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专题14 交集、并集
1、理解交集、并集的概念； 2、能够求出给定集合的交集、并集；
一、交集基本概念：
交集：由所有属于集合且属于集合的元素构成的集合,称为与的交集(intersection set),记作（读作“交”），即.
二、并集基本概念
并集：由所有属于集合或属于集合的元素构成的集合,称为与的并集(intersection set),记作（读作“并”），即.
三、利用Venn图表示集合关系
交集 并集
例题1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例题2.已知集合， ，则=（ ）
A． B．
C． D．
例题3.设全集与集合的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
例题4.已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知全集，集合和的关系的韦恩（Wenn）如图所示，则阴影部分所示的集合是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，，则的值为______．
1．设集合，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．(多选)图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集，集合，，则（ ）
A．{4} B．{3} C．{1，2} D．
3．已知集合和集合，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知集合，若，则所有实数m组成的集合是__________.
7．设集合，若，则的值为_________.
8．已知集合，，则______．
9．已知集合，集合，若，则=_______
10．设集合，且，则实数的取值范围是____.
三、解答题
11．设全集为R，集合，非空集合，
（1）若a＝10，求P∩Q； ；
（2）若，求实数a的取值范围
12．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数t的取值范围．
13．已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
14．已知全集，，
（1）若，求的取值范围；
（2）若，，求
专题14 交集、并集
1、理解交集、并集的概念； 2、能够求出给定集合的交集、并集；
一、交集基本概念：
交集：由所有属于集合且属于集合的元素构成的集合,称为与的交集(intersection set),记作（读作“交”），即.
二、并集基本概念
并集：由所有属于集合或属于集合的元素构成的集合,称为与的并集(intersection set),记作（读作“并”），即.
三、利用Venn图表示集合关系
交集 并集
例题1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据交集的运算规则计算得出结果.
【详解】
由交集的定义知，所以选项ACD错误，选项B正确.
故选:B．
例题2.已知集合， ，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用并集的概念求解即可.
【详解】
由， ，
则=.
故选：B
例题3.设全集与集合的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据图，得到集合关系为．
【详解】
解：由图，元素属于但不属于，
即阴影部分对应的集合为，
故选：D．
例题4.已知集合，，
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）进行根据交集、并集和补集的定义运算即可；
（2）根据可得出，然后讨论是否为空集：时，；时得到不等式组，然后解出的范围即可．
【详解】
解：（1）因为或，
所以，
（2）由，则
当时，，所以
当时，，所以
综上：实数的取值范围为
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用交集的定义求解即可
【详解】
，
故选：B
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据并集的知识确定正确选项.
【详解】
依题意可知
故选：B
3．已知全集，集合和的关系的韦恩（Wenn）如图所示，则阴影部分所示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
阴影部分所示的集合，由集合的运算求解即可.
【详解】
阴影部分所示的集合
故选：C
4．已知集合，，，则的值为______．
【答案】﹣2
【分析】
根据并集运算以及集合中元素的互异性即可求出答案．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴，且，
∴，
故答案为：2．
1．设集合，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分析可得，利用韦达定理可得出、的值，由此可求得的值.
【详解】
因为集合，，则，
所以，、是方程的两根，所以，，因此，.
故选：D.
2．(多选)图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】
由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案
【详解】
解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，
所以阴影部分用集合符号可以表示为或，
故选：AD
3．已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
【答案】（1），；）（2）
【分析】
（1）依题意可得，，即可求出，从而求出集合，则，即可求出；
（2）首先求出集合，依题意可得，对集合分类讨论，即可求出参数的取值；
【详解】
解：（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得
（2）若，所以，因为，所以
当，则；
当，则；
当，则；
综上可得
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据交集的运算直接求解即可.
【详解】
因为集合,,故，
故选：A.
2．已知全集，集合，，则（ ）
A．{4} B．{3} C．{1，2} D．
【答案】A
【分析】
根据集合的运算法则计算．
【详解】
因为，，，所以．
故选：A．
3．已知集合和集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用交集的定义求解即可
【详解】
因为集合和集合，
所以，
故选：C．
4．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】
解：因为，
所以，，所以.
故选：B
5．设，其中，，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解即可得结果．
【详解】
若①错，则，，，
有两种情况：，，，，
或，，，，；
若②错，则，，互相矛盾，故②对；
若③错，则，，，
有三种情况：，，，，；
，，，，；
，，，，；
若④错，则，，，
只有一种情况：，，，，
所以
故选：C
二、填空题
6．已知集合，若，则所有实数m组成的集合是__________.
【答案】
【分析】
由已知得，从而，或或，由此能求出所有实数m组成的集合.
【详解】
∵，，∴，
∴，或或，∴或或，
∴所有实数m组成的集合是.
故答案为：.
7．设集合，若，则的值为_________.
【答案】-3
【分析】
根据交集的定义分类讨论求解参数的值即可得出答案.
【详解】
根据题意：时，或
（1）时，或
时，，集合 B中两元素相等不合题意.
时，
此时，符合题意
（2）时，，此时
，此时 不合题意
所以
故答案为：-3
8．已知集合，，则______．
【答案】.
【分析】
根据补集的概念可直接求解.
【详解】
因为集合，，
根据补集的概念得，
故答案为：.
9．已知集合，集合，若，则=_______
【答案】4；
【分析】
根据集合交集中的元素，结合集合交集的定义，求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为集合，集合，
所以，
故答案为：4.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，正确解题的关键是理解集合交集的定义.
10．设集合，且，则实数的取值范围是____.
【答案】
【分析】
由题意，可得是集合的子集，按集合中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解.
【详解】
由题意，可得是集合的子集，
又，
当是空集时，即方程无解，则满足，解得，即，此时显然符合题意；
当中只有一个元素时，即方程只有一个实数根，此时
，解得，则方程的解为或，并不是集合的子集中的元素，不符合题意，舍去；
当中有两个元素时，则，此时方程的解为，，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故；当时，可解得，符合题意.综上的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法：
1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；
2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；
3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到.
三、解答题
11．设全集为R，集合，非空集合，
（1）若a＝10，求P∩Q； ；
（2）若，求实数a的取值范围
【答案】（1），；（2） .
【分析】
（1）把的值代入求出集合，再由交集、补集的运算求出，；
（2）由得，再由子集的定义列出不等式组，求出的范围．
【详解】
（1）当时，，
又集合，
所以，
，
则；
（2）由得，，
因为，则，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
12．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数t的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求出N＝{x|1＜x＜3}，t＝2时求出集合，再并集的运算即可；
（2）根据N M可得，进而可得在上恒成立，参变分离，令，求其最大值即可．
【详解】
（1）化简得={x|1＜x＜3}，
当t＝2时，，∴＝；
（2）∵N M，且={x|1＜x＜3}，∴在上恒成立，
参变分离得，令，则在上递增，
∴，∴.∴实数t的取值范围为：．
【点睛】
关键点点睛：根据N M，转化为在上恒成立，参变分离求函数的最大值.
13．已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，然后分类和求解．
【详解】
（1）当时，中不等式为，即，
∴，则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时.
综上的取值范围为.
14．已知全集，，
（1）若，求的取值范围；
（2）若，，求
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由集合为空集，转化为方程无根，从而求得参数取值范围.
（2）由交并补集的运算，分别求得p，q的值，从而求得.
【详解】
（1）若，则方程无实数解，
，则.
（2）∵，
∴方程的一个根为4，则，方程另一个根为3.
∴.
∵，
∴方程的一个根为2，则，方程另一个根为3.
∴
∴
【点睛】
关键点点睛：由交并补集的运算求得相关参数值.

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