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7.2 两直线的位置关系
●知识梳理
1.平行与垂直
若直线l1和l2有斜截式方程l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则
（1）直线l1∥l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2.
（2）直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=－1.
若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合.
若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.
2.相交
（1）两条直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交得到两类角：“到角”和“夹角”.
①到角：直线l1到l2的角是指l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角.
设l1到l2的角为θ1，l2到l1的角为θ2，则有θ1∈（0，π），θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.
当k1k2≠－1时，有公式tanθ1=.
当k1k2=－1时，l1⊥l2，θ1=θ2=.
②夹角：l1到l2的角θ1和l2到l1的角θ2中不大于90°的角叫l1和l2的夹角.设为α，则有α∈（0，］，当α≠时，有公式tanα=||.
如果直线l1和l2中有一条斜率不存在，“到角”和“夹角”都可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.
（2）交点：直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行方程组无解.
重合方程组有无数解.
3.点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=.
两平行线l1：Ax+By+C1=0和l2：Ax+By+C2=0之间的距离d=.
●点击双基
1.点（0，5）到直线y=2x的距离为
A. B. C. D.
解析：a==.
答案：B
2.三直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x－y=10相交于一点，则a的值是
A.－2 B.－1 C.0 D.1
4x+3y=10，
2x－y=10，
得交点坐标为（4，－2），
代入ax+2y+8=0，得a=－1.
答案：B
3.直线x+y－1=0到直线xsinα+ycosα－1=0（＜α＜)的角是
A.α－ B. －α
C.α－ D. －α
解析：由tanθ=
==tan（－α）=tan（－α），
∵＜α＜，－＜－α＜0，
＜－α＜π，∴θ=－α.
答案：D
4.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转角α（0°<α<90°），所得直线方程是x－y－2=0，若将它继续旋转90°－α角，所得直线方程是2x+y－1=0，则直线l的方程是____________.
解析：∵直线l经过直线x－y－2=0和2x+y－1=0的交点（1，－1），且又与直线2x+ y－1=0垂直，
∴l的方程为y+1=（x－1），即x－2y－3=0.
答案：x－2y－3=0
5.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行且不重合，则a的值是____________.
解析：利用两直线平行的条件.
答案：－1
●典例剖析
【例1】 等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x－2y－2=0，底边所在直线l2的方程是x+y－1=0，点（－2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程.
剖析：依到角公式求出l3的斜率，再用点斜式可求l3的方程.
解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1=，k2=－1，tanθ1===－3.
∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形，
∴θ1=θ2，tanθ1=tanθ2=－3，
即=－3，=－3，解得k3=2.
又∵直线l3经过点（－2，0），
∴直线l3的方程为y=2（x+2），
即2x－y+4=0.
评述：本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l3的方程.
思考讨论
用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解?
【例2】 已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：（m－2）x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2（1）相交；（2）平行；（3）重合?
剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决.
解：当m=0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，
∴l1∥l2.
当m=2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，
∴l1与l2相交.
当m≠0且m≠2时，由＝得m=－1或m=3，由＝得m＝3.
故（1）当m≠－1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交；
（2）当m＝－1或m＝0时，l1∥l2；
（3）当m＝3时，l1与l2重合.
评述：对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.
深化拓展
不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗?
【例3】 已知点P（2，－1），求：
（1）过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少?
（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.
解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在，其方程为x=2.
若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.
由已知，得=2，解之得k=.
此时l的方程为3x－4y－10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x－4y－10=0.
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得kl·kOP =－1，
所以kl =－=2.由直线方程的点斜式得y+1=2（x－2），即2x－y－5=0，
即直线2x－y－5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=.
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.
评述：第（3）问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由.如（3）解法二：由于斜率不存在且过P点的直线到原点距离不是6，因此，设过P点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0.原点O到它的距离d==6，即32k2－4k+35=0.因Δ=16－4×32×35<0，故方程无解.所以不存在这样的直线.
●闯关训练
夯实基础
1.（2004年全国卷Ⅳ，3）过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为
A.2x+y－1=0 B.2x+y－5=0
C.x+2y－5=0 D.x－2y+7=0
解析：由已知直线的斜率为，
知所求直线的斜率为－2.
由点斜式得所求直线方程为2x+y－1=0.
答案：A
2.若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点，则k的取值范围是____________.
解析：y=|x|是第一、二象限角的平分线，直线y=kx+1是过定点（0，1）的直线系方程.
由图象易知－1答案：－13.△ABC中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则下列两条直线l1：（sin2A）x+（sinA）y－a=0，l2：（sin2B）x+（sinC）y－c=0的位置关系是____________.
解析：由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC，
得lg（sinB）2=lg（sinA·sinC）.
∴sin2B=sinA·sinC.
设l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0．
∵===，
=，
===，
∴==，l1与l2重合．
答案：重合
4.求过点P（5，－2），且与直线x－y+5=0相交成45°角的直线l的方程.
解：（1）若直线l的斜率存在，设为k，由题意，tan45°=||，得k=0，所求l的直线方程为y=－2.
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=5，且与直线x－y+5=0相交成45°角.
综合（1）（2），直线l的方程为x=5或y=－2.
5.已知△ABC的两条高线所在直线的方程为2x－3y+1=0和x+y=0，顶点A（1，2），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）△ABC的面积.
解：（1）A点不在两条高线上，从而AB、AC边所在直线方程为3x+2y－7=0，x－y+1=0.
∴C（－2，－1）、B（7，－7）.
∴边BC所在直线方程是2x+3y+7=0.
（2）∵｜BC｜＝，点A到边BC的高为h＝，从而△ABC的面积是×3×＝．
培养能力
6.光线从A（－3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（－1，6），求BC所在直线的方程.
解法一：如下图所示，依题意，B点在原点O左侧，设坐标为（a，0），由入射角等于反射角得∠1=∠2，∠3=∠4，
∴kAB=－kBC.
又kAB==－（a≠－3），
∴kBC=.∴BC的方程为y－0=（x－a），即4x－（3+a）y－4a=0.
令x=0，解得C点坐标为（0，），
则kDC==－.
∵∠3=∠4，∴=.
∴=.
解得a=－，
代入BC方程得5x－2y+7=0.
解法二：点A关于x轴的对称点为A′（－3，－4），点D关于y轴的对称点为D′（1，6），
由入射角等于反射角及对顶角相等可知A′、D′都在直线BC上，
∴BC的方程为5x－2y+7=0.
7.在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（原点除外）上给定两点A（0，a）、B（0，b）（a＞b＞0）.试在x轴的正半轴（原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值，并求出这个最大值.
解：由题意作下图，设C（x，0），其中x＞0．
又A（0，a），B（0，b）（a＞b＞0），
则kAC＝＝－，
kBC＝＝－.
∴tan∠ACB＝ ＝=≤．此时x＝时取等号.故所求点C（，0），最大值为arctan．
8.（理）已知过点A（1，1）且斜率为－m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值.
解：设l的方程为y－1=－m（x－1），
则P（1+，0），Q（0，1+m）.
从而可得直线PR和QS的方程分别为
x－2y－=0和x－2y+2（m+1）=0.
又PR∥QS，
∴｜RS｜=
=.又｜PR｜=，
｜QS｜=，
四边形PRSQ为梯形，
S四边形PRSQ=［+］·
=（m++）2－≥（2+）2－=3.6.
∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6.
（文）在△ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标.
解：点A为y=0与x－2y+1=0两直线的交点，
∴点A的坐标为（－1，0）.
∴kAB==1.
又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，
∴k AC=－1.
∴直线AC的方程是y=－x－1.
而BC与x－2y+1=0垂直，∴kBC=－2.
∴直线BC的方程是y－2=－2（x－1）.
y=－x－1，
y=－2x+4，
解得C（5，－6）.
探究创新
9.已知三条直线l1：2x－y+a=0（a＞0），直线l2：－4x+2y+1=0和直线l3：x+y－1=0，且l1与l2的距离是.
（1）求a的值；
（2）求l3到l1的角θ；
（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由.
解：（1）l2即2x－y－=0，
∴l1与l2的距离d==.
∴=.∴|a+|=.
∵a＞0，∴a=3.
（2）由（1），l1即2x－y+3=0，∴k1=2.而l3的斜率k3=－1，
∴tanθ===－3.
∵0≤θ＜π，∴θ=π－arctan3.
（3）设点P（x0，y0），若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x－y+C=0上，
且=，即C=或C=，
∴2x0－y0+=0或2x0－y0+=0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有=，
即|2x0－y0+3|=|x0+y0－1|，
∴x0－2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限，∴3x0+2=0不可能.
联立方程2x0－y0+=0和x0－2y0+4=0，
x0=－3，
y0=，
2x0－y0+=0，
x0－2y0+4=0，
x0=，
y0=.
∴P（，）即为同时满足三个条件的点.
●思悟小结
1.要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意对x、y的系数中一个为零的情况的讨论.
2.在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两条直线垂直的情况.
3.点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.
●教师下载中心
教学点睛
1.两条直线的位置关系的有关内容是本章学习的重点，在整个解析几何的学习中占有重要地位.这部分内容是用代数方法研究几何图形的具体应用.
2.在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0.
（1）l1∥l2=≠
A1B2=A2B1，
A1C2≠A2C1.
（2）l1与l2相交≠
A1B2≠A2B1.
（3）l1与l2重合==
A1B2=A2B1，
A1C2=A2C1.
（4）l1⊥l2A1A2+B1B2=0.
拓展题例
【例1】 当0解：直线l1交y轴于A（0，2－a），直线l2交x轴于C（a2+2，0），l1与l2交于点B（2，2）.
则四边形AOCB的面积为S=S△AOB+S△OCB=·（2－a）·2+（a2+2）·2=a2－a+4=（a－）2+，
当a=时，S最小.
因此使四边形面积最小时a的值为.
【例2】 已知n条直线l1：x－y+C1=0，C1=，l2：x－y+C2=0，l3：x－y+C3=0，…，ln：x－y+Cn=0（其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n.
（1）求Cn；
（2）求x－y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积；
（3）求x－y+Cn－1=0与x－y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积.
解：（1）原点O到l1的距离为1，原点O到l2的距离为1+2，……原点O到ln的距离dn为1+2+…+n=.
∵Cn=dn，
∴Cn=.
（2）设直线ln：x－y+Cn=0交x轴于M，交y轴于N，则△OMN面积
S△O MN=|OM|·|ON|=Cn2=.
（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知Sn=，则有Sn－1=.
∴Sn－Sn－1=－=n3.
∴所求面积为n3.

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