.
14．已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S (x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.
（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；
（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.
专题13 子集、全集、补集
1、理解集合间的包含与被包含关系，子集的概念； 2、能够求出给定集合的子集； 3、理解全集、补集的概念； 4、能够求出给定集合的补集。
一、子集基本概念：
子集：如果集合的任意一个元素都是集合的元素(若,则),那么集合称为集合的子集(subset),记为或,读作“集合A包含于集合B"或“集合B包含集合A".
特别的，任何一个集合是它本身的子集.
对于空集，我们规定，即空集是任何集合的子集.
真子集：如果,并且,那么集合称为集合的真子集(proper subset),记为或,读作"A真包含于B"或"B真包含A",如.
二、补集基本概念
全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universal set),全集通常记作.
例如,在实数范围内讨论集合时,便可看作一个全集.
补集：设,由中不属于的所有元素组成的集合称为的子集的补集(complementary set),记为(读作"A在S中的补集"),即．
三、Venn图
我们常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图.
四、利用Venn图表示集合关系
子集 补集
例题1．下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可；
【详解】
解：对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故满足，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：C
例题2.已知集合，非空集合满足：（1）；（2）若，则，则集合的个数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【分析】
根据题意把中元素按相反数分成4组，这4组元素中一定是一组元素全属于或全不属于，由此结合集合的子集的性质可得的个数．
【详解】
满足条件的集合应同时含有或或或0，又因为集合非空，所以集合
的个数为个，
故选：.
例题3.已知集合，.若，则的值为（ ）
A．2 B．1
C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】
由题意可知集合，解出集合即可求出的值.
【详解】
因为，所以集合为双元素集，
即
所以.
故选：A.
例题4.已知，，若，则______．
【答案】1
【分析】
根据集合相等先确定出，结合集合中元素的互异性求解出的值，由此可计算出的值.
【详解】
因为且，所以，所以，
所以，所以且，
所以，所以，
故答案为：.
1．设，，若，则 （ ）
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
【答案】C
【分析】
根据题意分和两种情况，进而对方程的根依次检验即可得答案.
【详解】
当时，得，
若，则不满足集合中的元素的互异性，所以；
若，则，，满足题意，
当时，或（舍去），满足题意，
∴或，
故选：C．
2．已知集合，，若，则（ ）
A．或 B． C． D．或或
【答案】D
【分析】
利用子集的定义讨论即可.
【详解】
因为，集合，，
若，则，符合；
若，则或，经检验均符合.
故选：D.
3．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【分析】
先求出集A，B，再由件，确定集合C即可
【详解】
解：由题意得,
因为
所以，
所以集合C的个数为集合的非空子集的个数为，
故选：A.
4．已如集合，则满足的集合的个数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
先求出，再根据和子集个数的计算公式可得正确的选项．
【详解】
，
因为，故有元素，且可能有元素，
故满足的集合的个数为，
故选：D．
5．若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为______.
【答案】
【分析】
求出集合，由可分、、三种情况讨论，可求得实数的值.
【详解】
依题意得，.
∵,所以集合、、．
当时，即方程无实根，所以，符合题意；
当时，则1是方程的根，所以，符合题意；
当时，则是方程的根，所以，符合题意；
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数值，解题时不要忽略对空集的讨论.
1．已知集合满足，则集合A可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题可得集合A可以是，.
【详解】
，
集合A可以是，.
故选：D.
2．集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.
【详解】
，
表示整数，表示奇数，故，
故A错误，B错误，C正确，而中的元素有分数，故D错误.
故选：C．
3．设，则集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由集合的描述写出集合，根据求，进而可求.
【详解】
由题意，得，
∵，
∴仅当时符合题意，故.
故选：C.
4．（多选）下列正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
先求出方程的解，则集合可知，由此可判断各选项的对错.
【详解】
因为，所以，所以，
A．，故正确；
B．，故错误；
C．空集是任何集合的子集，，故正确；
D．任何集合都是它本身的子集，，故正确；
故选：ACD.
5．（多选）已知集合，且，则实数的取值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】ABC
【分析】
先判断时， 符合题意，再由时化简集合B，即得或，解得结果即可.
【详解】
依题意，
当时， ，满足题意；
当时，，要使，则有或，解得.
综上，或或.
故选：ABC.
一、单选题
1．若集合，则的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.
【详解】
解：，则的子集个数为个，
故选：D.
2．下列与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
集合相等指的是两个集合中元素完全相同，A为点集，B不是集合，C也是点集，D经过计算后可知元素与集合A中完全相同，故选D.
【详解】
解：∵，
∴与集合相等的是.
故选：D
3．集合的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
先求得集合A，根据元素的个数，即可求得子集的个数，即可得答案.
【详解】
由，解得，
所以集合，含有2个元素
所以集合A的子集个数为.
故选：D
4．集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；
【详解】
解：∵，
∴①当时，即无解，此时，满足题意.
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得.
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
5．集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
【详解】
解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
【点睛】
易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.
二、填空题
6．已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______．
【答案】或1
【分析】
由已知可得：集合A只有一个元素，即关于x的方程只有一个根.分类讨论求出a的值.
【详解】
A的子集个数为2个，所以集合A只有一个元素，
即关于x的方程只有一个根.
当时，方程只有一个根符合题意；
当时，关于x的方程只有一个根，只需，解得：.
故或1.
故答案为：或1.
【点睛】
集合A有n个元素，则A的子集的个数为.
7．若集合，则时，___________．
【答案】0
【分析】
由集合相等的定义得出结论．
【详解】
因为，所以．
故答案为：0．
8．已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
分情况讨论：当或，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】
当时，有，则；
当时，若，如图，
则解得．
综上，的取值范围为．
故答案为：
9．若对任意的，则，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为___________.
【答案】15
【分析】
先分析“具有伙伴关系”的集合的特点，然后分析集合中元素的特点，再根据非空子集个数的计算公式求解出结果.
【详解】
由题意可知：，，，满足，将和看成一个元素，
所以的所有非空子集中“具有伙伴关系”的集合：
即为，，，四个“大元素”所构成的集合的非空子集，
所以“具有伙伴关系”的集合的个数为，
故答案为：.
10．集合，，若且，则的取值为________．
【答案】或
【分析】
根据条件可得或，解方程即可得答案；
【详解】
由题意得：或，解得或，
故答案为：或.
三、解答题
11．已知集合或，，且，求m的取值范围．
【答案】或
【分析】
因为，所以，分别讨论和两种情况然后求并集.
【详解】
解：因为，所以，
当时，，解得：；
当时，或解得：或
所以或.
12．已知集合A={x|x2-9x+14=0}，集合B={x|ax+2=0}，若B是A的真子集，求实数a的取值集合．
【答案】
【分析】
解出集合A，根据真子集的概念确定参数的取值.
【详解】
A={x|x2-9x+14=0}={2，7}，
因为B是A的真子集，
所以若a=0，即B= 时，满足条件．
若a≠0，则B=，若B是A的真子集，
则-=2或7，
解得a=-1或-．
则实数a的取值的集合为．
【点睛】
关键点点睛：考虑真子集时，要考虑到空集也是集合的真子集，确保取到所有的参数值.
13．已知非空集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】
即，列出不等式组，可得实数的取值范围．
【详解】
∵，又，∴，即.
是非空集合，
∴，解得.
∴所求实数的取值范围是.
14．已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S (x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.
（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；
（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）若，分析和可得答案；
（2）集合S的元素都是整数，利用已知得到非空集合S是所有整数构成的集合.然后再由，， 得到，且可得答案.
【详解】
（1）能，理由如下：
若，且，由题意知的所有整数倍的数都是中的元素，所以是无限集；若，且，则，符合题意，且是有限集，所以集合S能为有限集，即.
（2）证明：
因为非空集合S的元素都是整数，且,
由，，所以，所以，
所以，，，，
，，，，
所以非空集合S是所有整数构成的集合.
由，，所以，因为，
所以，，， ，
所以2的所有整数倍的数都是中的元素，
即，
且，所以也是集合中的元素，
即，
，
综上所述，.
【点睛】
本题考查对集合性质的理解，关键点是理解，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力.

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