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二次函数含参综合
模块一 二次函数的含参基础
1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为7 D．当时，的值随值的增大而增大
2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则点所在象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：
①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
5．如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于2；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则的方程的两根为0，2，其中正确的结论的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
7．已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
8．抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
9．已知二次函数，经过点和点．当时，的取值范围为或．则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）．
模块二 二次函数与公共点问题
题型一 与线段有（无）公共点
【方法解读】
抛物线二次项系数a为定值时，求其与线段有公共点： 情形一：b确定； 顶点轨迹：在对称轴上上下移动； 求解关键：确定三个临界点，即抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点(当线段是水平线段时为顶点在线段上的点); 情形二：b不确定且顶点纵坐标确定； 顶点轨迹：在水平直线上左右移动； 求解关键：确定两个临界点即抛物线过线段两端点； 情形三：b不确定且顶点在直线上运动； 顶点轨迹：在直线y=kx+b(k≠0)上移动； 求解关键：确定三个临界点，即抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点(当线段是水平线段时为顶点在线段上的点)。
2.当二次项系数a不确定时： (1)抛物线的开口方向和开口大小不确定，分开口向上和向下讨论；且lal越大开口越小，lal越小开口越大； (2)看对称轴，当二次项系数a与一次项系数b成倍数关系时，对称轴确定； (3)看是否过定点，将含参数的项合并后进行因式分解得到y=a（x-）（x-）的形式，从而求出定点的横坐标； (4)画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况. (5)过临界点求值。数形结合：画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况，算出过临界点时字母的值，求出字母的取值范围.
1、如图，已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),抛物线F:y=x -2mx+m -2与直线x=-2交于点P
(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
(2)设点P的纵坐标,,求的最小值，此时抛物线F上有两点(,)(,）,且＜≤-2,比较,大小关系.
(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，请直接写出m的取值范围.
把函数:y=ax -2ax-3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数的图象，我们称是关于点P的相关函数，的图象的对称轴与x轴的交点坐标是（t，0），
(1)填空：t的值为 ；(用含m的代数式表示)
(2)若a=-1,当≤x≤t时，函数的最大值为,最小值为,且=1,求的解析式；
(3)当m=0时，的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D,把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A'D',若线段A'D'与的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围。
题型二 与几何图形有（无）公共点
1、如图，经过点A(0,-4)的抛物线y=x -x-4与轴相交于B（-2,0），C两点，O为坐标原点.
抛物线y=x -x-4向上平移将抛物线个单位长度，再向左平移m个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围。
2、在平面直角坐标系中，抛物线y=x -4x+n(x>0)的图象记为,将绕坐标原点旋转180°得到图象,图象和合起来记为图象G.
(1)若点P(-1,2)在图象G上，求n的值；
(2)当n=-1时，
①若Q(t,1)在图象G上，求t的值；
②当k≤x≤3(k<3)时，图象G对应函数的最大值为5,最小值为-5,直接写出k的取值范围.
(3)当以A(-3,3),B(-3,-1),C(2,-1),D(2,3)为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共
点时，直接写出n的取值范围。
题型三 与一次函数有（无）公共点
【方法解读】
1.抛物线与x轴的交点问题： 通常令抛物线的解析式中y的值为0,得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式b -4ac判断： ①当b -4ac=0时，抛物线与x轴有唯一交点(顶点); ②当b -4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点； ③当b -4ac<0时，抛物线与x轴无交点 2.抛物线与直线的交点问题： 最常规的方法是联立两个解析式得到一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式b -4ac判断(方法同1).
已知二次函数y=-x +x+6以及一次函数y=-x+m，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像(如图所示),当直线y=-x+m与这个新图象有四个交点时，求m的取值范围.
2、已知抛物线G:y=mx -2mx-3有最低点.
(1)求二次函数y =mx -2mx-3的最小值(用含m的式子表示);
(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象，求点P的纵坐标的取值范围。
3、在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P(m,-1)(m>0),连接OP,将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°,得到线段OM,且点M是抛物线y=ax +bx+c的顶点。
(1)若m=1,抛物线y=ax +bx+c经过点(2,2),当0≤x≤1时，求y的取值范围；
(2)已知点A(1,0),若抛物线y=ax +bx+c与y轴交于点B,直线AB与抛物线y=ax +bx+c，有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由。
题型四 与反比例函数有（无）公共点
若二次函数y=x +c的图像与双曲线y=（2≤x≤4）有且只有一个交点，求c的取值范围.
2、如图，若抛物线y=-x +2bx双曲线BC：y=（2≤x≤4）有交点，其中B,C的横坐标分别是2、4,求b的取值范围.
3、如图，抛物线y=-2x +4x与x轴相交于O,A两点，抛物线的顶点为点B,反比例函数
y=(k>0)的图像与抛物线在第一象限的一个交点在点B左侧，求k的取值范围.
模块三 二次函数比较大小
1、已知直线y=kx+m与抛物线y=-x +bx+c相交于A,B两点，且点A在x轴正半轴，点B在y轴上，点O为坐标原点.
(1)若点A的横坐标为2,求b-k的值：
(2)若点A的横坐标为m,抛物线顶点的纵坐标为n,点P在线段AB上，且到两坐标轴的距离相等，当OP≤时，试比较n与b+m-k的大小.
2、已知抛物线y=x +bx+c的对称轴1交x轴于点A.
（1）若此抛物线经过点(1,2),当点A的坐标为(2,0)时，求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴只有一个交点，求点A的坐标(用含有c的式子表示);
(3)抛物线y=x +bx+c交y轴于点B,将抛物线平移，使其经过点A、B,且写x轴交于另一点C,若设段OB、OC分别为m、n,试设m与n+的大小，并说明理由.
课后作业：
1.已知关于x的方程ax +(3a+1)x+3=0.
(1)求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
(2)若抛物线y=ax +(3a+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
(3)在(2)的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C,与直线OH交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围.
2.如图①，将抛物线y＝ax （﹣1＜a＜0）平移到顶点恰好落在直线y＝x﹣3上，
并设此时抛物线顶点的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式（用含a、m的代数式表示）;
（2）如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、C三点，∠B＝90°，AB∥x轴，AD＝2，
BD：BC＝1：2．
①求△ADC的面积（用含a的代数式表示）;
②若△ADC的面积为1，当2m﹣1≤x≤2m+1时，y的最大值为﹣3，求m的值．
3.已知抛物线y＝x ﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）点D（b，yD）在抛物线上，当AM＝AD，m＝3时，求b的值；
4.（2024年增城一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2mx﹣2m+1（m是常数），顶点为M．（1）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（2）已知点A（﹣2m﹣2，2），当点A不在y轴上时，点A关于x轴的对称点为点B，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为D、C，连接AB，得到矩形ABCD．
①当m＞﹣1时，点M到边AB所在直线的距离等于点M到x轴的距离，求m的值；
②当m＜﹣1时，抛物线的一部分经过矩形ABCD的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
5.（2024年越秀区一模）已知抛物线经过点．
(1)用含的式子表示；
(2)当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标；
(3)若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数含参综合
模块一 二次函数的含参基础
1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为7 D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而增大，故D选项不正确，不符合题意；
当时，，
解得，，
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则点所在象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
解：∵抛物线开口向下，∴，
∵抛物线对称轴，且，∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，
∴，
∴点在第二象限．
故选：B．
3．已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
解：∵抛物线开口向上，∴，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点，∴，故②错误；
由抛物线的顶点坐标是，可设抛物线为，
∵过点，∴，解得，
∵，∴，
∴，故③正确，
∵抛物线的最低点是，
∴若点在该抛物线上，则，故④正确．
故选：C．
4．如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线．对于下列说法：
①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，
其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
解：①∵对称轴在y轴右侧，开口向下，则a＜0，b＞0
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上，
∴，
∴，故正确；
②∵对称轴，
∴，故正确；
③当时，，
又∵，，
∴，故结论错误；
④由图可知当时，有最大值，
∴，即，故正确；
⑤如图，当时，y不只大于0，故结论错误．

故选：A
5．如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点的坐标为，则的面积可以等于2；③，是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则的方程的两根为0，2，其中正确的结论的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
解：①∵该抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴相交于正半轴，
∴，
∴；故①正确，符合题意；
②由图可知，，
∵，
∴，
令抛物线与x轴两交点的横坐标为，且，
∴，
∵对称轴为直线， ，
∴点A到对称轴距离，
∴，
∴，故②错误，不符合题意；
③∵，
∴
∵抛物线对称轴为直线，
∴点M离对称轴更近，
∵该抛物线开口向下，
∴，故③错误，不符合题意；
④∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴抛物线还经过点，
∴方程的两根为0，2．
∴方程的两根不为0，2．
故④不正确，不符合题意；
综上：正确的有①，共1个，
故选：A．
6．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（　　）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
【答案】B
解：令y=(x+1)(3-x)+p ,
(1)当p=0时，y=(x+1)(3-x)=0的两根为：=-1,=3;
(2)当p≠0时，p >0,而
y=(x+1)(3-a)+p =3x+3-x -x+p =-x +2x+3+p
那么当x=-1时，y=p ；当x=3时，y=p ;
做出函数图象，如图所示：
那么函数图象与x轴的交点即为方程
(x+1)(3-x)+p =0的根
∴＜-1<3＜
综上所述，则有∴≤-1<3≤
故选：B.
7．已知抛物线经过点和点，则t的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点和点，
∴点和点关于对称轴对称，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴时，t有最小值为：．
故选：A．
8．抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
解：当时，，
，
或，
∴，，，，
∵，
∴沿轴翻折后所得抛物线的解析式为，
如图，作直线，分别过作直线的平行线交轴于点，作直线平行于，且与抛物线有唯一的公共点，设直线：，直线∶，
∵过，，
∴，
∴，
∴直线：，
∵与抛物线有唯一的公共点，
∴即，
∴，
解得，
∴直线∶，
结合图形可得直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为，
故选：B
9．已知二次函数，经过点和点．当时，的取值范围为或．则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
解：∵二次函数，
∴函数的对称轴为，
∵当时，的取值范围为或，
∴二次函数与直线的交点为和，
∴对称轴为，
∴，解得，
则二次函数，
∵点和点过二次函数，
∴，，
∵，
∴，
故选∶A．
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝mx+2m﹣1的图象为直线l，在下列结论中：①当m＞0时，直线l一定经过第一、第二、第三象限；②直线l一定经过第三象限；③过点O作OH⊥l，垂足为H，则OH的最大值是；④若l与x轴交于点A，与y轴交于点B，△AOB为等腰三角形，则m＝﹣1或，其中正确的结论是　 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】② ③　
【解析】
当m>0,2m-1>0,即m＞时，直线l经过第一，第二，第三象限；
当2m-1=0,即m=时，直线l经过第一，第三象限；
当m>0,2m-1<0,即0当m<0时，2m-1<0,直线l经过第二，第三，第四象限；故①错误，②正确；
一次函数y=mx+2m-1=m(x+2)-1
当x=-2时，y=-1,即直线l经过定点(-2,-1),当点H和定点(-2,-1)重合时，
OH取得最大值，即③正确；
若与x轴交于点A,与y轴交于点B,
则A(,0),B(0,2m-1),
若△AOB为等腰三角形，则OA|=|OB|
当2m-1=0时，解得：m=
当2m-1≠0时，解得m=±1;
∴m=±1或m=
∵当m=时，点A和点B,点O重合，故不成立，
∴当△AOB为等腰三角形时，m=±1;故④错误.
模块二 二次函数与公共点问题
题型一 与线段有（无）公共点
【方法解读】
抛物线二次项系数a为定值时，求其与线段有公共点： 情形一：b确定； 顶点轨迹：在对称轴上上下移动； 求解关键：确定三个临界点，即抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点(当线段是水平线段时为顶点在线段上的点); 情形二：b不确定且顶点纵坐标确定； 顶点轨迹：在水平直线上左右移动； 求解关键：确定两个临界点即抛物线过线段两端点； 情形三：b不确定且顶点在直线上运动； 顶点轨迹：在直线y=kx+b(k≠0)上移动； 求解关键：确定三个临界点，即抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点(当线段是水平线段时为顶点在线段上的点)。
2.当二次项系数a不确定时： (1)抛物线的开口方向和开口大小不确定，分开口向上和向下讨论；且lal越大开口越小，lal越小开口越大； (2)看对称轴，当二次项系数a与一次项系数b成倍数关系时，对称轴确定； (3)看是否过定点，将含参数的项合并后进行因式分解得到y=a（x-）（x-）的形式，从而求出定点的横坐标； (4)画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况. (5)过临界点求值。数形结合：画出抛物线的大致图象，并分析图象的运动变化情况，算出过临界点时字母的值，求出字母的取值范围.
1、如图，已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),抛物线F:y=x -2mx+m -2与直线x=-2交于点P
(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
(2)设点P的纵坐标,,求的最小值，此时抛物线F上有两点(,)(,）,且＜≤-2,比较,大小关系.
(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，请直接写出m的取值范围.
【参考答案】
解：(1)∵抛物线F经过点C(-1,-2),
∴-2=(-1) -2×m×(-1)+m -2
解得：m=-1,
∴抛物线F的表达式是：y=x +2x-1;
(2)当x=-2时，yp=4+4m+m -2=(m+2) -2
∴当m=-2时，yp的最小值-2,
此时抛物线F的表达式是：y=x +4x+2=(x+2) -2,
∴当x≤-2时，y随x的增大而减小，
∵X ∴y1>y2;
(3)m的取值范围是-2≤m≤0或2≤m≤4,
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A(0,2),B(2,2),
或
∴m的取值范围是-2≤m≤0或2≤m≤4,
把函数:y=ax -2ax-3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数的图象，我们称是关于点P的相关函数，的图象的对称轴与x轴的交点坐标是（t，0），
(1)填空：t的值为 ；(用含m的代数式表示)
(2)若a=-1,当≤x≤t时，函数的最大值为,最小值为,且=1,求的解析式；
(3)当m=0时，的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D,把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A'D',若线段A'D'与的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围。
【参考答案】
解：(1)C :y=ax -2ax-3a=a(x-1) -4a
顶点(1,-4a)围绕点P(m,0)旋转180°的对称点为(2m-1,4a),
C :y=-a(x-2m+1) +4a,
函数的对称轴为：x=2m-1,则t=2m-1,
故答案为：2m-1;
(2)a=-1时，C :y=-(x-1) +4,
①当x=，有最小值；x=t时，有最大值y =-(t-1) +4,
则=-(t-1) +4- =1,无解；
②当1≤t≤时，x=1时，有最大值y =4；x=t时，有最大值=,
则=≠1（舍去）
③当t＞时，x=1时，有最大值y =4,
x=t时，有最大值=-(t-1) +4,
则=（t-1） =1,
解得：t=0或2(舍去0),
∴C :y=(x-2) -4=x -4x
(3)当m=0,则 C :y=-a(x+1) +4a,
点A、B、D、A'、D’的坐标分别为(1,0)、(-3,0)、(0,3a)、(0,1)、(-3a,0),
①当a>0时，如图，a越大，则OD越大，则点D'越靠左，
当C 过点A’时，y=-a（0+1） +4a=1
解得：a=
当C 过点D’时，同理可得a=1
∴0＜a≤或a≥1
②当a＜0时，当C 过点D’时，-3a=1，解得：a=-
故a≤-
综上，a的取值范围为：0＜a≤或a≥1或a≤-
题型二 与几何图形有（无）公共点
1、如图，经过点A(0,-4)的抛物线y=x -x-4与轴相交于B（-2,0），C两点，O为坐标原点.
抛物线y=x -x-4向上平移将抛物线个单位长度，再向左平移m个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围。
【参考答案】
解：（1）将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y= +bx+c中，得：0+c=-4 ；×4-2b+c=0,
解得：b=-1;c=-4
故抛物线的解析式：y=x -x-4.
新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m） -（x+m）-4+
即：：y=x +（m-1）x+m -
它的顶点坐标P(1-m,-1);
由(1)的抛物线解析式可得：C(4,0);
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),把x=4,y=0代入，得4k+b=0,
∴b=-4,
.∴y=x-4.
同理直线AB:y=-2x-4;
当点P在直线AB上时，-2(1-m)-4=-1,解得：m=2.5
当点P在直线AC上时，(1-m)-4=-1,解得：m=-2;
∴当点P在△ABC内时，-2又∵m>0,
∴.符合条件的m的取值范围：02、在平面直角坐标系中，抛物线y=x -4x+n(x>0)的图象记为,将绕坐标原点旋转180°得到图象,图象和合起来记为图象G.
(1)若点P(-1,2)在图象G上，求n的值；
(2)当n=-1时，
①若Q(t,1)在图象G上，求t的值；
②当k≤x≤3(k<3)时，图象G对应函数的最大值为5,最小值为-5,直接写出k的取值范围.
(3)当以A(-3,3),B(-3,-1),C(2,-1),D(2,3)为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共
点时，直接写出n的取值范围。
【参考答案】
解：(1)∵抛物线y=x -4x+n=(x-2) +n-4, ∴顶点坐标为(2,n-4),
∵将G 绕坐标原点旋转180°得到图象G ,
∴图象G 的顶点坐标为(-2,-n+4),∴图象G 的解析式为：y=-(x+2) +4-n
若点P(-1,2)在图象G 上，且抛物线y=x -4x+n(x>0)的图象记为G ,
∴点P不在G 上，
若点P(-1,2)在图象G 上，∴2=-1+4-n,
∴n=1;
综上所述：点P(-1,2)在图象G上，n的值为1;
(2)①当n=-1时，则图象G 的解析式为：y=(x-2) -5,
图象G 的解析式为：y=-(x+2) +5,
若点Q(t,1)在图象G 上，∴1=(t-2) -5,
∴t=2+,(负值舍去)
若点Q(t,1)在图象G 上，∴1=-(t+2) +5,
∴t =-4,t =0
②如图1,
当x=2时，y=-5,当x=-2时，y=5,
对于图象G ,在y轴右侧，当y=5时，则5=(x-2) -5,
∴x=2+>3,
对于图象G ,在y轴左侧，当y=-5时，则-5=-(x+2) +5,
∴x=-2-,
∵当k≤x≤3(k<3)时，图象G对应函数的最
大值为5，最小值为-5,
∴k≤-2;
(3)如图2,
∵图象G 的解析式为：y=-(x+2) +4-n,
图象G 的解析式为：y=(x-2) +n-4,
∴图象G2的顶点坐标为(-2,-n+4),与y轴交点为(0,-n),
图象G 的顶点坐标为(2,n-4),与y轴交点为(0,n),
当n≤-1时，图象G 与矩形ABCD最多1个交点，图象G 与矩形ABCD最多1交点，
当-1当n=0时，图象G 与矩形ABCD有1个交点，图象G 与矩形ABCD有2个交点，共三个交点，
当0当1当3≤n<7时，图象G 与矩形ABCD有2个交点，当3≤n<5时，图象G 与矩形ABCD有2个交点，n=5时，图象G 与矩形ABCD有1个交点，n>5时，没有交点，
∵矩形ABCD的边与图象G有且只有三个公共点，
∴n=5,
当n≥7时，图象G 与矩形ABCD最多1个交点，图象G 与矩形ABCD没有交点，
综上所述：当n=0,n=5,1题型三 与一次函数有（无）公共点
【方法解读】
1.抛物线与x轴的交点问题： 通常令抛物线的解析式中y的值为0,得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式b -4ac判断： ①当b -4ac=0时，抛物线与x轴有唯一交点(顶点); ②当b -4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点； ③当b -4ac<0时，抛物线与x轴无交点 2.抛物线与直线的交点问题： 最常规的方法是联立两个解析式得到一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式b -4ac判断(方法同1).
已知二次函数y=-x +x+6以及一次函数y=-x+m，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像(如图所示),当直线y=-x+m与这个新图象有四个交点时，求m的取值范围.
【参考答案】
解：当直线y=-π+m经过点A(-2,0)时，2+m=0,
解得m=-2;
当直线y=-a+m与抛物线y=x -x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时，
方程x -x-6=-x+m有相等的实数解，则△=0-4×(-6-m)=0,
解得m=-6,
所以当直线y=-a+m与新图象有4个交点时，
m的取值范围为-6故答案为-62、已知抛物线G:y=mx -2mx-3有最低点.
(1)求二次函数y =mx -2mx-3的最小值(用含m的式子表示);
(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象，求点P的纵坐标的取值范围。
【参考答案】
解：(1)∵y=max -2ma-3=m(x-1) -m-3，抛物线有最低点
∴二次函数y=max -2mx -3的最小值为-m-3
(2)∵抛物线G:y=m(x-1) -m-3
∴平移后的抛物线G :y=m(x-1-m) -m-3
∴抛物线G 顶点坐标为(m+1,-m-3)
∴x=m+1,y=-m-3
∴x+y=m+1-m-3=-2
即x+y=-2,变形得y=-x-2
∵m>0,m=x-1
∴x-1>0
∴x>1
∴y与x的函数关系式为y=-x-2(x>1)
(3)如图，函数H:y=-x-2(x>1)图象为射线
当x=1时，y=-1-2=-3;
当x=2时，y=-2-2=-4
∴函数H的图象过点B(2,-4)
∵抛物线G:y=m(x-1) -m-3
当x=1时，y=-m-3;
当x=2时，y=m-m-3=-3
∴抛物线G恒过点A(2,-3)
由图象可知，抛物线G与函数H图象交点P的纵坐标，满足yB∴点P纵坐标的取值范围为-43、在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P(m,-1)(m>0),连接OP,将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°,得到线段OM,且点M是抛物线y=ax +bx+c的顶点。
(1)若m=1,抛物线y=ax +bx+c经过点(2,2),当0≤x≤1时，求y的取值范围；
(2)已知点A(1,0),若抛物线y=ax +bx+c与y轴交于点B,直线AB与抛物线y=ax +bx+c，有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由。
【参考答案】
解：(1)∵线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM
∴∠POM=90°,OP=OM
过点P(m,-1)作PQ⊥x轴于Q,过点M
作MN⊥y轴于N,
∵∠POQ+∠MOQ=90°，∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ
∴∠ONM=∠0QP=90°
∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1,ON=0Q=m
∴M(1,m)
∵m=1 ∴M(1,1)
∵点M是抛物线y=a(x-1) +1
∵抛物线经过点(2,2)
∴a=1
∴y=(x-1) +1
∴此抛物线开口向上，对称轴为x=1
∴当x=0时，y=2；当x=1时，y=1
∴y的取值范围为1≤y≤2.
(2)∵点M(1,m)是抛物线y=ax +bx+c的顶点
∴可设抛物线为y=a(x-1) +m
∵y=a(x-1) +m=ax -2ax+a+m
∴B(0,a+m)
又∵A(1,0)
∴直线AB的解析式为y=-(a+m)x+(a+m)
解方程组
得ax +(m-a)x=0
∵直线AB与抛物线y=ax +bx+c有且只有一个交点，
∴△=(m-a) =0
∴m=a，∴B(0,2m).
在Rt△ONM中，由勾股定理得OM =MN +ON =1+m
∴BM=OM∴△BOM是等腰三角形.
题型四 与反比例函数有（无）公共点
若二次函数y=x +c的图像与双曲线y=（2≤x≤4）有且只有一个交点，求c的取值范围.
【参考答案】
解：把x=2代入y=得，y=3，
把x=4代入y=得，y=，
把x=2,y=3代入y=x +c得，3=4+c, 解得c=-1;
把x=4,y=是代入y=x +c得，=16+c, 解得c=-
∴若二次函数y=x +c的图象与双曲线y=(2≤x≤4)有且仅有一个交点，
∴c的取值范围是 - ≤c≤-1
2、如图，若抛物线y=-x +2bx双曲线BC：y=（2≤x≤4）有交点，其中B,C的横坐标分别是2、4,求b的取值范围.
【参考答案】
解：∵y=-x +2bx=-(x-b) +b
∴该抛物线顶点坐标为(b,b ).
当抛物线y=-x +2bx与双曲线BC:y=(2≤m≤4)相切时，点(b,b )在y=上，
∴b =
此时b=
∵点B,C的横坐标分别为2,4,
∴B(2,3)，C(4,),
当抛物线y=-x +2bx过点B时，则3=-4+4b,
解得b=
当抛物线y=-x +2bx过点C时，则=-16+8b,
解得b=
.∴若抛物线y=-x +2bx与反比例函数BC:y=(2≤x≤4)的图象有交点
，则b的取值范围是≤b≤
3、如图，抛物线y=-2x +4x与x轴相交于O,A两点，抛物线的顶点为点B,反比例函数
y=(k>0)的图像与抛物线在第一象限的一个交点在点B左侧，求k的取值范围.
【参考答案】
解：∵y=-2x +4x,
∴B(1,2),
∵反比例函数y=(k>0)的图象与抛物线在第一象限的一个交点在点B左侧，
:把B(1,2)代入y=，得k=2,
∴k的取值范围为0模块三 二次函数比较大小
1、已知直线y=kx+m与抛物线y=-x +bx+c相交于A,B两点，且点A在x轴正半轴，点B在y轴上，点O为坐标原点.
(1)若点A的横坐标为2,求b-k的值：
(2)若点A的横坐标为m,抛物线顶点的纵坐标为n,点P在线段AB上，且到两坐标轴的距离相等，当OP≤时，试比较n与b+m-k的大小.
【参考答案】
解：（1）∵A(2,0),直线y=kx+m与抛物线y=-x +bx+c相交于A,B两点，
且点A在x轴正半轴，点B在y轴上，
∴2k-2b=-4,
∴b-k=2
(2)∵B(0,m),A(m,0),
∴OA=OB,
∵点P在线段AB上，且到两坐标轴的距离相等，
当OP≤,
∴0把点A(m,0),并且m>0,代入直线y=kx+m得：y=km+m=0,
解得：k=-1;
∴直线为y=-x+m与y轴的交点B(0,m).
抛物线y=-x +bx+c开口向下，顶点为(,b +c),
∴n=4b +c,
点A和点B代入抛物线得：y(0)=-0+0+c=m>0,
y(m)=-m +bm+c=0,
解得：b=m-1,
∴n=b +c=(m-1) +m=(m+1) =[(m+1]
∴b-k+m=m-1-(-1)+m=2m,
∴n-(b-k+m)=(m+1) -2m=(m +2m+1-8m)
=(m -6m+1)=[（m-3） -8]
∵0解(m-3) -8=0得：m=3-,
∴0b-k+m
∴m=3-，n=b-k+m
∴3-＜m≤2时，n＜b-k+m
2、已知抛物线y=x +bx+c的对称轴1交x轴于点A.
（1）若此抛物线经过点(1,2),当点A的坐标为(2,0)时，求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴只有一个交点，求点A的坐标(用含有c的式子表示);
(3)抛物线y=x +bx+c交y轴于点B,将抛物线平移，使其经过点A、B,且写x轴交于另一点C,若设段OB、OC分别为m、n,试设m与n+的大小，并说明理由.
【参考答案】
解：(1)根据题意得 ，解得
∴此抛物线的解析式为y=x -4x+5
(2)由抛物线y=x +bx+c交y轴于点B,对称轴l交x轴于点A.
∴B(0,c),A(-2,0)
∵b =2c,c=
∴y=x +bx+c=x +bx+=（x+） +
设平移后的抛物线的解析式为y=(x++h） ++k,
∵其经过点A，B，
解得，解得
∴平移后的抛物线的解析式为y=(x++） +=x +
令y=0,则x +=0
解得：- ，-b
∴C(-b,0)
∴m=OB=,n=0C=-b
∴m-n- =+b- = (b +2b-3)
设抛物线p=b +2b-3,开口向上，如图所示，
当p=0时，b =-3,b =1,
∵b≤-1,
∴当b≤-3时，p≥0,即m≥n+ ；
当-3课后作业：
1.已知关于x的方程ax +(3a+1)x+3=0.
(1)求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
(2)若抛物线y=ax +(3a+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；
(3)在(2)的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C,与直线OH交于点D。现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上。若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围.
【参考答案】
解：(1)当a=0时，原方程为一元一次方程，即x+3=0,此时方程有实数根x=-3;
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
∵△=(3a+1) -4a×3=9a -6a+1=(3a-1) ≥0
∴此时方程有两个实数根；
综上所述，无论a取任何实数时，该方程总有实数根；
(2)令y=0,则ax +(3a+1)x+3=0,
解得：=-3,=-
∵:抛物线y=ax +(3a+1)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，
∴a=1,
.∴.抛物线的解析式为y=x +4x+3,配方得，y=x +4ax+4-1=(x+2) -1
∴抛物线的顶点H的坐标为(-2,-1)
(3)设直线OH的解析式为y=kx(k≠0),
把H(-2,-1)代入得，-2k =-1,
解得：k=
∴直线OH的解析式为y=x
∵现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，
∴设平移后抛物线的顶点坐标为即平移后抛物线的解析式为y=（x-h） +h
∵直线y=-x+5与y轴交于点C,
∴令x=0,则y=5,
∴C(0,5),
当平移后的抛物线经过点C时，则：
5=(0-h） +h,
解得：h=- 或h=2
∴当- ≤h≤2平移后的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点；
当平移后的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点时，联立得方程组
消去y,并整理得，x +（1-2h）x-4（h +h-5）=0
根据题意，这个关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=0,即（1-2h） -4（h +h-5）=0
解得：h=
∴平移后的抛物线y=（x-） +与射线CD(含端点C)的唯一交点为(3,2),符合题意；
综上所述，若平移后的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，顶点横坐标h=或
- ≤h≤2
2.如图①，将抛物线y＝ax （﹣1＜a＜0）平移到顶点恰好落在直线y＝x﹣3上，
并设此时抛物线顶点的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式（用含a、m的代数式表示）;
（2）如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、C三点，∠B＝90°，AB∥x轴，AD＝2，
BD：BC＝1：2．
①求△ADC的面积（用含a的代数式表示）;
②若△ADC的面积为1，当2m﹣1≤x≤2m+1时，y的最大值为﹣3，求m的值．
【参考答案】
解：(1)抛物线的顶点在直线y=x-3上，横坐标为m,则顶点的坐标为(m,m-3),
则抛物线的表达式为：y=a(x-m) +m-3=
ax -2amx+am +m-3;
(2)①如图所示，AB//x轴，AD=2,
∴点D(m+1,a+m-3),
设BD=t,
∵BD:BC=1:2,则BC=2t,则
点C(m+1+t,a+m-3-2t),又点C在抛物线上，
则：a+m-3-2t=a(m+t+1-m) +m-3,
解得：t=0(舍去)或-
∴=_ADCB=-,
②若△ADC的面积为1,则-=1
解得：a=-;
∴抛物线的表达式为：y=-(x-m) +m-3;
当m>2m+1时，即：m<-1时，-(2m+1-m) +m-3=-3,
整理得：4m +3m+4=0,
△=b -4ac<0,故此方程无实数解；
当2m-1≤m≤2m+1时，即：-1≤m≤1,
则m-3=-3,解得：m=0;
当m<2m-1时，即：m>1,
-(2m-1-m) +m-3=-3,
整理并解得:m=-(舍去负值),
故：m的值为0或
3.已知抛物线y＝x ﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；
（2）点D（b，）在抛物线上，当AM＝AD，m＝3时，求b的值；
（3）点Q（b+，）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值；
(说明：表示D点的纵坐标，表示Q点的纵坐标)
【参考答案】
解：(1)∵抛物线y=x -bx+c经过点A(-1,0)
∴1+b+c=0,即c=-b-1,
当b=2时，y=x -2x-3=(x-1) -4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-4);
由A(-1,0)在抛物线上，得：c=-b-1,
∴抛物线的解析式为y=x -bx-b-1,
∵点D(b,)在抛物线y=x -bx-b-1上，
∴=b -b·b-b-1=-b-1,
由b>0,得b＞＞0,-b-1<0
∴点D(b,-b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴x=的右侧，
如图1,过点D作DE⊥x轴，垂足为E,则点E(b,0),
∴AE=b+1,DE=b+1,得AE=DE
∴在Rt△ADE中，∠ADE=∠DAE=45°,∴AD=AE,
由已知AM=AD,m=3,
∴3-(-1)=(b+1),
∴b=2-1;
（3）∵点Q（b+，）在抛物线y=x -bx-b-1上
∴=（b+） -b（b+）-b-1=- -
可知点Q（b+，- -）在第四象限，且在直线x=b的右侧
如图2,过点Q作直线AN的垂线，垂足为G,QG与x轴相交于点M,
AM=GM,由∠GAM=45°,得AM=GM,则此时点M满足题意，
过点Q作QH⊥x轴于点H,则点H（b+，0）
在Rt△MQH中，可知∠QMH=∠MQH=45°,
∴QH=MH,QM=MH,
∵点M(m,0),
∴0-(- - )=(b+)-m,
解得：m= -
∵AM+2QM=,
∴[（ -）-（-1）]+2×[(b+)-( -)]= ∴解得b=6.
4.（2024年增城一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2mx﹣2m+1（m是常数），顶点为M．（1）用含m的式子表示抛物线的对称轴；
（2）已知点A（﹣2m﹣2，2），当点A不在y轴上时，点A关于x轴的对称点为点B，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为D、C，连接AB，得到矩形ABCD．
①当m＞﹣1时，点M到边AB所在直线的距离等于点M到x轴的距离，求m的值；
②当m＜﹣1时，抛物线的一部分经过矩形ABCD的内部，这部分抛物线上的点的纵坐标y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
【参考答案】
解：(1)对称轴：x=-=-m
(2)①当x=-m时，y=m -2m -2m+1=-m -2m+1,
即M(-m,-m -2m+1),
∴M到x轴的距离为
点M到边AB所在直线的距离d=|-m-(-2m-2)|=|m+2|,
∵m>-1,
∴m+2>0,即d=m+2,
当-m -2m+1>0时，-m -2m+1=m+2,
解得：m=或(不合题意，舍去)
当-m -2m+1<0时，m +2m-1=m+2,
解得：m=或(不合题意，舍去);
综上，m=或m=
②由题意可得：B(-2m-2,-2),
当x=-2m-2时，y=(-2m-2) +2m(-2m-2)-2m+1=2m+5,
当x=0时，
∵m<-1,
∴y=-2m+1>3,即抛物线与y轴的交点恒在点D的正上方.
当点A、B在对称轴的左侧或AB在对称轴上时，如图：
此时需要满足的条件为：
解得：-2≤m＜
当点A、B在对称轴的右侧时，如图：
,此时需要满足的条件为：
解得：m≤-,
综上：m≤-,或-2≤m＜
5.（2024年越秀区一模）已知抛物线经过点．
(1)用含的式子表示；
(2)当时，设该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，的外接圆与轴交于另一点（点与点不重合），求点的坐标；
(3)若点，，在该抛物线上，且当时，总有，求的取值范围．
【参考答案】
解：（1）把点代入抛物线，得，，
解得：；
（2）∵，∴，
当时，则，解得：或；
又∵点在点的左侧，∴，，
当时，则，即，
∴当时，，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵的外接圆与轴交于另一点，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，则，
根据圆的对称性可得：；

（3）在该抛物线上，则，
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴点的横坐标，即点在对称轴的左侧，
∵当时，总有，
∴图①不成立，

当的位置满足图②时，，
解得：，
∴，则，
当的位置满足图③时，则，
解得：，此时，
综上所述， 或．

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