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2024年安徽省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．﹣5的绝对值是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（　　）
A．0.944×107 B．9.44×106 C．9.44×107 D．94.4×106
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣a）2＝a2 D．＝a
5．若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
6．已知反比例函数y＝（k≠0）与一次函数y＝2﹣x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
7．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线上，且CD＝AB，则BD的长是（　　）
A． B． C．2﹣2 D．
8．已知实数a，b满足a﹣b+1＝0，0＜a+b+1＜1，则下列判断正确的是（　　）
A．﹣＜a＜0 B．＜b＜1
C．﹣2＜2a+4b＜1 D．﹣1＜4a+2b＜0
9．在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点．下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（　　）
A．∠ABC＝∠AED B．∠BAF＝∠EAF C．∠BCF＝∠EDF D．∠ABD＝∠AEC
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若分式有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
12．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： 　 　（填“＞”或“＜”）．
13．不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是 　 　．
14．如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上．沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原．
（1）若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝　 　（用含α的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原．若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：x2﹣2x＝3．
16．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）．
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
18．（8分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
N 奇数 4的倍数
表示结果 1＝12﹣023＝22﹣125＝32﹣227＝42﹣329＝52﹣42… 4＝22﹣028＝32﹣1212＝42﹣2216＝52﹣3220＝62﹣42…
一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝　 　
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24＝（ 　 　）2﹣（ 　 　）2；
（ⅱ）4n＝　 　；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析：①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，则x2﹣y2＝（2k）2﹣（2m）2＝4（k2﹣m2）为4的倍数．而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数．②若x，y均为奇数，设x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数，则x2﹣y2＝（2k+1）2﹣（2m+1）2＝　 　为4的倍数．而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数．③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2﹣y2为奇数．而4n﹣2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处．已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20m，点A处水深为1.20m，到池壁的水平距离AD＝2.50m．点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求的值（精确到0.1）．
参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
20．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：cm）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x 3.5≤x＜4.5 4.5≤x＜5.5 5.5≤x＜6.5 6.5≤x＜7.5 7.5≤x≤8.5
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
任务1 求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 下列结论一定正确的是 　 　（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图1， ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN．点E，F分别是BD与AN，CM的交点．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接BM交AC于点H，连接HE，HF．
（ⅰ）如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
（ⅱ）如图3，若 ABCD为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．
（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；
（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1．解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．
故选：A．
2．解：944万＝9440000＝9.44×106，
故选：B．
3．解：根据三视图进行观察，下半部分是圆柱，上半部分是圆锥，
故选：D．
4．解：A、a3+a3＝2a3，故A选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故B选项错误；
C、（﹣a）2＝a2，故C选项正确；
D、，故D选项错误；
故选：C．
5．解：＝，
故选：C．
6．解：将x＝3代入y＝2﹣x中，
得：y＝﹣1，
将（3，﹣1）代入y＝中，
得：k＝﹣3，
故选：A．
7．解：如图，过点C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴AB＝2，AH＝BH＝CH＝，
∵CD＝AB＝2，
∴DH＝＝＝，
∴DB＝﹣，
故选：B．
8．解：∵a﹣b+1＝0，∴b＝a+1，
∵0＜a+b+1＜1，
∴0＜a+a+1+1＜1，即0＜2a+2＜1
∴﹣1＜a＜﹣，故选项A错误，不合题意．
∵b＝a+1，﹣1＜a＜﹣，
∴0＜b＜，故选项B错误，不合题意．
由﹣1＜a＜﹣得，﹣2＜2a＜﹣1，﹣4＜4a＜﹣2，
由0＜b＜得，0＜4b＜2，0＜2b＜1，
∴﹣2＜2a+4b＜1，故选项C正确，符合题意．
∴﹣4＜4a+2b＜﹣1，选项D错误，不合题意．
故选：C．
9．选项A：连接AC、AD，
∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，
∵F是AD的中点，
∴AF⊥CD，所以选项A不合题意；
选项B：连接BF、EF，
∵AB＝AE，∠BAF＝EAF，AF＝AF，
∴△ABF≌△AEF（SAS），
∴∠AFB＝∠AFE，BF＝EF，
∴△BFC≌△EFD（SSS），
∴∠BEC＝∠EFD，
∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°，
∴AF⊥CD，所以选项B不合题意；
选项C：思路与选项B大致相同，先证△BFC≌△EFD（SAS），再证△ABF≌△AEF（SSS），
∴∠BFC+∠AFB＝∠EFD+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD＝90°，
∴AF⊥CD，所以选项C不合题意；
选项D 的条件无法证出全等，故证不出AF⊥CD，所以选项D符合题意．
故答案选：D．
10．解：过D作DH⊥AB于H，如图：
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，
∵BD是边AC上的高，
∴BD＝＝＝；
∴CD＝＝，AD＝AC﹣CD＝，
∴DH＝＝＝，
∴S△ADE＝AE DH＝x×＝x，S△BDE＝BE DE＝（4﹣x）×＝﹣x；
∵∠BDE＝90°﹣∠BDF＝∠CDF，∠DBE＝90°﹣∠CBD＝∠C，
∴△BDE∽△CDF，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△CDF＝S△BDE＝（﹣x）＝﹣x，
∴y＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△CDF＝×2×4﹣x﹣（﹣x）＝﹣x+，
∵﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，且y与x的函数图象为线段（不含端点），
观察各选项图象可知，A符合题意；
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．解：∵分式有意义，
∴x﹣4≠0，
∴x≠4，
故答案为：x≠4．
12．解：（）2＝10，（）2＝，
∵10，
∴，
故答案为：＞．
13．解：
由图可知，共有12种可能的结果，其中2个红球的结果出现2次，
∴P＝，
故答案为：．
14．解：（1）∵MN⊥EF，∠BEF＝α，
∴∠EMN＝90°﹣α，
∵CD∥AB，
∴∠CNM＝∠EMN＝90°﹣α，
∴∠C′NM＝∠CNM＝90°﹣α．
故答案为：90°﹣α．
（2）如图，设PH与NC'交于点G'，
由题易得△EAH≌△HDG≌△GCF≌△FME，
∴DH＝CG＝AE＝4，DG＝EB＝8，
∴GH＝＝4，
∵MN⊥GH，且∠C′NM＝∠CNM，
∴MN垂直平分GG'，即PG＝PG'＝GG'，且NG＝NG'，
∵△CBN沿MN折叠，
∴CN＝C'N，
∴CN﹣NG＝C'N﹣NG'，即CG'＝CG＝4，
∵△GDH沿GH折叠得到△GD'H，
∴GD'＝GD＝8，
∵∠HC'G'＝∠HD'G＝90°，
∴C'G'∥D'G，
∴＝＝，
∴HG'＝GG'＝HG＝2，
又∵PG'＝GG'＝，
∴PH＝PG'+HG'＝3．
故答案为：3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：x2﹣2x＝3，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
16．解：（1）如图，画出△A1B1C1；
（2）以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积＝10×8﹣2××2×4﹣2××4×8＝40；
（3）如图，点E即为所求（答案不唯一），点E的坐标（6，6）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷，
根据题意得：，
解得：．
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷．
18．解：（1）4＝4×1＝（1+1）2﹣（1﹣1）2，
8＝4×2＝（2+1）2﹣（2﹣1）2，
12＝4×3＝（3+1）2﹣（3﹣1）2，
20＝4×5＝（5+1）2﹣（5﹣1）2，
24＝4×6＝（6+1）2﹣（6﹣1）2＝72﹣52，
.....．
4n＝4 n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2．
故答案为：7，5；
（2）由（1）推导的规律可知4n＝4 n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2．
故答案为：（n+1）2﹣（n﹣1）2．
（3）（2k+1）2﹣（2m+1）2＝（2k+1+2m+1）（2k+1﹣2m﹣1）＝4（k2﹣m2+k﹣m）．
故答案为：4（k2﹣m2+k﹣m）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：过点E作EH⊥AD于点H，
由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20m，
∴（m），AH＝AD﹣CE＝2.50﹣1.60＝0.90（m），
∴＝1.50（m），
∴，
∵＝cos α＝0.80，
∴．
20．（1）证明：∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠AEF，
∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，
∴∠FAE＝∠BCE，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：由（1）知，∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∵AF＝EF，FM⊥AB，
∴MA＝ME＝2，AE＝4，
∴圆的半径OA＝OB＝AE﹣OE＝3，
∴BC＝BE＝OB﹣OE＝2，
在△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴．
六、（本题满分12分）
21．解：（1）由题意得，a＝200﹣（15+70+50+25）＝40；
（2）（15×4+50×5+70×6+50×7+15×8）＝6，
故乙园样本数据的平均数为6；
（3）由统计图可知，两园样本数据的中位数均在C组，故①正确；
甲园的众数在B组，乙园的众数在C组，故②结论错误；
两园样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③结论错误；
故答案为：①；
（4）乙园的柑橘品质更优，理由如下：
由样本数据频数分布直方图可得，乙园一级柑橘所占比例大于甲园，因此可以认为乙园的柑橘品质更优．
七、（本题满分12分）
22．（1）证明：∵ ABCD，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴AM∥CN，
∵AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）（i）证明：∵HE∥AB，
∴，
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴，
∵∠HOF＝∠AOD，
∴△HOF∽△AOD，
∴∠OHF＝∠OAD，
∴HF∥AD；
（ii）解：∵ ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∵OE＝OF，∠EHF＝60°，
∴∠EHO＝∠FHO＝30°，
∴，
∵AM∥BC，MD＝2AM，
∴＝，即HC＝3AH，
∴OA+OH＝3（OA﹣OH），
∴OA＝2OH，
∵BN∥AD，MD＝2AM，AM＝CN，
∴，即3BE＝2ED，
∴3（OB﹣OE）＝2（OB+OE），
∴OB＝5OE，
∴，
∴的值是．
八、（本题满分14分）
23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1，
∴，
∴b＝4；
（2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，
∴，
∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴，
t），
∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
（i）∵h＝3t，
∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
∴t（t+2x1）＝t+2x1，
∵x1≥0，t＞0，
∴t+2x1＞0，
∴t＝1，
∴h＝3；
（ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，
∴h＝﹣3t2+8t﹣2，
，
∵﹣3＜0，
∴当，即时，h取最大值．

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