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第14讲 二次函数与其他知识的综合
·模块一 二次函数与一次函数的综合
·模块二 二次函数与一元二次方程的综合
·模块三 二次函数与几何图形的综合
·模块四 二次函数与动点问题
·模块五 课后作业
【例1.1】（2023·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，是解题的关键．
根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴为直线，故B，D不符合题意；
∵当时，，，
∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意．
故选：A．
【例1.2】（2023九年级·湖南岳阳·开学考试）如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据所给图象可以得出， ，再结合对称轴，即可判断；根据二次函数与正比例函数的交点坐标即可判断；由方程根与系数的关系即可判断；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，故、正确；
∵二次函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴关于的方程的两根为，故正确；
由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
∵
∴，故正确；
∴正确的是，
故答案为：．
【例1.3】（2023九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线于A，B两点，已知，，且，则下列说法正确的是（　　）
A．当且时，有最小值 B．当且时，有最大值
C．当且时，有最小值 D．当且时，有最大值
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键．
设直线，联立直线与抛物线解析式得出a，c是方程的两根，进而根据，得出在的下方，得出，则，即可得出，进而结合选项，进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，过点的直线交抛物线于，，两点，设直线，
联立，
即，
∴a，c是方程的两根，
即，，
∵，
∴在的下方，
联立，
解得： 或，
∴，
∵在抛物线上，则，
∴，
∴，
当且，
∴，
∴有最小值，
故选：A．
【变式1.1】（2023九年级·江苏·专题练习）已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．

(1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；
(3)连接，，求的面积．
【答案】(1)抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为
(2)A点坐标为，B点坐标为
(3)3
【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）联立二次函数和一次函数解析式求解即可；
（3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可．
【详解】（1）抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；
（2）由题意得，即，
解得或，
则或，
∴A点坐标为，B点坐标为；
（3）∵与y轴交点的坐标为，
∴的面积．
【变式1.2】（2023九年级·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点若，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
由函数与的图象交于，两点可得：，，，再由，得，根据计算即可．
【详解】解：函数与的图象交于，两点，
，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
解得：，
或，此不等式组无解，
综上：．
故答案为：．
【变式1.3】（2023九年级·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ．
【答案】 4
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出的值，再将抛物线解析式表示成顶点式，即可求解；
（2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出，然后表示出，求出的表达式，再将表达式化为顶点式，求二次函数的最值即可．
【详解】解：（1）将点代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为；
（2）将一次函数解析式与抛物线解析式联立，
可得，
整理可得，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，取最大值，最大值为4．
故答案为：（1）；（2）4．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
【例2.1】（2023·山东临沂·二模）已知方程，当时方程有唯一解，则a的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的联系，设，利用二次函数的对称性以及二次函数与x轴的交点即为对应一元二次方程的解进行求解即可．
【详解】解：设，
则，
函数的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
若时，，则有唯一解，
∴，即，
当时，方程在时方程有唯一解，
∴，
综上，a的取值范围为或，
故答案为：或．
【例2.2】（2023·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，由题意得出，且，结合为正整数，得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时；当时，分别计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，且，
∵为正整数，
∴，
∴二次函数为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，当时，，
∵当时，对应函数值的取值范围是，
∴，
∴当时，函数在上随着的增大而增大，
∴当时，，即，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）；
当时，当时，取到最小值，为，即，
解得：（符合题意）；
故选：B．
【例2.3】（2023·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点．
(1)若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值；
(2)若抛物线与轴交于，和，两点，且，直接写出的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)的取值范围为或．
【分析】本题考查的重点是用待定系数法求二次函数的解析式，利用根与系数之间的关系解题．
（1）将点代入抛物线，可以推导出系数，直接的关系；因为直线与抛物线有两个交点，所以利用两点之间的距离公式和根与系数之间的关系可以求出的值；
（2）抛物线与轴有两个交点，所以首先利用根的判别式可以推导出的范围，在分类讨论在不同取值范围内是否符合要求．
【详解】（1）解：抛物线的图象经过点，
，
，
，
直线与抛物线相交所得的线段长为，
，
，
设两个交点为和，线段长为，
，，
，
，
或者，经检验，符合题意；
答：或；
（2）解：抛物线与轴有两个交点，
当时，△，
或，
①当时，
抛物线恒经过点和，
，
恒成立，
②当时，
抛物线与轴交于，和两点，
，，
，
，
当时，，
，
答：的取值范围为或．
【变式2.1】（2023·山东济宁·三模）已知二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点问题，依据题意，由二次函数的图象经过点，，从而方程的两根为，又一元二次方程可化为，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵二次函数的图象经过点，，
∴方程的两根为．
又一元二次方程可化为，
∴或．
∴或．
∴一元二次方程的两根为．
故答案为：．
【变式2.2】（2023·河北石家庄·二模）老师给出了二次函数的部分对应值如表：
… 0 1 3 5 …
… 7 0 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是方程的一个根；
⑤若，是抛物线上的两点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据当和时，函数值相等，求出对称轴，判断②，得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，判断①，得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，判断③，根据时，，判定④，根据抛物线的开口向上，反例“若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则”，判定⑤，综合得出答案即可．
【详解】解：∵当和时，
∴函数图象抛物线对称轴为，则为最低点，故②错误，
∴抛物线的开口向上，故①正确，
∵，
∴的对称点为，
又∵抛物线的开口向上，
∴当时，，故③正确，
∵时，，
∴是方程，即方程的一个根，故④正确，
∵抛物线的开口向上，
∴若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则，故⑤错误，
综上所述，正确的是①③④，
故选：A．
【变式2.3】（2023·江苏南京·二模）已知二次函数（a，m为常数，）．
(1)求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2)该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)，且
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，关键是掌握二次函数的性质．
（1）证明判别式即可；
（2）先求出坐标，求出，再根据二次函数的图象上都只有两个点，使和的面积均为4，得出抛物线的顶点到轴的距离小于2，解不等式即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
∴不论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）令，则，
，
，
，
，
，
，
∴到轴的距离为2，
∵该二次函数的图象上都只有两个点，使和的面积均为4，
∴二次函数的顶点到轴的距离小于2，
即，
解得，且，
∴的取值范围为，且．
【例3.1】（2023·山西吕梁·模拟预测）综合与探究
如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若，求m的值．
【答案】(1)
(2)或3
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分两种情况画出图形，根据等腰直角三角形的性质列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）当点P在轴下方时，如图，过点P作轴于点D，则点D的坐标为，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
即，
解得
其中不合题意，故
当点P在轴上方时，如图，过点P作轴于点E，则点E的坐标为，
∵，
∴是等腰直角三角形，，
即，
解得
其中不合题意，故
综上可知，或.
【例3.2】（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点Q）．连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边均与坐标轴平行或垂直．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当时，该二次函数的最大值是______，最小值是______；
(3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(4)当矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
(4)或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像的性质等知识点，灵活运用二次函数的相关性质成为解题的关键．
（1）将点代入求得c的值即可解答；
（2）先确定抛物线的对称轴，然后再根据二次函数的性质求最值即可；
（3）根据图像以及题意列不等式求解即可；
（4）先确定P、Q、M、N的坐标，然后根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点代入可得，解得：，
所以此抛物线的解析式．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∵，
∴当时，有最小值，
∵，
∴当时，有最大值．
故答案为：，．
（3）解： ∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，
∴，，
∴,，
∵抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
∴，或
解得：或；
（4）解：∵点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，
∴，，
∴,，
∵矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，
①当矩形的面积被x轴平分，则，
∴点P、点Q的纵坐标互为相反数，
∴，解得：（不符合题意）或，
②当矩形的面积被y轴平分，则，
∴点P、点Q的横坐标互为相反数，
∴，解得：
∴当或时，矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点．
【例3.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图1，二次函数图象交坐标轴于点A，，点P为x轴上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点P作轴分别交线段，抛物线于点Q，C，连接．当时，求的面积；
(3)如图2，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）先求直线的解析式为，则，，可求；
（3）设，过点作轴垂线交于点，可证明，则，将点代入抛物线解析式得，求得或．
【详解】（1）解：将代入，得，
，
；
（2）令，则，
或，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
轴，
，，
，
；
（3）设，
如图2，过点作轴垂线交于点，
∴
，
，，
，
，
，
，，
，
，
解得或，
或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法求抛物线解析式，三角形面积，全等三角形判定和性质，旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合．
【变式3.1】（2023·山西吕梁·模拟预测）已知：如图，抛物线的表达式为，图象与轴交于点，将抛物线沿轴正方向平移后得到抛物线，抛物线交轴于点，交轴于点，（点在点的左侧），点的坐标为．
(1)直接写出抛物线的表达式及点的坐标．
(2)点为抛物线上一动点，横坐标为，过点作轴交于点，连接，的面积为，用含的式子表示的面积，并求出当时，点的坐标．
【答案】(1)，，；
(2)，．
【分析】（）由抛物线的顶点坐标求出抛物线的顶点坐标，利用顶点式即可求出抛物线的表达式，再把代入的表达式即可求出点的坐标；
（）由平移的性质可得，进而由三角形的面积公式可求出与的函数解析式，再把代入所得的函数解析式可求出点的坐标；
本题考查了求二次函数的解析式，二次函数与轴的交点坐标，二次函数图象的平移，求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由得，，抛物线的顶点坐标为，
∵点的坐标为，
∴抛物线向上平移了个单位长度，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的表达式为，
即，
把代入得，，
解得，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即，
当时，，
∴，
∴．
【变式3.2】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知，，以为边在左侧作等边，点D在第二象限．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将等边沿x轴方向平移，在抛物线的对称轴上存在一点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，请求出点E的坐标，并写出平移方式．
【答案】(1)；
(2)，将等边沿x轴向左平移个单位或，将等边沿x轴向右平移个单位或，将等边沿x轴向右平移个单位时，以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形．
【分析】本题考查二次函数图象与性质，菱形的性质及应用
（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为；
（2）求出，，，即可得，由可知，抛物线对称轴为直线，设将等边沿x轴方向平移t个单位（当时，向右平移，当时向左平移），，则平移后，分三种情况列方程组可解得答案．
【详解】（1）解：把代入得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在中，令得，
解得或，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
由可知，抛物线对称轴为直线，
设将等边沿x轴方向平移t个单位（当时，向右平移，当时向左平移），，
则平移后，
①以为对角线时，
∵，
∴当四边形是平行四边形时，四边形为菱形，
∵平行四边形两条对角线的中点重合，
∴，
解得，
∴，将等边沿x轴向左平移个单位；
②以为对角线时，
∵，
∴当四边形是平行四边形时，四边形为菱形，
∵平行四边形两条对角线的中点重合，
∴，
解得，
∴，将等边沿x轴向右平移个单位；
③以为对角线时，
∵，
∴当四边形是平行四边形时，四边形为菱形，
∵平行四边形两条对角线的中点重合，
∴，
解得，
∴，将等边沿x轴向右平移个单位；
综上所述，，将等边沿x轴向左平移个单位或，将等边 沿x轴向右平移个单位或，将等边沿x轴向右平移个单位时，以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形．
【变式3.3】（2023·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴，
①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①，且；②或或；③
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，进而求解即可；
②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可；
③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解．
【详解】（1）∵抛物线过原点，
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）①∵抛物线；
∴抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y随x的增大而增大，
∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，
∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升；
②∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4
∴当点M的纵坐标为时，
∴
解得；
当点M的纵坐标为时，
∴
解得，
综上所述，或或；
③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，

解得，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴ ，
∴，，
令点，则，
∴，
设直线解析式为，则，
解得，
∴，
将点Q代入可得：，
解得：，
∵点P在y轴下方，
∴，
∴，
∴P点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键．
【例4.1】（2023九年级·山东济宁·期中）如图，中，，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，P点沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
(1)当运动停止时，的值为 ；
(2)设的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示，并注明t的取值范围）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
【答案】(1)2
(2)①；②当时，取得最大值为
【分析】（1）根据运动速度，以及、的长度，即可求解；
（2）①求得线段、的长度，即可求得S的表达式；②根据表达式可得S与t为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：运动停止时，分别到达终点点和B点，
．
故答案为．
（2）解：①由题意可得：，
，则
△PCQ的面积
故答案为：．
②由二次函数可得：
，开口向下，对称轴为
∴当时，S取得最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了函数与几何的综合应用，二次函数的性质等知识点，解题的关键是掌握二次函数的有关性质．
【例4.2】（2023·福建泉州·二模）如图1，在平行四边形中，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度从点出发，沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图像，求值．

【答案】的值为
【分析】根据图2可知时，点停止运动，可计算出的长，分类讨论，当时，当时分别计算出的面积，当到达点时，，由此即可求解．
【详解】解：根据图2可知，时，点停止运动，
∴，
根据题意得，，
当在上时，即，
∴，如图所示，过作于点，

∵，
∴在中，，
∴；
当点在上时，即时，如图所示，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
综上所述，当点到达点时，，
∴当时，，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查函数与几何图形的变换的综合，掌握动点与几何图形的性质，函数图像的性质是解题的关键．
【例4.3】（2023·山东临沂·一模）小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标．
(1)请求出b和n的值；
(2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
(3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
(3)的面积最大时，点P的坐标为．
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）先由在一次函数上求出b，再由在二次函数求出n．
（2）联立两解析式，可求出交点M的坐标．
（3）根据点M的坐标求得直线的解析式，设，，求得，，即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意可知，，
解得：，；
（2）解：联立得，
解得，，
当时为原点，舍去，
将代入得，
∴点M的坐标为；
（3）解：过P点作y轴的平行线，交线段于Q．
∵M的坐标为，
∴直线的解析式为：，
∴设，，，
，
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，的面积最大．此时点P的坐标为．
【变式4.1】（2023九年级·北京·期末）如图，正方形的边长为，，分别是，边上一动点，点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，当点与点重合时，运动停止，设运动时间为，运动过程中的面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】
【分析】△AEF的面积=正方形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△ECF的面积，分别表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积代入即可．
【详解】解：设运动时间为，
点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，
，，，，
的面积正方形的面积的面积的面积的面积，
即：
【点睛】此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD的面积、△ABE的面积、△ADF的面积、△ECF的面积．
【变式4.2】（2023·广东佛山·二模）综合应用
如图，等边三角形的边长为a，点D，E，F分别是边，，上的动点，且满足，连接，，．

(1)证明：；
(2)设的长为x，的面积为y，求出y与x的函数表达式（用含a的式子表示）；
(3)在（2）的条件下，当时，y有最小值，画出y与x的函数图象．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；
（2）过F作于H，可证，得，，从而是等边三角形，由是等边三角形，看求出，即可得，，，故，然后根据即可求解；
（3）先根据当时，y有最小值，求出函数解析式，然后描点法画出图象即可．
【详解】（1）∵是边长为4的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）过F作于H，如图：

同（1）可证，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
，
∴
；
∴y与x的函数表达式为；
（3）解：，
∵当时，y有最小值，
∴，
解得，
∴，
∴的图象顶点为，过点，，，，
画出图象如下：

【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及等边三角形面积，全等三角形判定与性质，二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是掌握等边三角形面积与边长的关系．
【变式4.3】（2023九年级·山西运城·期中）如图，在矩形中，cm，cm，动点P从点A开始沿折线以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边以1cm/s的速度运动，点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时也随之停止运动，设动点的运动时间为ts．
(1)求当t为何值时，四边形是矩形；
(2)直接写出当t为何值时，图中存在的矩形的个数最多，最多是几个；
(3)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式．
【答案】(1)4；
(2)t为，最多3个；
(3)．
【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，二次函数的解析式，梯形的面积，三角形的面积，解决本题的关键是利用分类讨论思想．
（1）根据题意分别表示出，利用建立方程即可求解；
（2）由（1）即可得出结论；
（3）分类讨论①当点P在上②当点P在上③当点P在上三种情况，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知：，，
在矩形中，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴当t为4时，四边形是矩形；
（2）解：由（1）可知，当t为4时，图中存在的矩形的个数最多，最多是个
（3）解：①当点P在上时，，
②当点P在上时，，
根据题意可知：
∴
③当点P在上时，点Q也在上，
∴不是四边形，不符合题意，
综上所述：S与t的函数关系式为：．
1．（2023·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一次函数交点问题，由图象得出一元二次方程有两个不相等的正实数根，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于两点，
由图可得：一元二次方程有两个不相等的正实数根，
函数的图象与轴的正半轴有两个交点，
故选：A．
2．（2023·甘肃·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可．
【详解】解：由图知，抛物线与轴交于点，
将，代入，则，
，
∴原方程为
解得：或；
故选：B．
3．（2023九年级·山东东营·期中）抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接交对称轴与点，根据，得到当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大，求出直线的解析式，与对称轴的交点即为点P的坐标．
【详解】解：∵，当时，，
∴，对称轴为直线；
连接交对称轴与点，

设直线的解析式为：，
把，代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴；
∵，
∴当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
4．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，表示出的坐标是解题的关键．过点作轴于点，构造等腰直角，设，根据等腰直角三角形的性质表示出点的坐标，代入抛物线解析式得到关于的方程，解方程即可求解．
【详解】解：二次函数中，令，则，
解得，，
，，
过点作轴于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
点在二次函数的图象上，
，
解得，（舍去），
，
故选：．
5．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在中，，，，点D为的中点，点P为上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，，令，则w的最小值为（ ）

A． B．7 C．5 D．
【答案】A
【分析】作于H，由直角三角形的性质得到，，得到，由勾股定理得到，因此，即可求出w的最小值．
【详解】解：作于H，
，，
∴，
，由勾股定理得： ，
，
，，
是中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故选：A．

【点睛】本题考查含角的直角三角形，勾股定理，二次函数的应用，关键是由直角三角形的性质得到．
6．（2023九年级·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为 ．
【答案】/4厘米
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意设，列出二次函数表达式并求出最大值时自变量取值即可．
【详解】解：设，
，，
，
，
，
当时，的面积最大，
即当的面积最大时，的值为，
故答案为：．
7．（2023九年级·福建龙岩·阶段练习）二次函数与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若三角形是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据题意得出，求出点A坐标，可得点P的纵坐标，代入二次函数中，解方程求出横坐标，即可得解．
【详解】解：如图，∵三角形是以为底的等腰三角形，
∴，
在中，令，则，
∴，又，
∴，
令，
解得：，，
∴点的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，等腰三角形的定义，解题的关键是画出函数图象，利用数形结合求出相应坐标．
8．（2023九年级·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点．点是轴正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点．若点的横坐标为1，则的长为 ．

【答案】3
【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程等知识点，解方程得，再利用对称的性质得到点A的坐标为，所以抛物线解析式为，再计算自变量为1的函数值得到，接着利用C点的纵坐标为2求出C点的横坐标，然后计算的长即可，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【详解】当时，，解得，，则，
∵点A关于点B的对称点为，点的横坐标为1，
∴点A的坐标为，
∴抛物线解析式为，
当时，，则，
当时，，解得，，则，
∴的长为，
故答案为：3．
9．（2023·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解．
【详解】解：令得，，
所以函数的图象与y轴的交点坐标为．
方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标．
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数的图象与直线有3个不同的交点．
如图所示，
当时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
10．（2023九年级·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键．
根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值，
∴当时，有最小值，且最小值为，
故答案为：，．
11．（2023·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为二次函数上两点，若，．
(1)求该二次函数的对称轴以及其图象与x轴的交点个数．
(2)若该二次函数图象恰好经过，，，其中一点，求a的最大值．
【答案】(1)对称轴为直线，其图象与x轴有1个交点
(2)a的最大值为1
【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出．
（1）根据，，先确定抛物线的对称轴为直线，然后得出，代入得出函数解析式为：，令，根据一元二次方程根的判别式，判断根的情况，即可得出答案；
（2）将四个点的坐标分别代入函数解析式中求出a的值，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴该二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
把代入得：，
令，
∵，
∴有一个解，
∴该二次函数图象与x轴有1个交点．
（2）解：把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∵，
∴a的最大值为1．
12．（2023九年级·湖北十堰·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点为A，与x轴的一个交点为B，直线与抛物线交于A，B两点．

(1)写出不等式中x的取值范围；
(2)若方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了二次函数，一次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，
（1）根据点A和点B的横坐标找到直线在抛物线上方的部分x的取值范围即可；
（2）根据题意得到抛物线与直线有两个交点，然后结合抛物线的最大值为3求解即可．
解题关键是掌握二次函数和一次函数的图象和性质，以及利用数形结合的方法求解．
【详解】（1）由图象可得，直线与抛物线交于A，B两点，
∵点A的横坐标为1，点B的横坐标为4，
∵直线在抛物线上方的部分x的取值范围是或，
∴不等式中x的取值范围为或；
（2）∵方程 有两个不相等的实数根，
∴抛物线与直线有两个交点，
∵抛物线的顶点坐标为
∴抛物线的最大值为3，
∴当，抛物线与直线有两个交点．
13．（2023·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）．
(1)的长为______cm（用含x的代数式表示）．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)或
(2)当时，；当时，
(3)或
【分析】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当分类是解题的关键．
（1）分两种情况：和，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：和，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（3）先画出是直角三角形的图形，求出此时的值，再结合的取值范围求解即可．
【详解】（1）当时， 点E运动的路程就是的长，即：=，
当时，作于点，如图所示，
在中，，，
在中，，。
故答案为：或；
（2）点F运动的路程就是线段的长，即，
当时，，即；
当时，作于点，如图所示，
∴，
∵，
∴，
综上可得，求y关于x的函数解析式为：；
（3）当时，是直角三角形，如图所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
当时，是直角三角形，如图所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
∴当为钝角三角形时，x的取值范围是：或．
14．（2023·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)已知点．
①若函数图象恰好经过点，求的值；
②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对称轴为
(2)①；②或
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算，图形交点的计算方法是解题的关键．
（1）根据点的平移即对称轴的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的对称轴，可得，结合二次函数过点，即可求解；②根据二次函数图象的性质可得顶点坐标为，分类讨论，当时，点在二次函数图象上；当时，点在二次函数图象上；图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：二次函数图象与轴交于点，则，
∵点向右平移个单位长度得到点，点 恰好也在该函数的图象上，
∴，
∴该函数图象的对称轴为，
∴对称轴为；
（2）解：①∵二次函数图象的对称轴为，
∴，
∵二次函数图象过点，
∴，
∴，
∴，
解得，；
②根据题意，，
∴二次函数解析式为，
∴当时，，即顶点坐标为；
当时，，即二次函数与轴的交点为；
当时，，
解得，；
∴当时，如图所示，

∴点在二次函数图象上，
∴，
解得，，
∴当时，二次函数与线段只有一个交点；
当，如图所示，

∴点在二次函数图象上，
∴，
解得，，
∴当时，二次函数与线段只有一个交点；
综上所示，的取值范围为：或．
15．（2023·山西晋中·三模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点．
(1)求拋物线的函数表达式及点的坐标．
(2)求的值和点的坐标．
(3)是第四象限内拋物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点．
①当是线段的三等分点时，求点的坐标；
②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点的坐标为
(2)，点的坐标为
(3)①点的坐标为或；②存在，的长为．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两个函数求交点，二次函数的性质，正方形的性质等，正确画出辅助线是解题的关键．
（1）待定系数法求解即可；
（2）联立解方程组即可；
（3）①根据坐标求出线段长，利用三等分即可求解；
②作辅助线见解析，根据正方形的性质，列式求解即可．
【详解】（1）将点，点代入，
得，解得，
抛物线的函数表达式为，
点的坐标为．
（2）将点代入，解得，
联立，解得（舍去），，
点的坐标为．
（3）①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
．
是线段的三等分点，
或．
当时，即，解得，（舍去），
点的坐标为．
当时，即，解得，（舍去），
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
②存在，的长为．
如图，过点作轴，过点作轴，令直线与轴的交点为，点关于直线对称的点为，
，，
，，
，
四边形是正方形．
，
．
由正方形的对称性可知，
．
把代入，得，
点在抛物线上，
当点与点重合时，即满足，
．中小学教育资源及组卷应用平台
第14讲 二次函数与其他知识的综合
·模块一 二次函数与一次函数的综合
·模块二 二次函数与一元二次方程的综合
·模块三 二次函数与几何图形的综合
·模块四 二次函数与动点问题
·模块五 课后作业
【例1.1】（2023·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【例1.2】（2023九年级·湖南岳阳·开学考试）如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是 ．（只填写序号）
【例1.3】（2023九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，过点的直线交抛物线于A，B两点，已知，，且，则下列说法正确的是（　　）
A．当且时，有最小值 B．当且时，有最大值
C．当且时，有最小值 D．当且时，有最大值
【变式1.1】（2023九年级·江苏·专题练习）已知二次函数的图象与直线的图象如图所示．

(1)判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；
(2)设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标；
(3)连接，，求的面积．
【变式1.2】（2023九年级·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点若，则的取值范围是 ．
【变式1.3】（2023九年级·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ．
【例2.1】（2023·山东临沂·二模）已知方程，当时方程有唯一解，则a的取值范围为 ．
【例2.2】（2023·浙江温州·三模）已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【例2.3】（2023·浙江杭州·三模）已知二次函数的图象经过点．
(1)若直线与抛物线相交所得的线段长为，求的值；
(2)若抛物线与轴交于，和，两点，且，直接写出的取值范围．
【变式2.1】（2023·山东济宁·三模）已知二次函数的图象经过点，，则关于的一元二次方程的解是 ．
【变式2.2】（2023·河北石家庄·二模）老师给出了二次函数的部分对应值如表：
… 0 1 3 5 …
… 7 0 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；
②抛物线的对称轴为直线；
③当时，；
④是方程的一个根；
⑤若，是抛物线上的两点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤
【变式2.3】（2023·江苏南京·二模）已知二次函数（a，m为常数，）．
(1)求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
(2)该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围．
【例3.1】（2023·山西吕梁·模拟预测）综合与探究
如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若，求m的值．
【例3.2】（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，点P、点Q均在此抛物线上，其横坐标分别为m、，抛物线上点P、Q之间的部分记为图像G（包括点P、点Q）．连接，以为对角线作矩形，且矩形的各边均与坐标轴平行或垂直．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当时，该二次函数的最大值是______，最小值是______；
(3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(4)当矩形的面积被坐标轴平分，且该抛物线的最低点是图像G的最低点时，求m的值．
【例3.3】（2023九年级·全国·专题练习）如图1，二次函数图象交坐标轴于点A，，点P为x轴上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点P作轴分别交线段，抛物线于点Q，C，连接．当时，求的面积；
(3)如图2，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
【变式3.1】（2023·山西吕梁·模拟预测）已知：如图，抛物线的表达式为，图象与轴交于点，将抛物线沿轴正方向平移后得到抛物线，抛物线交轴于点，交轴于点，（点在点的左侧），点的坐标为．
(1)直接写出抛物线的表达式及点的坐标．
(2)点为抛物线上一动点，横坐标为，过点作轴交于点，连接，的面积为，用含的式子表示的面积，并求出当时，点的坐标．
【变式3.2】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知，，以为边在左侧作等边，点D在第二象限．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将等边沿x轴方向平移，在抛物线的对称轴上存在一点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，请求出点E的坐标，并写出平移方式．
【变式3.3】（2023·山东日照·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴，
①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标．
【例4.1】（2023九年级·山东济宁·期中）如图，中，，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，P点沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
(1)当运动停止时，的值为 ；
(2)设的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示，并注明t的取值范围）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
【例4.2】（2023·福建泉州·二模）如图1，在平行四边形中，，，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度从点出发，沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随运动时间变化关系的图像，求值．

【例4.3】（2023·山东临沂·一模）小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标．
(1)请求出b和n的值；
(2)小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
(3)点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标．
【变式4.1】（2023九年级·北京·期末）如图，正方形的边长为，，分别是，边上一动点，点，同时从点出发，以每秒的速度分别向点，运动，当点与点重合时，运动停止，设运动时间为，运动过程中的面积为，求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【变式4.2】（2023·广东佛山·二模）综合应用
如图，等边三角形的边长为a，点D，E，F分别是边，，上的动点，且满足，连接，，．

(1)证明：；
(2)设的长为x，的面积为y，求出y与x的函数表达式（用含a的式子表示）；
(3)在（2）的条件下，当时，y有最小值，画出y与x的函数图象．
【变式4.3】（2023九年级·山西运城·期中）如图，在矩形中，cm，cm，动点P从点A开始沿折线以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿边以1cm/s的速度运动，点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时也随之停止运动，设动点的运动时间为ts．
(1)求当t为何值时，四边形是矩形；
(2)直接写出当t为何值时，图中存在的矩形的个数最多，最多是几个；
(3)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式．
1．（2023·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
2．（2023·甘肃·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）

A．， B．，
C．， D．，
3．（2023九年级·山东东营·期中）抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·四川自贡·模拟预测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
5．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，在中，，，，点D为的中点，点P为上一动点，点P从点B出发运动到点A处停止，设点P经过的路程为x，，令，则w的最小值为（ ）

A． B．7 C．5 D．
6．（2023九年级·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，，，点和点分别为边和边上的动点，且满足，则当的面积最大时，的值为 ．
7．（2023九年级·福建龙岩·阶段练习）二次函数与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若三角形是以为底的等腰三角形，则点的坐标为 ．
8．（2023九年级·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点．点是轴正半轴上一点，点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点．若点的横坐标为1，则的长为 ．

9．（2023·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
10．（2023九年级·云南昆明·期中）如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ．
11．（2023·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为二次函数上两点，若，．
(1)求该二次函数的对称轴以及其图象与x轴的交点个数．
(2)若该二次函数图象恰好经过，，，其中一点，求a的最大值．
12．（2023九年级·湖北十堰·期中）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点为A，与x轴的一个交点为B，直线与抛物线交于A，B两点．

(1)写出不等式中x的取值范围；
(2)若方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
13．（2023·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）．
(1)的长为______cm（用含x的代数式表示）．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．
14．（2023·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上．
(1)写出该函数图象的对称轴；
(2)已知点．
①若函数图象恰好经过点，求的值；
②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．
15．（2023·山西晋中·三模）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点．
(1)求拋物线的函数表达式及点的坐标．
(2)求的值和点的坐标．
(3)是第四象限内拋物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点．
①当是线段的三等分点时，求点的坐标；
②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．

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