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专题11 圆
圆是初高中平面解析几何中非常重要的知识点。特别是圆与直线的位置关系，是研究的重点。主要是相离、相切、相交，判断位置关系，核心是找到圆心与直线的距离。在解决问题的时候，要注意分析问题，找到解题关键点，重点突破。
《初中课程要求》 1、了解圆的概念及基本性质； 2、了解并掌握点与圆的位置关系； 3、了解并掌握直线与圆的位置关系； 4、垂径定理。
《高中课程要求》 掌握圆的标准方程和一般方程； 能通过计算判断直线与圆的位置关系； 能通过联立方程组解决一些问题。
直线与圆的位置关系：
①相交：圆与直线有两个交点，
圆心到直线的距离.
②相切：圆与直线有一个交点，
圆心到直线的距离.
③相离：圆与直线有零个交点，
圆心到直线的距离.
2.垂径定理：如图，圆与直线相交，为弦，则过作AB的垂线平分弦。
3.点的轨迹：
利用动点到定点的距离为定长构成的图形为圆，圆心就是该定点，半径就是该定长。
该定理在解决动点轨迹问题上运用很多。
4.有关圆切线的几个定理：
①切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
③相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
④切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
⑤割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
例题1．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
1.如图，是的外接圆，点D是的中点，过点D作分别交、的延长线于点E和点F，连接、，的平分线交于点M．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
1.如图，已知中，，以为直径的交于，过点作于，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求证：；
（3）当，时，求的长．
1．如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD⊥AC交AC于E点．若DE＝1，BC＝6，则AC＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（ ）
A． B．5 C． D．
4．引理：在中，若为的中点，则．（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B．38 C．40 D．68
5．如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，⊙O的半径为4 cm，BC是直径，若AB＝10 cm，则AC＝_____cm时，AC是⊙O的切线．
7．如图，是的直径，切于点，线段交于点．若，，则弧的长为____________．
8．如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA=________cm．
9．在平面直角坐标系中，以O为圆心，2个单位长度为半径画圆．若一次函数（k为常数，）的图像与有公共点，则k的取值范围是_________．
10．如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为___．
11．如图，的弦相交于点P，且．求证．
12．如图，在菱形中，是上一点，且， 经过点、、．
（1）求证；
（2）求证与相切．
13．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交AD于M，且交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连结BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求MC的长．
14．如图，BD是四边形ABCD的对角线，BD⊥AD，⊙O是△ABD的外接圆，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接OC交⊙O于点E，若AD＝2，CD＝6，cos∠BDC＝，求CE的长．
15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若tan∠PBA＝，AC＝12，求直径AB的长．
专题11 圆
圆是初高中平面解析几何中非常重要的知识点。特别是圆与直线的位置关系，是研究的重点。主要是相离、相切、相交，判断位置关系，核心是找到圆心与直线的距离。在解决问题的时候，要注意分析问题，找到解题关键点，重点突破。
《初中课程要求》 1、了解圆的概念及基本性质； 2、了解并掌握点与圆的位置关系； 3、了解并掌握直线与圆的位置关系； 4、垂径定理。
《高中课程要求》 掌握圆的标准方程和一般方程； 能通过计算判断直线与圆的位置关系； 能通过联立方程组解决一些问题。
直线与圆的位置关系：
①相交：圆与直线有两个交点，
圆心到直线的距离.
②相切：圆与直线有一个交点，
圆心到直线的距离.
③相离：圆与直线有零个交点，
圆心到直线的距离.
2.垂径定理：如图，圆与直线相交，为弦，则过作AB的垂线平分弦。
3.点的轨迹：
利用动点到定点的距离为定长构成的图形为圆，圆心就是该定点，半径就是该定长。
该定理在解决动点轨迹问题上运用很多。
4.有关圆切线的几个定理：
①切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
③相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
④切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
⑤割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
例题1．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可．
（2）连接，先求，再利用求DE的长．
【详解】
解：（1）连接，
，
，
又，
，
，
又，
，即，
，即，
是的切线，
（2）连接，得，
∵AB=AC，
是的中点，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，
，
∴，，
∵，，
∴∠DEC=∠ADC=90°，
∵∠C+∠CDE=∠C+∠DAC=90°，
∴∠CDE=∠DAC，
，
，即，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
1.如图，是的外接圆，点D是的中点，过点D作分别交、的延长线于点E和点F，连接、，的平分线交于点M．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见详解；（2）2
【分析】
（1）连接OD，由垂径定理得OD⊥BC，从而得OD⊥EF，进而即可得到结论；
（2）由平行线分线段定理得DN=，再证明，可得BD=2，最后证明∠BMD=∠DBM，进而即可求解．
【详解】
（1）证明：连接OD，如图，
∵点D是的中点，
∴，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）设BC、AD交于点N，
∵，，，
∴，
∴DN=，
∵点D是的中点，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD，
又∵∠BDN=∠ADB，
∴，
∴，即：，
∴BD=2，
∵的平分线交于点M，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠ABM+∠BAD=∠CBM+∠CBD，即：∠BMD=∠DBM，
∴DM=BD=2．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，切线的判定定理相似三角形的判定和性质，平行线分线段定理，等腰三角形的判定和性质，找出相似三角形，是解题的关键．
1.如图，已知中，，以为直径的交于，过点作于，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求证：；
（3）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）连接，，由为的直径，可得，由，可得为中点，由为中点，利用中位线性质可得OE∥AC，由，可得即可；
（2）由，可得，由EF为圆的切线，可得，由，可得，可证，可得，当时，可求，可证为等边三角形，可得，可证即可；
（3）由（2）得，可得，解得或FC=-8舍去，可证，可得，可求即可．
【详解】
解：（1）证明：连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴为中点，
又∵为中点，
∴OE∥AC，
又∵，
∴，
又为的半径，
∴是的切线．
（2）∵，
∴，
∵EF为圆的切线，
∴，
∵
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
即．
（3）由（2）得，
又，，FB=BC+FC=6+FC，
∴，
因式分解得（FC+8）（FC-2）=0，
解得或FC=-8舍去，
∵，
∴，，
∴，
∵CG∥OE，
∴∠GCF=∠EOF，∠FGC=∠FEO，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质，掌握圆的切线判断，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质是解题关键．
1．如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD⊥AC交AC于E点．若DE＝1，BC＝6，则AC＝（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】
根据垂径定理得到E是AC的中点，进而分析出OE是的中位线，得到OE的长，然后在中应用勾股定理求解AE的长后即可求得AC．
【详解】
∵OD⊥AC，OD为圆O的半径，
∴E是AC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OE是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理，三角形中位线的性质，以及勾股定理，关键是判断出OE和BC的数量关系．
2．如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意易得，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】
解：∵是的切线，
∴，
∵，，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
3．如图，AB为的直径，AC为的弦，D是弧BC的中点，E是AC的中点．若，，则DE=（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】
连接OC、BC、OE、BD，OE交于F，OD交BC于G，连接OE并延长交于点F，如图，先根据垂径定理得到，，再计算出，设的半径为r，则，利用勾股定理得到，然后利用勾股定理计算DE的长．
【详解】
解：连接OC、BC、BD，OD交BC于G，连接OE并延长交于点F，
∵D是弧BC的中点，
∴，，，
∵E是AC的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设的半径为r，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴，
易得四边形OGCE为矩形，
∴，
在中，．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
4．引理：在中，若为的中点，则．（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B．38 C．40 D．68
【答案】C
【分析】
如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，根据矩形的性质可得CD=AB=OE，AD=BC，根据中线长公式可得=2PE2+2AE2，可得PE最短时取最小值，根据线段的和差关系可求出PE的长，即可得答案．
【详解】
如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，
∵四边形ABCD是矩形，，，
∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4，
∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8，
∴PE=2，
∵点E为AD中点，
∴=2PE2+2AE2，
∴的最小值为2PE2+2AE2=2×22+2×42=40，
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质、点与圆的位置关系及中线长公式，根据点与圆的位置关系得出PE的最小值是解题关键．
5．如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此即可求解．
【详解】
解：如解图，设与相切于点，连接，则，
作垂足为点，交于点，此时垂线段最短，
当O、Q1、P1三点不共线时，构成△OQP1，
由三角形两边之差小于第三边可知，当O、Q1、P1三点不共线时，
PQ有最小值为，且，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∵O为斜边AB上的中点，
∴OP1和OE均为△ABC的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为，
当在边上，与重合时，最大值为，
∴长的最大值与最小值的和是9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，三角形两边之差小于第三边求最值，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置．
6．如图，⊙O的半径为4 cm，BC是直径，若AB＝10 cm，则AC＝_____cm时，AC是⊙O的切线．
【答案】6
【分析】
根据切线的判定定理当∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,然后根据勾股定理计算AC.
【详解】
∵⊙O的半径为4 cm，
∴BC=8cm，
∵BC是直径，
∴∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,
∴.
故答案为6.
【点睛】
本题考查了切线的判定:过半径的外端点与半径垂直的性质为圆的切线.也考查了勾股定理.
7．如图，是的直径，切于点，线段交于点．若，，则弧的长为____________．
【答案】
【分析】
求得半径和圆心角的度数，即可求得弧的长．
【详解】
解：∵切于点
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴弧的长
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
8．如图，从点P引⊙O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切⊙O于C，交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为20cm，则PA=________cm．
【答案】10
【分析】
由于PA、PB、DE都是⊙O的切线，可根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线PA、PB的长．
【详解】
解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=20(cm)；
∴PA=PB=10(cm)，
故答案为10．
【点睛】
本题主要考查了切线长定理，能够发现△PDE的周长和切线PA、PB长的关系是解答此题的关键．
9．在平面直角坐标系中，以O为圆心，2个单位长度为半径画圆．若一次函数（k为常数，）的图像与有公共点，则k的取值范围是_________．
【答案】且
【分析】
根据题意，首先得出一次函数必过定点（-5,0），则直线绕点（-5,0）旋转，与有公共点，即找出两个相切的极限位置，求出对应的k值，k在两个极限位置k值之间．
【详解】
∵一次函数解析式为：（k为常数，），
∴当时，y=0，即一次函数必过定点，
设一次函数与x轴和y轴分别交于点A,B，
当直线AB与相切时，切点为M，有两种情况，如图所示：
①当直线与y轴交于正半轴时，连接OM，
∵直线AB与相切，
∴OM⊥AB，
∴∠AMO=90°，
在Rt△AMO中，
,
∴,
在Rt△ABO中，
,
解得：,
即B点坐标为，
代入一次函数解析式，
解得，
②当直线与y轴交于负半轴时，同理可得：
B点坐标为，
代入一次函数解析式，
解得，
∴且，
故填：且．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，勾股定理及解直角三角形，解题关键是熟练掌握直线与圆的位置关系，将几何关系转化为代数关系．
10．如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为___．
【答案】或
【分析】
先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【详解】
解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△BCA中，
∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴，
根据三角形的面积公式得：AB CD=AC BC，
∴，
当圆与时AB相切时，r=，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，
综上所述：r的取值范围是r=或2＜r≤2，
故答案为：r=或2＜r≤2．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
11．如图，的弦相交于点P，且．求证．
【答案】证明见解析；
【分析】
要证PB=PD，可连接BD，需证∠Ｄ=∠B，根据已知条件，只需证即可．
【详解】
证明：连接BD．
即
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识点，熟知上述定理及推论是解题的基础，而善于发现问题、掌握分析问题的方法是解题的关键．
12．如图，在菱形中，是上一点，且， 经过点、、．
（1）求证；
（2）求证与相切．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据菱形的选择得到，，，求得 ，推出，于是得到结论；
（2）连接，，根据已知条件得到，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】
证明：（1）四边形是菱形，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）连接，，
，，
，
，
，
，
，
，
又点在上，
与相切．
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，菱形的性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
13．如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交AD于M，且交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连结BE，DE．
（1）求证：∠BED＝∠C；
（2）若OA＝5，AD＝8，求MC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由切线的性质得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得∠C=∠2，由圆周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C．
（2）由直径所对的圆周角是直角，利用勾股定理求出BD，再根据三角形相似，求出OC和OM，再求MC即可．
【详解】
解：如图，
（1）∵AC是圆O的切线，
∴AB⊥AC，即∠1＋∠2＝90°，
又∵CO⊥AD，
∴∠1＋∠C＝90°，
∴∠C＝∠2，
而∠BED＝∠2，
∴∠BED＝∠C；
（2）连接BD，
∵AB是圆O的直径，OA＝5，
∴∠ADB＝90°，AB＝10，
，
又∵CO⊥AD，且OM过圆心，
∴AM＝DM，
∵OA＝OB，
∴OM//BD，且OM＝BD＝3，
∵∠C＝∠2，
∴sinC＝sin∠2，即，也即，
，
．
【点睛】
本题主要考查利用圆的直径的性质、切线的性质、三角形相似等知识，关键是圆的有关性质的应用．
14．如图，BD是四边形ABCD的对角线，BD⊥AD，⊙O是△ABD的外接圆，∠BDC＝∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接OC交⊙O于点E，若AD＝2，CD＝6，cos∠BDC＝，求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD，由垂直的定义得到∠ADB=90°，确定∠ABD+∠A=90°，等量代换得到∠ODB+∠BDC=90°，求得OD⊥CD，根据切线的定义即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到∠CDO=90°，根据余角的性质得到∠COD=∠BDC，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠A=90°，
∵∠BDC=∠BAD，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDO=90°，
∵cos∠BDC=，∠BDC=∠BAD．
∴cos∠BAD=，
∵AD=2，
∴AB=6，
∴OD=OE=3，
∵CD=6，
∴OC=，
∴CE=CO-OE=．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
15．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若tan∠PBA＝，AC＝12，求直径AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）20
【分析】
（1）连接，交于点，由等腰三角形的性质可得，，由平行线的性质、圆周角定理可得，由为直径可得，可得，得出，可得结论．
（2）由平行线性质及垂径定理可求，由可求，由，即可求解．
【详解】
解：（1）连接，如图所示．
，
，
又与所对同一段弧，
．
又，
，
，
．
为直径，
，
，
即，
又为半径，
故是的切线．
（2），
，
由垂径定理可知：，
又，
．
．
设，则，
在中，有，
即，解得：．
故直径．
【点睛】
本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，证明切线时若有交点，则连交点得半径，证垂直．（1）中证得∠DPA=∠PAC=∠PAC=∠B是解题关键，（2）中利用垂径定理求出PE是解题关键．

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