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广东省珠海市香洲区珠海市文园中学2023-2024学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·香洲期中） 下列属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·香洲期中） 下面说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·香洲期中）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
4．（2024八下·香洲期中） 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024八下·香洲期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．（2024八下·香洲期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·香洲期中） 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，每个小正方形的边长均为，则中边上的高为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·香洲期中） 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·香洲期中） 将四个全等的直角三角形(直角边分别为、)按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是(　　)
A． B．
C． D．
10．（2024八下·香洲期中） 如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八下·香洲期中）若二次根式 有意义，则 的取值范围是　 　.
12．（2024八下·香洲期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
13．（2024八下·香洲期中） 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为　 　．
14．（2024八下·香洲期中） 若x＝－1，则＋x＝　 　．
15．（2024八下·香洲期中） 点分别是周长为20的的三边中点，的周长为　 　．
16．（2024八下·香洲期中） 如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，． 连接、、，与对角线相交于点，则线段的长是　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
17．（2024八下·香洲期中） 计算：
（1）
（2）
18．（2024八下·香洲期中） 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是平行四边形．
19．（2024八下·香洲期中） 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，，，，，又已知．求这块土地的面积．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（2024八下·香洲期中） 人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）设边上的高为，边上的高为，求的值．
21．（2024八下·香洲期中） 如图，在中，，．
（1）求作：以斜边为对角线且其中一个顶点在边上的菱形；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求（）中所求作菱形的边长．
22．（2024八下·香洲期中）将两张完全相同的矩形纸片，矩形纸片按如图方式放置，为重合的对角线，重叠部分为四边形．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若四边形的面积为，，求的长．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23．（2024八下·香洲期中） 如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．
（1）运动时间为　 　秒时，点与点相遇；
（2）求为何值时，是等腰三角形？
（3）用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；
（4）连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．
24．（2024八下·香洲期中） 如图，矩形中，对边平行且相等，四个内角均为直角．，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接．
（1）当时，的长为　 　．
（2）当点恰好在矩形的对角线上，求的长．
（3）当点E为的中点时，的长为　 　．
（4）当落在矩形的对称轴上时，的长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、则该二次根式不是最简二次根式；
B、则该二次根式不是最简二次根式；
C、该二次根式是最简二次根式；
D、则该二次根式不是最简二次根式，
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式： ①被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ②被开方数不含分母，据此逐项分析即可求解.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不是同类项，无法进行加减，则本项不符合题意，
B、则本项不符合题意，
C、则本项符合题意，
D、则本项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断A选项；
由二次根式的乘法法则“”可判断B选项；
根据二次根式的除法法则“”可判断C选项；
D选项的左边求的是4的算术平方根，根据一个正数的正的平方根就是其算术平方根，可判断此选项.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：选项A，22+32=13≠42；选项B，32+42=25≠62；选项C，52+122=169=132；选项D，42+62=52≠72.
【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，故答案为：C.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，则本项不符合题意；
B、∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为平行四边形，则本项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等，
∴四边形ABCD可能为平行四边形，也可能为等腰梯形，则本项符合题意；
D、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逐项判断即可求解.
5．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，AC=10，
则OB=AC=5，
故答案为：A．
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得OB=AC=5。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得到：进而得到：进而结合已知条件即可求出的度数.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：
∴
∴
∴中边上的高为：
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理分别计算出AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，最后根据等面积法建立方程可求出AB边上的高.
8．【答案】D
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：根据题意作图，
设折断处离地面的高度为尺，即AC=x尺， 则AB=10-x，
又BC=6，∠C=90°，
∵AC2+BC2=AB2，
∴
故答案为：D.
，【分析】根据题意画出示意图，最后根据勾股定理列出方程即可求解.
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1中阴影部分面积为：
图2中阴影部分面积为：
∴
故答案为：D.
【分析】用代数式分别表示图1和图2中的阴影部分面积，最后根据两个阴影部分面积相等即可得到等式.
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD交AB于点G，如图，
∵四边形ACBD为平行四边形，
∴
当时，CG的值最小，则CD值最小，
∵
∴
∵
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
∵
∴为等腰直角三角形，且EG为斜边，
∵
∴
∴的对角线的最小值是，
故答案为：A.
【分析】连接CD交AB于点G，根据平行四边形的性质和题目已给信息得到：当时，CG的值最小，则CD值最小，然后证明为等腰直角三角形，进而再证明为等腰直角三角形，且EG为斜边，进而即可求解.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据二次根式的意义，得2x－4≥0，
解得x≥2.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数即可列出不等式，求解即可。
12．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴菱形的周长为：
故答案为：24.
【分析】根据菱形的性质得到AB=BC，进而证明△ABC为等边三角形，得到AB=BC=AC=6，进而即可求出菱形的周长.
14．【答案】2-
【知识点】因式分解的应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：.
【分析】利用提公因式法对待求式因式分解变形，进而把代入计算即可求解.
15．【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点分别是的三边中点，
∴
∴的周长为：
故答案为：10.
【分析】根据三角形中位线定理得到：进而即可计算求解.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点F作FH∥BC交AC于H，如图，
∵
∴
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：.
【分析】过F作FH∥BC交AC于H，用勾股定理求出DF的长度，由正方形的性质得AD=CD=AB=3，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，然后利用"SAS"证明△ADF≌△CDE，得DF=DE，∠FDA=∠EDC，可得△DEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出EF的长度，用AAS证明△FGH≌△EGC，得到FG=EG，进而根据直角三角形斜边中线性质得出答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简各个二次根式，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）先将除法变成乘法，再根据二次根式乘法法则计算即可求解.
18．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，进而中点的定义得到OE=OG，OF=OH，最后根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证.
19．【答案】解：连接，
∵，
∴，
则，
∴是直角三角形，，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接BD，由勾股定理算出BD2的值，再由逆定理证明△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，最后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，计算几何图形的面积即可求解.
20．【答案】（1）解：，，，
∴
=
，
∴
；
∴△ABC的面积为
（2）解：由(1)知，的面积为；
，
，
，，
∴
．
【知识点】二次根式的应用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据题意求出p的值，进而将a、b、c和p的值代入三角形面积计算公式即可求解；
（2）由(1)知，的面积为，进而根据三角形面积计算公式求出，，进而计算即可.
21．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
即菱形的边长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线，交AB于点O，交BC于D，在AB的垂直平分线上截取OE=OD，连接BE、AE、AD，四边形ADBE为菱形；
（2）首先由含30°角直角三角形的性质得AB的长，再利用勾股定理求出BC的长度，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求解求出x的值即可.
22．【答案】（1）证明：四边形、是完全相同的矩形，
，，，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
≌，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：菱形的面积为，，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到：，，，，即可证明四边形是平行四边形，再利用"AAS"证明则，进而即可求证；
（2）根据题意求出DH的长度，然后利用勾股定理即可计算出AH的长度，最后根据线段间的数量关系即可求解.
23．【答案】（1）
（2）解：∵正方形
∴，
①当时，此时与重合，；
②当时，此时与重合，；
③当时，在的垂直平分线上，即为中点，此时；
综上所述，当或或2时，是等腰三角形
（3）解：①如图2中，当，点在上时，．
②如图3中，当，点在上时，．
③如图4中，当，点在上时，．
综上所述，．
（4）解：如图5中，
①当时，，此时，；
②当时，，此时，；
③当时，，此时，；
④当时，，此时与重合，；
综上所述，为或或或时，当以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）设t秒后，点P与点Q相遇，
∴，
∴
故答案为：；
【分析】（1）设t秒后，点P与点Q相遇，根据相遇问题中，相遇时间等于路程除以两者速度之和，据此列出方程，据此即可求解；
（2）根据正方形的性质得到：AB=AD=CD=BC=4，进而由题意可知需分三种情况讨论，①当AB=AQ时，此时D与Q重合，②当AB=BQ时，此时C与Q重合，③当BQ=AQ时，Q在AB的垂直平分线上，即Q为CD中点，分别根据线段间的数量关系即可求出t的值，进而即可求解；
（3）由题意可知需分三种情况讨论，①当，点Q在AD上时，②当，点Q在CD上时，③当，点Q在BC上时，分别根据三角形面积公式即可求解；
（4）由题意可知需分四种情况讨论，①当DQ1=BP时，△CDQ1≌△ABP，②当DQ2=BP时，△ADQ2≌△ABP，③当CQ3=BP时，△BCQ3≌△ABP，④当BQ4=BP时，△ABQ4≌△ABP，分别根据全等三角形的性质即可列出关于t的方程，进而即可求解.
24．【答案】（1）4
（2）解：点恰好在矩形的对角线上，如图：
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，，
，，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
的长为3．
在中，
（3）.
（4）.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴
由折叠得：
∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：4；
（3）解：过点E作于F，过点B作BG⊥AE于G，如图，
∵E为BC中点，
∴
由折叠得：
∴
∴
∵即：
∴
∵
∴
∴
∴∴
在中，由勾股定理得：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：；
（4）解：①分别取AB、DC的中点M、N，作直线MN，当B'落在直线MN上时，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴
∴M、N分别为AD、BC的中点，
∴
∴四边形ABNM为矩形，
∴
∴直线MN为矩形ABCD的对称轴，
由折叠得：
在Rt△AB'M中，
∴
设则
在Rt△EB'N中，
∴
∴
∴
②分别取AB、DC的中点P、Q，作直线PQ，当B'落在直线MN上时，如图，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，过点B'作GH⊥BC于H，交AD于G，
则
在Rt△AB'G中，
∴
设则
在Rt△EB'H中，
∴
∴
∴
综上所述， 当落在矩形的对称轴上时，的长为，
故答案为：.
【分析】（1）由矩形性质得∠ABE=90°，由折叠的性质得进而根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到∠ECB'=∠EB'C，由等角对等边得B'E=EC，进而即可求解；
（2）在中，利用勾股定理求出AC的长度，然后根据折叠的性质得到：，，，即设，则，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，据此求出x的值，进而得到BE的长度，最后在中利用勾股定理即可求出AE的长度；
（3）过点E作于F，过点B作BG⊥AE于G，即可利用"AAS"证明，得到：然后利用勾股定理和面积法可得到：最后根据等腰三角形的性质即可求解；
（4）由题意可知需分两种情况讨论，①当B'恰好在AD的垂直平分线上时，②当B'恰好在AB的垂直平分线上时，分别利用勾股定理和折叠的性质即可求解.
1 / 1广东省珠海市香洲区珠海市文园中学2023-2024学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024八下·香洲期中） 下列属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、则该二次根式不是最简二次根式；
B、则该二次根式不是最简二次根式；
C、该二次根式是最简二次根式；
D、则该二次根式不是最简二次根式，
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式： ①被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ②被开方数不含分母，据此逐项分析即可求解.
2．（2024八下·香洲期中） 下面说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、不是同类项，无法进行加减，则本项不符合题意，
B、则本项不符合题意，
C、则本项符合题意，
D、则本项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断A选项；
由二次根式的乘法法则“”可判断B选项；
根据二次根式的除法法则“”可判断C选项；
D选项的左边求的是4的算术平方根，根据一个正数的正的平方根就是其算术平方根，可判断此选项.
3．（2024八下·香洲期中）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：选项A，22+32=13≠42；选项B，32+42=25≠62；选项C，52+122=169=132；选项D，42+62=52≠72.
【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有选项C能够成直角三角形，故答案为：C.
4．（2024八下·香洲期中） 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，则本项不符合题意；
B、∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为平行四边形，则本项不符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等，
∴四边形ABCD可能为平行四边形，也可能为等腰梯形，则本项符合题意；
D、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，则本项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，逐项判断即可求解.
5．（2024八下·香洲期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，AC=10，
则OB=AC=5，
故答案为：A．
【分析】利用直角三角形斜边上中线的性质可得OB=AC=5。
6．（2024八下·香洲期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得到：进而得到：进而结合已知条件即可求出的度数.
7．（2024八下·香洲期中） 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，每个小正方形的边长均为，则中边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：
∴
∴
∴中边上的高为：
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理分别计算出AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，最后根据等面积法建立方程可求出AB边上的高.
8．（2024八下·香洲期中） 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】风吹树折模型
【解析】【解答】解：根据题意作图，
设折断处离地面的高度为尺，即AC=x尺， 则AB=10-x，
又BC=6，∠C=90°，
∵AC2+BC2=AB2，
∴
故答案为：D.
，【分析】根据题意画出示意图，最后根据勾股定理列出方程即可求解.
9．（2024八下·香洲期中） 将四个全等的直角三角形(直角边分别为、)按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图1中阴影部分面积为：
图2中阴影部分面积为：
∴
故答案为：D.
【分析】用代数式分别表示图1和图2中的阴影部分面积，最后根据两个阴影部分面积相等即可得到等式.
10．（2024八下·香洲期中） 如图，已知点，，，，为直线上一动点，则的对角线的最小值是（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD交AB于点G，如图，
∵四边形ACBD为平行四边形，
∴
当时，CG的值最小，则CD值最小，
∵
∴
∵
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
∵
∴为等腰直角三角形，且EG为斜边，
∵
∴
∴的对角线的最小值是，
故答案为：A.
【分析】连接CD交AB于点G，根据平行四边形的性质和题目已给信息得到：当时，CG的值最小，则CD值最小，然后证明为等腰直角三角形，进而再证明为等腰直角三角形，且EG为斜边，进而即可求解.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八下·香洲期中）若二次根式 有意义，则 的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据二次根式的意义，得2x－4≥0，
解得x≥2.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数即可列出不等式，求解即可。
12．（2024八下·香洲期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
13．（2024八下·香洲期中） 如图，在菱形中，，连接，若，则菱形的周长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴菱形的周长为：
故答案为：24.
【分析】根据菱形的性质得到AB=BC，进而证明△ABC为等边三角形，得到AB=BC=AC=6，进而即可求出菱形的周长.
14．（2024八下·香洲期中） 若x＝－1，则＋x＝　 　．
【答案】2-
【知识点】因式分解的应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：.
【分析】利用提公因式法对待求式因式分解变形，进而把代入计算即可求解.
15．（2024八下·香洲期中） 点分别是周长为20的的三边中点，的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点分别是的三边中点，
∴
∴的周长为：
故答案为：10.
【分析】根据三角形中位线定理得到：进而即可计算求解.
16．（2024八下·香洲期中） 如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，． 连接、、，与对角线相交于点，则线段的长是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：过点F作FH∥BC交AC于H，如图，
∵
∴
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：.
【分析】过F作FH∥BC交AC于H，用勾股定理求出DF的长度，由正方形的性质得AD=CD=AB=3，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，然后利用"SAS"证明△ADF≌△CDE，得DF=DE，∠FDA=∠EDC，可得△DEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出EF的长度，用AAS证明△FGH≌△EGC，得到FG=EG，进而根据直角三角形斜边中线性质得出答案.
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
17．（2024八下·香洲期中） 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简各个二次根式，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）先将除法变成乘法，再根据二次根式乘法法则计算即可求解.
18．（2024八下·香洲期中） 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，进而中点的定义得到OE=OG，OF=OH，最后根据平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证.
19．（2024八下·香洲期中） 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，，，，，又已知．求这块土地的面积．
【答案】解：连接，
∵，
∴，
则，
∴是直角三角形，，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接BD，由勾股定理算出BD2的值，再由逆定理证明△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，最后根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，计算几何图形的面积即可求解.
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（2024八下·香洲期中） 人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）设边上的高为，边上的高为，求的值．
【答案】（1）解：，，，
∴
=
，
∴
；
∴△ABC的面积为
（2）解：由(1)知，的面积为；
，
，
，，
∴
．
【知识点】二次根式的应用；三角形的面积
【解析】【分析】（1）根据题意求出p的值，进而将a、b、c和p的值代入三角形面积计算公式即可求解；
（2）由(1)知，的面积为，进而根据三角形面积计算公式求出，，进而计算即可.
21．（2024八下·香洲期中） 如图，在中，，．
（1）求作：以斜边为对角线且其中一个顶点在边上的菱形；（尺规作图，保留作图痕迹）
（2）求（）中所求作菱形的边长．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
即菱形的边长为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线，交AB于点O，交BC于D，在AB的垂直平分线上截取OE=OD，连接BE、AE、AD，四边形ADBE为菱形；
（2）首先由含30°角直角三角形的性质得AB的长，再利用勾股定理求出BC的长度，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求解求出x的值即可.
22．（2024八下·香洲期中）将两张完全相同的矩形纸片，矩形纸片按如图方式放置，为重合的对角线，重叠部分为四边形．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若四边形的面积为，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形、是完全相同的矩形，
，，，，
四边形是平行四边形，
在和中，
，
≌，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：菱形的面积为，，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到：，，，，即可证明四边形是平行四边形，再利用"AAS"证明则，进而即可求证；
（2）根据题意求出DH的长度，然后利用勾股定理即可计算出AH的长度，最后根据线段间的数量关系即可求解.
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
23．（2024八下·香洲期中） 如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．
（1）运动时间为　 　秒时，点与点相遇；
（2）求为何值时，是等腰三角形？
（3）用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；
（4）连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．
【答案】（1）
（2）解：∵正方形
∴，
①当时，此时与重合，；
②当时，此时与重合，；
③当时，在的垂直平分线上，即为中点，此时；
综上所述，当或或2时，是等腰三角形
（3）解：①如图2中，当，点在上时，．
②如图3中，当，点在上时，．
③如图4中，当，点在上时，．
综上所述，．
（4）解：如图5中，
①当时，，此时，；
②当时，，此时，；
③当时，，此时，；
④当时，，此时与重合，；
综上所述，为或或或时，当以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）设t秒后，点P与点Q相遇，
∴，
∴
故答案为：；
【分析】（1）设t秒后，点P与点Q相遇，根据相遇问题中，相遇时间等于路程除以两者速度之和，据此列出方程，据此即可求解；
（2）根据正方形的性质得到：AB=AD=CD=BC=4，进而由题意可知需分三种情况讨论，①当AB=AQ时，此时D与Q重合，②当AB=BQ时，此时C与Q重合，③当BQ=AQ时，Q在AB的垂直平分线上，即Q为CD中点，分别根据线段间的数量关系即可求出t的值，进而即可求解；
（3）由题意可知需分三种情况讨论，①当，点Q在AD上时，②当，点Q在CD上时，③当，点Q在BC上时，分别根据三角形面积公式即可求解；
（4）由题意可知需分四种情况讨论，①当DQ1=BP时，△CDQ1≌△ABP，②当DQ2=BP时，△ADQ2≌△ABP，③当CQ3=BP时，△BCQ3≌△ABP，④当BQ4=BP时，△ABQ4≌△ABP，分别根据全等三角形的性质即可列出关于t的方程，进而即可求解.
24．（2024八下·香洲期中） 如图，矩形中，对边平行且相等，四个内角均为直角．，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接．
（1）当时，的长为　 　．
（2）当点恰好在矩形的对角线上，求的长．
（3）当点E为的中点时，的长为　 　．
（4）当落在矩形的对称轴上时，的长为　 　．
【答案】（1）4
（2）解：点恰好在矩形的对角线上，如图：
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，，
，，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
的长为3．
在中，
（3）.
（4）.
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴
由折叠得：
∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：4；
（3）解：过点E作于F，过点B作BG⊥AE于G，如图，
∵E为BC中点，
∴
由折叠得：
∴
∴
∵即：
∴
∵
∴
∴
∴∴
在中，由勾股定理得：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：；
（4）解：①分别取AB、DC的中点M、N，作直线MN，当B'落在直线MN上时，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴
∴M、N分别为AD、BC的中点，
∴
∴四边形ABNM为矩形，
∴
∴直线MN为矩形ABCD的对称轴，
由折叠得：
在Rt△AB'M中，
∴
设则
在Rt△EB'N中，
∴
∴
∴
②分别取AB、DC的中点P、Q，作直线PQ，当B'落在直线MN上时，如图，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，过点B'作GH⊥BC于H，交AD于G，
则
在Rt△AB'G中，
∴
设则
在Rt△EB'H中，
∴
∴
∴
综上所述， 当落在矩形的对称轴上时，的长为，
故答案为：.
【分析】（1）由矩形性质得∠ABE=90°，由折叠的性质得进而根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到∠ECB'=∠EB'C，由等角对等边得B'E=EC，进而即可求解；
（2）在中，利用勾股定理求出AC的长度，然后根据折叠的性质得到：，，，即设，则，在中，利用勾股定理列出关于x的方程，据此求出x的值，进而得到BE的长度，最后在中利用勾股定理即可求出AE的长度；
（3）过点E作于F，过点B作BG⊥AE于G，即可利用"AAS"证明，得到：然后利用勾股定理和面积法可得到：最后根据等腰三角形的性质即可求解；
（4）由题意可知需分两种情况讨论，①当B'恰好在AD的垂直平分线上时，②当B'恰好在AB的垂直平分线上时，分别利用勾股定理和折叠的性质即可求解.
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