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专题10 三角形
初中对三角形的研究比较多，但是集中在研究三角形的全等与相似以及直角三角形等特殊情况。高中对三角形的研究就上升到了一般三角形的研究，对于任意的三角形都能去解决边角问题。同时，结合三角函数，可以更好的去解三角形。
《初中课程要求》 1、了解三角形的基本概念及其性质； 2、全等三角的相关概念； 3、相似三角形的相关概念； 4、直角三角形的相关概念。
《高中课程要求》 三角恒等变换； 解三角形。
三角形的”“四心”：
①重心：三角形三边中线的交点；
②垂心：三角形三边高的交点；
③内心：内切圆圆心，到三边距离相等，三角形三条角平分线交点；
④外心：外接圆圆心，到三个顶点距离相等，三角形三条边的垂直平分线交点。
2.含120°角的等腰三角形：三边之比为
3.边长为的等边三角形：高为边长的倍，即;面积为。
例题1．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
1.如图，连接四边形的对角线，已知．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
1.如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，AC平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若，且，求的长．
1．如图，已知四边形是矩形，点在上，，点在上，且与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．2或
3．已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列说法错误的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形，顺次连接其四边的中点，所得四边形是矩形
C．若三角形的三边长的比为5∶12∶13，则这个三角形是直角三角形
D．若，则a≥0
5．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
7．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为______．
8．如图，在平行四边形中，平分交于点，过点作的垂线交于点，若，，则______．
9．如图，点为正方形边上一动点，，，将点绕点顺时针旋转到点，若、分别为、中点，则的最小值为___．
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD＝4，AB＝10，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）则△PMN面积是________．
（2）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，△PMN面积的最大值为________．
11．如图中，，分别是的高和角平分线，，．求和的度数．
12．如图，已知中，，．
（1）画出的高和；
（2）若，求的长：
（3）求的值．
13．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为F，BF与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，求BE的长．
14．如图，中，，是边上的高，是边上的高，．
求证：（1）；
（2）．
15．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
专题10 三角形
初中对三角形的研究比较多，但是集中在研究三角形的全等与相似以及直角三角形等特殊情况。高中对三角形的研究就上升到了一般三角形的研究，对于任意的三角形都能去解决边角问题。同时，结合三角函数，可以更好的去解三角形。
《初中课程要求》 1、了解三角形的基本概念及其性质； 2、全等三角的相关概念； 3、相似三角形的相关概念； 4、直角三角形的相关概念。
《高中课程要求》 三角恒等变换； 解三角形。
三角形的”“四心”：
①重心：三角形三边中线的交点；
②垂心：三角形三边高的交点；
③内心：内切圆圆心，到三边距离相等，三角形三条角平分线交点；
④外心：外接圆圆心，到三个顶点距离相等，三角形三条边的垂直平分线交点。
2.含120°角的等腰三角形：三边之比为
3.边长为的等边三角形：高为边长的倍，即;面积为。
例题1．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；
（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可
【详解】
（1）四边形是矩形
因为折叠，则
是等腰三角形
（2）四边形是矩形
,
设，则
因为折叠，则，,
在中
即
解得：
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．
1.如图，连接四边形的对角线，已知．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）△ ACD是直角三角形；（2）
【分析】
（1）利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，再利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形即可；
（2）计算出△ABC和△ACD的面积，再求和即可．
【详解】
解：（1）∵ ∠ B=90°，∠ BAC=30°，BC=1，
∴ AC=2BC=2，
又CD=2，，
∴ AC2+CD2=8，AD2=8，
∴ AC2+CD2=AD2，
∴ △ ACD是直角三角形．
（2）∵ AC=2，BC=1，
∴ ，
∴ S四边形ABCD=
=．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，含30°角的直角三角形的性质，正确得出AC的长是解题关键．
1.如图，在四边形中，，，对角线，相交于点，AC平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若，且，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可；
【详解】
（1）证明：∵，∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：由（1）知，四边形是菱形，，
∴，．
∵，∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定与性质，结合勾股定理计算是解题的关键．
1．如图，已知四边形是矩形，点在上，，点在上，且与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设BM=CD=a，DN=CM=b，利用勾股定理分别表示出DM与BN的值即可解答．
【详解】
解：设BM=CD=a，DN=CM=b，
∴BC=a+b，NC=a-b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°，
在Rt△DCM和Rt△BCN中，由勾股定理得，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，关键是设出相等边，利用勾股定理表示出所求边．
2．如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．2或
【答案】D
【分析】
根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求出相应的a的值即可．
【详解】
解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，
∵AC=6，AB=14，
∴PB=6，AP=AB-AP=14-6=8，
∴BQ=8，
∴8÷a=8÷2，
解得a=2；
当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，．
∵AC=6，AB=14，
∴BQ=6，AP=BP=7，
∴6÷a=7÷2，
解得a=，
由上可得a的值是2或，
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答．
3．已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
由与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，可得，，，可得；，可得，由大角对大边可得；利用，可得，即，由上可得正确选项．
【详解】
解：≌，
，，，
，
．
，，
．
．
，
，即．
．
，．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．
4．下列说法错误的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形，顺次连接其四边的中点，所得四边形是矩形
C．若三角形的三边长的比为5∶12∶13，则这个三角形是直角三角形
D．若，则a≥0
【答案】A
【分析】
根据选项逐一判断正误，找出符合题意的选项即可；
【详解】
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法错误，符合题意；
B.对角线互相垂直的四边形，顺次连接其四边的中点，所得四边形是矩形，
因为顺次连接其四边的中点，构成的四边形是平行四边形，
邻边互相垂直则所得的四边形是矩形；
说法正确，不符合题意
C.若三角形的三边长的比为5∶12∶13，则这个三角形是直角三角形，
设若三角形的三边长，
根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形；
说法正确，不符合题意；
D.，则
若，则a≥0
说法正确，不符合题意
故选A
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理，矩形的判定定理，勾股定理逆定理，二次根式的性质，绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据题意易得BD=CD，然后根据三角形周长公式及题意可直接进行求解．
【详解】
解：∵为中线，
∴BD=CD，
∵，，
∴，，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键．
6．如图，在四边形中，，．若，，，则对角线的长为____________cm．
【答案】
【分析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明△ABC≌△ADC（SSS），由全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，求出∠EBC=45°，由直角三角形的性质求出CE和AC的长即可．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAD=60°，∠BCD=30°，
∴∠EAC=∠BAD=30°，∠ACB=∠BCD=15°，
∴∠EBC=∠BAC+∠ACB=30°+15°=45°，
∴BE=CE，
∵BC=4cm，
∴CE=BC=cm，
∴AC=2CE=cm，
故答案为．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．
7．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为______．
【答案】120°
【分析】
由平行四边形的性质和折叠的性质得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出即可．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
；
故答案为：．
【点睛】
题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；解题的关键是：熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键．
8．如图，在平行四边形中，平分交于点，过点作的垂线交于点，若，，则______．
【答案】4
【分析】
先过点E作EG//AB，根据平行四边形的性质、角平线线的性质证明出△ABE≌△AGE，得到BA=BE=GA=GE，再利用直角的性质，通过等量代换得到，最后得出结论．
【详解】
解：如图所示，过点E作EG//AB，
∵四边形是平行四边形，
∴AB//DC，AD//BC，
∴∠BAE=∠AEG，∠GAE=∠BEA，
∵平分
∴∠BAE=∠GAE，
∴∠BAE=∠AEG=∠GAE=∠BEA，
∴BA=BE，GA=GE
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE（ASA）
∴BA=BE=GA=GE，
∵AE⊥EF，
∴∠AEG+∠GEF=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∵∠AEG=∠BEA，
∴∠GEF=∠FEC，
∵GE//DC,
∴∠GEF=∠EFC,
∴∠FEC=∠EFC,
∴,
∴AB=BE=5-1=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、垂直的性质，解决本题的关键是作出辅助线，利用平行的性质进行等量代换．
9．如图，点为正方形边上一动点，，，将点绕点顺时针旋转到点，若、分别为、中点，则的最小值为___．
【答案】
【分析】
过N作NG⊥BC于G，由将点绕点顺时针旋转到点，可得∠MPN=90°=∠B=∠NGP，PM=PN，可证△MBP≌△PGN（AAS），可得BP=GN=1，可知当点M在运动时，点N都在距离BC为1的直线上运动，由CN≥NG，可得当CN=NG时EF最小，EF最小=最小=．
【详解】
解：过N作NG⊥BC于G，
∵将点绕点顺时针旋转到点，四边形ABCD为正方形，
∴∠MPN=90°=∠B=∠NGP，PM=PN，
∴∠BMP+∠MPB=90°，∠MPB+∠NPG=90°，
∴∠BMP=∠GPN，
在△MBP和△PGN中，
，
∴△MBP≌△PGN（AAS），
∴BP=GN=1，
∴当点M在运动时，点N都在距离BC为1的直线上运动，
∵CN≥NG，
当CN=NG时EF最小，
∵E，F分别为PN与PC的中点，
∴EF//CN，且EF=，
当点N在CD上时CN最小=1，
∴EF最小=最小=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查图形旋转性质，正方形性质，三角形全等判定与性质，点到直线的距离，中位线性质，掌握图形旋转性质，正方形性质，三角形全等判定与性质，点到直线的距离，中位线性质是解题关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AD＝4，AB＝10，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）则△PMN面积是________．
（2）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，△PMN面积的最大值为________．
【答案】
【分析】
（1）利用三角形的中位线得出且，进一步可证明为等腰直角三角形，再利用三角形面积计算公式计算即可；
（2）要使△PMN面积最大，PN值则要最大，则BD的值要最大，故当时最大，求出面积即可．
【详解】
解：（1）点P，N是BC，CD的中点，
，
点P，M是CD，DE的中点，
，
，
，
，
，即，
，
为等腰直角三角形，
故，
故答案为：；
（2）由（1）可知为等腰直角三角形，
则，
最大时，面积最大，即最大时，面积最大，
点D在BA的延长线上，
，
，
∴△PMN面积的最大值；
故答案为：．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用三角形中位线定理，能够正确求出的最大值．
11．如图中，，分别是的高和角平分线，，．求和的度数．
【答案】∠CAE=34°，∠C=70°
【分析】
首先在△AED中利用三角形内角和定理计算出∠AED=76°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE=∠AED，进而算出∠BAE的度数，从而得到∠CAE的度数，再根据∠CAD=∠CAE-∠DAE可以算出∠CAD的度数，进而得到∠C的度数．
【详解】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°．
又∵∠DAE=14°．
∴∠AED=76°，
∵∠B+∠BAE=∠AED，
∴∠BAE=∠AED-∠B=76°-42°=34°．
∴∠CAE=∠BAE=34°，
∴∠CAD=∠CAE-∠DAE=34°-14°=20°，
∴∠C=90°-20°=70°．
【点睛】
此题主要考查了三角形内角和定理，以及三角形的高和三角形的角平分线，关键是掌握三角形内角和为180°．
12．如图，已知中，，．
（1）画出的高和；
（2）若，求的长：
（3）求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据钝角三角形高的画法，即可画出三角形的高；
（2）利用等面积的方法，即可求出答案；
（3）由等面积的方法，得到，即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图：
（2），
，
；
（3）
．
【点睛】
本题考查了基本作图，画三角形的高，以及三角形的面积计算方法，解题的关键时熟练利用面积相等的方法进行解题．
13．如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为F，BF与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，求BE的长．
【答案】5
【分析】
先证明△ABE和△FDE全等，得出BE和DE相等，从而AE=8-BE，在△ABE中用勾股定理算出BE长即可．
【详解】
解：在△ABE和△FDE中，
，
∴△ABE≌△FDE（AAS），
∴BE=DE，
设BE=x，则AE=8-x，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴BE的长度为5．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定，关键是要能根据矩形的性质，判断出三角形全等，矩形的内角是90°，对边相等，对角相等要牢记于心．
14．如图，中，，是边上的高，是边上的高，．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先证∠EAF=∠ECB，再结合∠AEF=∠CEB=90°且AE=CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【详解】
证明：（1），
，
，
，
，
，
又，
．
在和中，
，
；
（2），
，
，
，．
．
【点睛】
此题考查了余角的性质，以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等．
15．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】
解：（1）证明：∵平分，，，
∴，，
∵在和中
．
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

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