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专题06二次函数的简单应用
二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.
高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.
《初中课程要求》 要求会通过图象发现些信息，但只停留在会识图的基础之上，而不是应用图象解决问题
《高中课程要求》 会灵活应用各种函数的图象，如利用函数图象求值域、解方程、求根的个数、解不等式等
高中必备知识点1：平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
高中必备知识点2：对称变换
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
高中必备知识点3：分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
高中必备知识点1：平移变换
【典型例题】
如图，抛物线经过两点，顶点为D．
求a和b的值；
将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．
求平移后所得图象的函数解析式；
若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．
【变式训练】
已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？
【能力提升】
已知抛物线y＝x(x﹣2)+2．
(1)用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a(x+m)2+k的形式，并写出它的项点坐标；
(2)将抛物线y＝x(x﹣2)+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．
高中必备知识点2：对称变换
【典型例题】
如图，抛物线y=ax -2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于(0,).
(1)求函数的解析式;
(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.
【能力提升】
已知抛物线经过点(1，-2)．
(1)求的值；
(2)若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
高中必备知识点3：分段函数
【典型例题】
函数，则的值是___．
【变式训练】
已知函数，若，则_________．
【能力提升】
函数__________．
1．如图，菱形的对角线与相交于点，，，点在上运动．过点作交于，交于点，将沿翻折得到，若，与重叠部分的面积为，下列图象能正确反映与的函数关系的是( )
A． B．
C． D．
2．如图，在中，是边上的中线，将沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移运动的时间为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象能反映与之间函数关系的是( )
A． B．
C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为(　　)

A． B．
C． D．
4．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是( )
A． B． C． D．
5．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为(　　)m．
A．3 B．6 C．8 D．9
7．已知二次函数的图象与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，顶点C，点C关于轴的对称点为D点，若四边形为正方形，则的值为( )
A． B． C． D．
8．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为(　　)
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
9．已知中，，正方形中，和在同一直线上，将向右平移，则和正方形重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是( )
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动(不与点A，B重合)，，点F在射线上，且，与相交于点G，连接、、、则下列结论：
①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确结论的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
11．飞机着陆后滑行的距离(单位：)关于滑行的时间(单位：)的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．
12．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为__________．
13．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是_____．
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．
15．如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点О是坐标原点，点A的坐标是，点C在x轴上，点在边BC上，将沿AD折叠，得到，若抛物线(且a为常数)的顶点落在的内部(不含边界)，则a的取值范围是__________．
16．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2(x＞0)上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有____个．
17．某游乐园有一圆形喷水池(如图)，中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B(其余条件均不变)，若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．
18．如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A(-2，0)点B(1，0)，抛物线y=x2-4x+m与正方形有两个交点时，则m的取值范围是_______．
19．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度(单位：m)与水平距离(单位：m)之间的关系是．则他将铅球推出的距离是__________m．
20．竖直上抛物体时，物休离地而的高度与运运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时高地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m．
21．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位：)与飞行时间(单位：)之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，动点和点在轴上方抛物线上，点在点的右侧，轴．分别过点，点作轴于点，轴于点．
(1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点的坐标；
(2)设点的横坐标为，四边形的周长为，求的最大值；
(3)在(2)的条件下，连接，，、点在轴下方抛物线上，点到的距离记为，点到的距离记为，当，
①直接写出点的坐标；
②将沿射线平移，平移后的三角形记为，在平移过程中，当三边所在直线最后一次经过点时，直接写出平移的距离．
23．天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y件，销售单价为x元/件．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)设商场每天的销售利润为w(元)，若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．
24．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接．
(1)求这个抛物线的表达式．
(2)点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．
(3)①点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点的坐标；
②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当时，求出满足条件的所有点的坐标．
25．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量(万件)与售价(元/件)的函数关系式为
(1)当售价为60元/件时，年销售量为________万件；
(2)当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？
(3)若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出的取值范围．
26．某商场销售每件进货价为40元的一种商品，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量(件)与每件的售价(元)满足一次函数关系．
(1)商场每月想从这种商品销售中获利36000元，该如何给这种商品定价？
(2)市场监管局规定，该商品的每件售价不得高于60元，请问售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
27．某书店销售一本畅销的小说，每本进价为20元．根据以往经验，当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．
(1)请求出书店销售该小说每天的销售量y(本)与销售单价x元)之间的函数关系式；
(2)书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说售价为多少元？最大利润是多少？
28．某蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，第天上市的该种蔬菜每千克的市场售价为元，是关于的一次函数，其中部分对应数据如下表；第天上市的该种蔬菜每千克的种植成本为元，与满足关系．
1 2 3 …
5.04 4.98 4.92 …
(1)求市场售价关于的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)若市场售价减去种植成本为利润，自5月1日起的50天内，第几天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？
29．某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图(1)所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图(2)所示(其中图(1)的图象是直线，图(2)的图象是抛物线)．
(1)求每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式；
(2)判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；
(3)求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？
30．今年甲、乙两个果园的红心猕猴桃喜获丰收，已知甲果园的总产量为27吨，乙果园的总产量13吨，某果业公司租用、两种型号的保鲜货车去果园运输猕猴桃，甲果园需要型保鲜货车满载猕猴桃运输6趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输5趟才能刚好运输完：乙果园需型保鲜货车满载猕猴桃运输2趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输3趟刚好运输完．
(1)求、两种保鲜货车满载猕猴桃运输一趟分别是多少吨？
(2)果业公司收购该批猕猴桃的单价为0.8万元/吨，目前公司可以0.9万元/吨的价格售出，如果保鲜冷藏储存起来，旺市再销售以便获取最大利润，由于失水和腐烂，水果重量每天减少0.5吨，且每天需支付各种费用0.08万元/吨，而每天的价格会持续上涨0.1万元/吨、如果公司计划把该批猕猴桃最多保鲜冷藏储存20天，那么储存多少天后出售这批猕猴桃所获得的利润最大？最大利润是多少万元？
专题06二次函数的简单应用
二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.
高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.
《初中课程要求》 要求会通过图象发现些信息，但只停留在会识图的基础之上，而不是应用图象解决问题
《高中课程要求》 会灵活应用各种函数的图象，如利用函数图象求值域、解方程、求根的个数、解不等式等
高中必备知识点1：平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．
高中必备知识点2：对称变换
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．
高中必备知识点3：分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
高中必备知识点1：平移变换
【典型例题】
如图，抛物线经过两点，顶点为D．
求a和b的值；
将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．
求平移后所得图象的函数解析式；
若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．
答案:将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
解析：
代入，
得：，解得：．
，
抛物线顶点D的坐标为．
将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上，
平移后的抛物线的顶点坐标为，
平移后的抛物线为，即．
若将抛物线向左平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，
时，新抛物线对应的函数有最小值2，
新抛物线必过点，
，
解得：舍去；
若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，
时，新抛物线对应的函数有最小值2，
新抛物线必过点．
，
解得：舍去．
将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．
【变式训练】
已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？
答案:向上平移3个单位．
解析：
由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为，
则，
代入抛物线方程得：，
舍去．
所以向上平移3个单位．
【能力提升】
已知抛物线y＝x(x﹣2)+2．
(1)用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a(x+m)2+k的形式，并写出它的项点坐标；
(2)将抛物线y＝x(x﹣2)+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．
答案:(1)y＝(x﹣1)2+1，它的顶点坐标为：(1，1)；(2)图象向下平移1个单位得到：y＝(x﹣1)2．
解析：
(1)y=x(x﹣2)+2=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1，它的顶点坐标为：(1，1)；
(2)∵将抛物线y=x(x﹣2)+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：y=(x﹣1)2．
高中必备知识点2：对称变换
【典型例题】
如图，抛物线y=ax -2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
答案:(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．
解析：
(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a=1，c=﹣8．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴D(1，﹣9)．
(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，
∴B(4，0)．
∵y=(x﹣1)2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E(1，0)．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．
∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．
∵点P在第四象限，
∴x=．
∴y=．
∴P()．
【变式训练】
已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于(0,).
(1)求函数的解析式;
(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.
答案:(1)y=(x-3)2-2.(2)m>n.
解析：
(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,
根据题意得9a-2=
解得a=，
所以函数解析式是y=(x-3)2-2.
(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,
又因为二次函数的对称轴是直线x=3.
所以当x>3时,y随x增大而增大,
因为p>q>5>3,
所以m>n.
【能力提升】
已知抛物线经过点(1，-2)．
(1)求的值；
(2)若点A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
答案:(1)a=-1；(2)y1＜y2．
解析：
(1)、∵抛物线经过点(1，-2)， ∴，解得a=-1；
(2)、∵函数的对称轴为x=3，
∴ A(m，y1)、B(n，y2)(m＜n＜3)在对称轴左侧，
又∵抛物线开口向下，∴ 对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵ m＜n＜3，∴ y1＜y2．
高中必备知识点3：分段函数
【典型例题】
函数，则的值是___．
答案:0
解析：
∵函数f(x)，
∴f(1)＝1﹣1＝0，
f(f(1))＝f(0)＝0．
故答案为：0．
【变式训练】
已知函数，若，则_________．
答案:
解析：
，故，填．
【能力提升】
函数__________．
答案:1.
解析：
由题意得．
故答案为：1．
1．如图，菱形的对角线与相交于点，，，点在上运动．过点作交于，交于点，将沿翻折得到，若，与重叠部分的面积为，下列图象能正确反映与的函数关系的是( )
A． B．
C． D．
答案:A
解：分情况讨论：
①当翻折后点G在点O的左侧时(如图①)，即2≤x≤4，
∵EF∥AC，
∴∠BEF=∠BAC，∠BFE=∠BCA，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即BN=EF=4-x，
由四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又∵EF∥AC，
∴EF⊥BD，
翻折后，重叠部分；
②当翻折后点G在点O的右侧时(如图②)，即0≤x≤2，
翻折后，重叠部分y=S梯形HIEF，
∵ON=x，BN=4-x，GN=BN=4-x，
∴OG=4-2x，
又∵EF∥AC，
同理可得△GHI∽△GEF，
∴HI=OG=4-2x，
∴，
综上所述，，
故选：A．
2．如图，在中，是边上的中线，将沿射线方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为，设与重叠部分的面积为，平移运动的时间为，当点与点重合时，停止运动，则下列图象能反映与之间函数关系的是( )
A． B．
C． D．
答案:A
当时 ，平移了个单位长度，即
∵
∴，
∴，
∴
∵中，是边上的中线
∴
∴与是等腰三角形
∵沿射线方向平移后的三角形记为
∴
∵
∴是的中位线
∴
∴
即时，，故可得C、D错误，故舍去
当，如图：
∵
∴
∴
∴
可见当时，，函数图像为开口向上的抛物线，则A符合题意，B为一次函数不符合题意．
故选A．
3．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为(　　)

A． B．
C． D．
答案:A
解：如图，连接，
设，，
则，
，
；
为直角三角形，
，
即，
解得，
根据函数关系式可看出中的函数图象与之对应．
故选：A．
4．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是( )
A． B． C． D．
答案:A
解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=+3
将(0，0)代入解析式得a＝，
∴抛物线解析式为y=，
当x＝10时，y＝，
∵＜2.44，满足题意，
故选：A．
5．如图，矩形中，，，抛物线的顶点在矩形内部或其边上，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案:D
解：抛物线的顶点坐标M为(m，-m＋1)，
∵，，
∴，
∴-1≤m≤0，
故选：D．
6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为(　　)m．
A．3 B．6 C．8 D．9
答案:B
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0，2)，
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6(m)．
故选：B．
7．已知二次函数的图象与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，顶点C，点C关于轴的对称点为D点，若四边形为正方形，则的值为( )
A． B． C． D．
答案:C
解：二次函数的图象与轴交于A、B两点，
，，
抛物线的对称轴为直线，
设顶点C的坐标为，
四边形为正方形，
，
或，
把C点的坐标代入得：或，
解得：，
故选：C．
8．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为(　　)
A．米 B．8米 C．10米 D．2米
答案:B
解：当y＝0时，即＝0，
解得：x1＝﹣2(舍去)，x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：B．
9．已知中，，正方形中，和在同一直线上，将向右平移，则和正方形重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是( )
A． B． C． D．
答案:C
依题意可得当0≤x≤2时，和正方形重叠部分为等腰直角△EBC
BE=x
∴y=
当2＜x＜4时，和正方形重叠部分为五边形CMEFN，如图所示
由题意可得S△CHM=，S△CGN=，
∴S五边形CMEFN=2×2--=
当4≤x≤6时，AF=6-x，
∴y=
∴y=
故函数图象如下图所示：
故选C．
10．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动(不与点A，B重合)，，点F在射线上，且，与相交于点G，连接、、、则下列结论：
①；②的周长为；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确结论的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案:B
解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC(SAS)，
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，
∵∠ECH＋∠CEB＝90°，
∴∠AEF＋∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH(SAS)，
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH(SAS)，
∴EG＝GH，
∵GH＝DG＋DH，DH＝BE，
∴EG＝BE＋DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝AE＋AH＝AD＋DH＋AE＝AE＋EB＋AD＝AB＋AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a x，AF＝x，
∴S△AEF＝ (a x) x＝ x2＋ax＝ (x2 ax＋a2 a2)＝ (x a)2＋a2，
∵ ＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x＋a，
在Rt△AEG中，则有(x＋a)2＝(a x)2＋(a)2，
解得：x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
∴①④⑤正确，正确结论的个数是3个，
故选B．
11．飞机着陆后滑行的距离(单位：)关于滑行的时间(单位：)的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．
答案:600
解：由函数解析式是可化为，
∴当t=20时，滑行距离s最大，最大距离为600，
∴飞机着陆后滑行600米才能停下来；
故答案为600．
12．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围城一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a=30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为__________．
答案:1050平方米
解：设BC=x米，则
S=(100-x)
=(x-50)2+1250(0＜x≤30)，
∵，对称轴为x=50，
∴x=a=30时，S的最大值是1050．
答：当a=30米时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1050平方米．
故答案为：1050平方米．
13．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C(0，3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是_____．
答案:
解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A(﹣4，0)，B(4，0)，
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最小时，OQ最小，
连接BC交圆于P时，PB最小，
∵BC＝＝5，
∴BP的最小值＝5﹣2＝3，
∴线段OQ的最小值为．
故答案为：．
14．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于____________．
答案:
解：如图，△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△BDC≌△AEC，
∴∠B=∠CAE，
∵BC=AC=，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=∠CAE=∠BAC=45°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，
设BD=AE=x，则AD=(2-x)，
∴，
∵，函数开口向下，函数有最大值，
当x=1时，．
故答案为：．
15．如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点О是坐标原点，点A的坐标是，点C在x轴上，点在边BC上，将沿AD折叠，得到，若抛物线(且a为常数)的顶点落在的内部(不含边界)，则a的取值范围是__________．
答案:且
折叠可知：BD=ED，AB=AE
∵在矩形OABC中，A(0， 6).D(10， 1)
∴AE=AB=10，BD=ED=5，∠B=∠E=90°
过点E作EF垂直于y轴于G，交BC的延长线于点F
∵∠AEG+∠DEF=90°，∠AEG+∠GAE=90°
∴ ∠GAE=∠DEF，又∠AGE=∠F=90°
∴ △AGE ∽△EFD
∴
设GE=x，则EF=10-x，DF=x
由勾股定理得：DE2=DF2+EF2
x=10(舍去)或x=6
∴E(6，-2)
∵抛物线的对称轴是x= =6
设直线AD的解析式为y=kx+b.
将A(0， 6)、D(10， 1)代入得：
解得
∴直线AD的解析式为：y= x+6
将x=6代入 得：y=3
∴直线x=6与直线AD的交点坐标为(6，3)
由
因为抛物线顶点在△AED中，
所以-2<-2a+1<3
解得： ，且a≠0
16．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2(x＞0)上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有____个．
答案:4
解：①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，设A坐标为(a，b)，
在直角三角形OAH中，tan∠AOH=tan30°== ，
设直线OA的方程为y=kx，把A的坐标代入得k==，
∴直线OA的解析式： y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ， ；
∴A(，)；
②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y= x，联立抛物线的解析式，得： ，
解得，；
∴P(，3)，即可得A(3，)；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，
解得 ，；
∴P(，3)，
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
∴A(2，2)；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，得：，
解得 ， ；
∴P(， )，
∴QP=，OP=，
∴OH=QP=，AH=OP=，
∴A(，)．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：(，)，(3，)，(，2)，(，)．
故答案为：4．
17．某游乐园有一圆形喷水池(如图)，中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B(其余条件均不变)，若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了_____米．
答案:
解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．
根据题意可知水柱可以看成抛物线(只考虑第一象限)．
由题意可知C点坐标为(-4，0)．
∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，
故该抛物线的对称轴为．
∴设该抛物线解析式为，
又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，
∴该抛物线又经过点(9，0)．
∴，即，
∴该抛物线解析式为．
当x=0时，
故点A坐标为(0，-27a)．
由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．
∴平移后的抛物线为．
∴点D坐标为(3，)．
设经过点A、C的直线解析式为，
∴，解得．
即经过点A、C的直线解析式为．
又∵该直线经过点D．
∴．
解得：．
故平移后的抛物线解析式为，
整理得：．
当时，即，
解得：(舍)．
∴移动后最远落点到中心M的距离为米，
∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了(米)．
故答案为：．
18．如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A(-2，0)点B(1，0)，抛物线y=x2-4x+m与正方形有两个交点时，则m的取值范围是_______．
答案:
∵A(-2，0)，B(1，0)，四边形ABCD是正方形．
∴AB=1-(-2)=3．
∴C点坐标为(1，3)．
根据题意可知抛物线在点A和点C之间时符合题意．
当抛物线经过点A时，即将A点坐标代入中，得：
，解得：．
当抛物线经过点C时，即将C点坐标代入中，得：
，解得：．
综上，．
故答案为：．
19．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度(单位：m)与水平距离(单位：m)之间的关系是．则他将铅球推出的距离是__________m．
答案:10
解：当y=0时，
解得，x1=10，x2=-2(负值舍去)，
∴该男生把铅球推出的水平距离是10m．
20．竖直上抛物体时，物休离地而的高度与运运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时高地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为___m．
答案:21.5
解：由题意得：
h＝﹣5t2+20t+1.5
＝﹣5(t﹣2)2+21.5，
∵a＝﹣5＜0，
∴当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5．
故答案为：21.5．
21．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位：)与飞行时间(单位：)之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
答案:(1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是；(2)在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是
解：(1)∵，
∴令，得，
解得，，
∵，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是．
(2)
，
∴当时，取得最大值，最大值为20.
∴在飞行过程中，在时小球飞行高度最大，最大高度是．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，动点和点在轴上方抛物线上，点在点的右侧，轴．分别过点，点作轴于点，轴于点．
(1)求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点的坐标；
(2)设点的横坐标为，四边形的周长为，求的最大值；
(3)在(2)的条件下，连接，，、点在轴下方抛物线上，点到的距离记为，点到的距离记为，当，
①直接写出点的坐标；
②将沿射线平移，平移后的三角形记为，在平移过程中，当三边所在直线最后一次经过点时，直接写出平移的距离．
答案:(1)抛物线的表达式为，顶点的坐标为；(2)10；(3)①；②
解：(1)将点，代人，得
解得
∴抛物线的表达式为，
∴顶点的坐标为；
(2)∵轴，轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
设点，
∴点，
∴，，
∴，
∵，∴的最大值是10；
(3)①如图，连接PF，CP，OP，PE，过点P作PN⊥EF交EF的延长线于N，过点C作CM⊥PN于M，连接BM．设P(x0，y0)．
由(2)可知，a=2，
∴E(2，3)，F(0，3)，C(1，4)，
∴CF=，OE=，
∵S△PCF=S△PCM-S△PMB-S△CMB=(x0-y0+3)
S△PCF=，
∴h1=，
同法h2=，
∵，且y0＝+2x0+3，
如图，x0＞3或x0＜-1，y0＜0，
解得：，
∴P(-4，-21)．
②令x=-4代入lCF：y=x+3中，y=-1，
∴(-4，-21)不过点P，
若直线CE平移后过点P，设平移后直线解析式为：y=-x+b，
代入(-4，-21)，得b=-25，
此时平移距离为[5 ( 25)]＝15，
若直线EF平移后过点P，设F'(f，-21)，
代入lCF：y=x+3中，得f=-24，
∴平移距离为，
∴直线最后一次经过点P时，平移的距离为24．
23．天府新区某商场开业后要经营一种新上市的文具进价为10元/件．试营销阶段发现：当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设该商场销售这种文具每天的销售量为y件，销售单价为x元/件．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)设商场每天的销售利润为w(元)，若每天销售量不少于150件，求商场每天的最大利润．
答案:(1)；(2)1950元
解：(1)当销售单价是13元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，
销售量件，销售单价元件之间的关系为：；
(2)每天销售量不少于150件，
，即，解得，
商场每天的销售利润，
关于的抛物线对称轴为，
而，开口向下，当时，图象在对称轴左侧，随的增大而增大，
时，最大，且最大值为1950，
若每天销售量不少于150件，则商场每天的最大利润是1950元．
24．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接．
(1)求这个抛物线的表达式．
(2)点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．
(3)①点在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点的坐标；
②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当时，求出满足条件的所有点的坐标．
答案:(1)；(2)；(3)①或，②或或
解：(1)∵抛物线交轴于点和点，
∴抛物线的表达式为：，
即，解得：，故抛物线的表达式为：；
(2)连接，设点，
则
，
．故有最大值，当时，的最大值为；
(3)①如图2，若点在左侧，连接，
，且，
，且，，
∴点坐标，若点在右侧，同理可求点；
②如图3，
∵抛物线的表达式为：；
∴对称轴为：直线，
∴点在对称轴上，，
∴点是的中点，
，
∴点，点，点在以为直径的圆上，
当点在以为直径的圆上时，，符合题意，
∵点，点，，且点在抛物线对称轴上，
∴点，点，延长交对称轴与，
∵点，点，∴直线解析式为：，
∴当时，，∴点的坐标，
∵点的坐标，点，点，且，
，，
∴点符合题意，
综上所述：点的坐标为：或或．
25．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量(万件)与售价(元/件)的函数关系式为
(1)当售价为60元/件时，年销售量为________万件；
(2)当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？
(3)若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出的取值范围．
答案:(1)20；(2)当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元；(3)
(1)．
(2)设销售该产品的年利润为万元，
当时，．
∵，
∴当时，
当时，
∵，
∴当时，
∵，
∴当时，
∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元．
(3)
理由如下：由题意得
26．某商场销售每件进货价为40元的一种商品，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量(件)与每件的售价(元)满足一次函数关系．
(1)商场每月想从这种商品销售中获利36000元，该如何给这种商品定价？
(2)市场监管局规定，该商品的每件售价不得高于60元，请问售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
答案:(1)商品可定价为每件70元或100元；(2)售价定为每件60元可获得最大利润，最大利润是28000元
解：(1)由题意得：，
解得，，．
∴这种商品可定价为每件70元或100元．
(2)由题意得：
∵该商品的每件售价不得高于60元，每件售价不低于进货价40元，
∴．
设利润为元，则
，
∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，此时．
∴售价定为每件60元可获得最大利润，最大利润是28000元．
27．某书店销售一本畅销的小说，每本进价为20元．根据以往经验，当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本．
(1)请求出书店销售该小说每天的销售量y(本)与销售单价x元)之间的函数关系式；
(2)书店决定每销售1本该小说，就捐赠2元给山区贫困儿童，若想每天扣除捐赠后获得最大利润，则每本该小说售价为多少元？最大利润是多少？
答案:(1)；(2)小说每本售价36元时，每天扣除捐赠后获得的利润最大，最大利润为1960元
(1)销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式为：，
∴．
(2)设每天扣除捐赠后可获得的利润为W元，则，
化简并配方，得：，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，
当时，．
故小说每本售价36元时，每天扣除捐赠后获得的利润最大，最大利润为1960元．
28．某蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1日起的50天内，第天上市的该种蔬菜每千克的市场售价为元，是关于的一次函数，其中部分对应数据如下表；第天上市的该种蔬菜每千克的种植成本为元，与满足关系．
1 2 3 …
5.04 4.98 4.92 …
(1)求市场售价关于的函数表达式，并写出的取值范围；
(2)若市场售价减去种植成本为利润，自5月1日起的50天内，第几天上市的该种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？
答案:(1)(，取正整数)；(2)第22天时，每千克利润最大，最大值为1.69元．
(1)设，
∵函数图象过点，，
∴
解得：，
∴(，取正整数)．
(2)设纯利润为，由题意得
因为，且，
所以时，每千克利润最大，最大值为1.69元．
29．某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图(1)所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图(2)所示(其中图(1)的图象是直线，图(2)的图象是抛物线)．
(1)求每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式；
(2)判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求出最大收益；
(3)求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？
答案:(1)y=x+7；(2)5月出售每千克收益最大，最大为元；(3)一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．
解：(1)设，将和代入得，
，解得．
；
(2)设每千克成本与销售月份之间的关系式为：y=a(x-6)2+1，把代入得，
4=a(3-6)2+1，解得．
，即．
收益
，
，
当时，．
故5月出售每千克收益最大，最大为元；
(3)一年中销售每千克蔬菜的收益：，
当时，，解得：x1=7，x2=3，
，为正整数，
∴一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．
30．今年甲、乙两个果园的红心猕猴桃喜获丰收，已知甲果园的总产量为27吨，乙果园的总产量13吨，某果业公司租用、两种型号的保鲜货车去果园运输猕猴桃，甲果园需要型保鲜货车满载猕猴桃运输6趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输5趟才能刚好运输完：乙果园需型保鲜货车满载猕猴桃运输2趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输3趟刚好运输完．
(1)求、两种保鲜货车满载猕猴桃运输一趟分别是多少吨？
(2)果业公司收购该批猕猴桃的单价为0.8万元/吨，目前公司可以0.9万元/吨的价格售出，如果保鲜冷藏储存起来，旺市再销售以便获取最大利润，由于失水和腐烂，水果重量每天减少0.5吨，且每天需支付各种费用0.08万元/吨，而每天的价格会持续上涨0.1万元/吨、如果公司计划把该批猕猴桃最多保鲜冷藏储存20天，那么储存多少天后出售这批猕猴桃所获得的利润最大？最大利润是多少万元？
答案:(1)型保鲜货车的满载重量为2吨，型保鲜货车的满载重量为3吨；(2)保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元
(1)设A型保鲜货车载重量为吨，型保鲜货车载重量为吨，
由题意得：
，
解之得：，
所以A型保鲜货车的满载重量为2吨，型保鲜货车的满载重量为3吨．
(2)设储存天之后，获得利润为万元，根据题得：
∵，
∴有最大值，
∵对称轴为，且，为整数，
∴当或4时，
答：保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元．

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