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专题12 集合的概念与表示
1、了解集合的含义； 2、理解集合中元素与集合的关系； 3、掌握集合的表示方法，并能用图形、符号刻画集合； 4、能够用不同的方法表示一些简单集合。
一、元素与集合的基本概念：
集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.
元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素.
元素的特性:确定性、无序性、互异性
二、集合中元素与集合的关系
概念 关系 记法 读法
如果是集合中中的元素 属于 属于
如果a不是集合中A中的元素 不属于 不属于
三、常用数集的符号表示：
特别地,全体自然数组成的集合,叫作自然数集,记作；
全体正整数组成的集合,叫作正整数集,记作或；
全体整数组成的集合,叫作整数集,记作；
全体有理数组成的集合,叫作有理数集,记作；
全体实数组成的集合,叫.
例题1．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
例题2.已知集合，且，则集合_____.
例题3.用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
例题4.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
1．若，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
2．下列四组对象能构成集合的是（ ）
A．某班所有高个子学生 B．某校足球队的同学
C．一切很大的书 D．著名的艺术家
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，且，则等于（ ）
A． B． C． D．或
5．把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）；
（2）；
1.已知集合，若，求实数的值.
一、单选题
1．已知集合，，则集合中的元素的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．设集合，则下列集合中与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
5．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}
二、填空题
6．若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
7．已知集合，用列举法表示集合，则__________.
8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________.
9．已知集合，且，则_________．
10．设集合，若且，则实数的取值范围是________
三、解答题
11．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
12．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.
13．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
14．设数集由实数构成，且满足：若(且)，则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由.
专题12 集合的概念与表示
1、了解集合的含义； 2、理解集合中元素与集合的关系； 3、掌握集合的表示方法，并能用图形、符号刻画集合； 4、能够用不同的方法表示一些简单集合。
一、元素与集合的基本概念：
集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.
元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素.
元素的特性:确定性、无序性、互异性
二、集合中元素与集合的关系
概念 关系 记法 读法
如果是集合中中的元素 属于 属于
如果a不是集合中A中的元素 不属于 不属于
三、常用数集的符号表示：
特别地,全体自然数组成的集合,叫作自然数集,记作；
全体正整数组成的集合,叫作正整数集,记作或；
全体整数组成的集合,叫作整数集,记作；
全体有理数组成的集合,叫作有理数集,记作；
全体实数组成的集合,叫.
例题1．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【分析】
根据集合定义与性质一一判断即可.
【详解】
A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.
故选：B
例题2.已知集合，且，则集合_____.
【答案】
【分析】
根据，分类讨论，结合集合中元素的互异性，即可求解.
【详解】
由题意，集合，且，
若，可得，此时集合不满足集合中元素的互异性，（舍去）；
若，可得或（舍去），
当时，可得，即.
故答案为：.
例题3.用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【分析】
（1）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（2）集合中元素较少，利用列举法求解；
（3）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（4）集合中元素较少，利用列举法求解；
【详解】
（1）用描述法表示为{x|2（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．
（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
例题4.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1 A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
【答案】（1）;（2）证明见解析.
【分析】
根据题意求依次求解即可.
【详解】
(1)因为3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因为a∈A，
所以，
所以.
1．若，则实数（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
【答案】C
【分析】
根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.
【详解】
因为，根据集合性质可得：.
故选：C
2．下列四组对象能构成集合的是（ ）
A．某班所有高个子学生 B．某校足球队的同学
C．一切很大的书 D．著名的艺术家
【答案】B
【分析】
根据集合的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据集合的定义，可得：
对于A中，某班所有高个子学生，其中元素不确定，不能构成集合；
对于B中，某校足球队的同学，满足集合的定义，能构成集合；
对于C中，一切很大的书，其中元素不确定，不能构成集合；
对于D中，著名的艺术家，其中元素不确定，不能构成集合.
故选：B.
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.
【详解】
因为集合，所以，
故选：D.
4．已知集合，且，则等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】
转化条件为或，验证集合元素的互异性即可得解.
【详解】
因为集合，且，
所以当即时，，不满足集合中元素的互异性；
当时，解得或（舍），此时，满足题意；
综上，.
故选：B.
5．把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）；
（2）；
【答案】（1）{且}；（2）.
【分析】
（1）根据集合中的元素都是偶数用描述法进行表示即可；
（2）用列举法表示即可.
【详解】
（1）因为集合中的元素都是偶数，
所以{且}；
（2）.
1.已知集合，若，求实数的值.
【答案】
【分析】
根据题意，可得或，然后根据结果进行验证即可.
【详解】
由题可知：集合，
所以或，则或
当时，，不符合集合元素的互异性，
当时，，符合题意
所以
【点睛】
本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.
一、单选题
1．已知集合，，则集合中的元素的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
由题知以，即，故，进而得答案.
【详解】
解：因为，，
所以，即
所以，
故，即集合中的元素的个数为个.
故选：C
2．设集合，则下列集合中与集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据集合相等的定义判断选项.
【详解】
两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是.
故选：C
3．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】
直接求出集合C即可.
【详解】
集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，
所以C={5，6，7,8}.
即C中元素的个数为4.
故选：B.
4．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
【详解】
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
5．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}
【答案】D
【分析】
分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.
【详解】
A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；
C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，
即：{x|x>6且x<1}=.
故选：D
二、填空题
6．若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
【答案】0或1
【分析】
转化为求方程有且仅有一个解的条件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的个数的判定方法求解.
【详解】
当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；
当k≠0时，方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,
故答案为：0或1.
7．已知集合，用列举法表示集合，则__________.
【答案】
【分析】
根据集合的描述法即可求解.
【详解】
,
故答案为：
8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________.
【答案】0或±1
【分析】
依题意可得出集合A为单元素集合，进而转化为方程ax2+2x+a=0仅有一根，再分a=0和 a≠0两种情况讨论可得最后结果.
【详解】
因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2+2x+a=0仅有一根，当a=0时，方程化为2x=0，A={0}，符合题意；当a≠0时，Δ=4-4a2=0，解得a=±1. 此时A={-1}或{1}，符合题意. 综上所述a=0或a=±1.
故答案为：0或±1.
9．已知集合，且，则_________．
【答案】-3
【分析】
由集合，，，且，得或，由此能求出结果．
【详解】
解：集合，，，且，
或，
解得，或，
当时，，，，不合题意，
当时，，，，符合题意．
综上，．
故答案为：.
10．设集合，若且，则实数的取值范围是________
【答案】
【分析】
直接根据元素和集合之间的关系求解即可．
【详解】
解：因为集合，若且，
且；解得；
故答案为：．
三、解答题
11．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.
【分析】
（1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则，根据判别式即可求解；
（2）分a＝0和a≠0讨论即可；
（3）综合（1）（2）即可得出结论.
【详解】
（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时 ＝9-8a＜0即a
所以的取值范围为
（2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当时，；当时，
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.
12．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.
【答案】或.
【分析】
由已知得或或，解之可求得实数a的值，代入集合中检验是否满足元素的互异性，可得答案.
【详解】
①若，则，此时，满足题意.
②若，则，此时，不满足元素的互异性.
③若，则.当时，，满足题意；当时，由②知不合题意.
综上可知或.
13．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【分析】
根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.
【详解】
解：（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为二元一次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系.
14．设数集由实数构成，且满足：若(且)，则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）不是双元素集合，理由见解析.
【分析】
（1）根据，则，由求解.
（2）根据，，进行递推求解.
【详解】
（1）∵若，则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴中另外两个元素分别为-1，.
（2）∵，，
∴，且，，，
所以集合中至少有3个元素，
所以集合A不是双元素集合.

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