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专题10圆
平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破.
直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.
常用的结论包括：
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
5.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
《初中课程要求》 1、圆的基本性质 2、垂径定理 3、点与圆的位置关系 4、点、直线与圆的位置关系 5、正多边形与圆、弧长、扇形面积
《高中课程要求》 1、握圆的标准方程与一般方程 2、能判断直线与圆、圆与圆的位置关系 3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题
高中必备知识点1：直线与圆的位置关系
设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？
观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.
当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在中，.
如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.
高中必备知识点2：点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
高中必备知识点1：直线与圆的位置关系
【典型例题】
在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，1)，D(﹣2．﹣2)．
(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；
(2)E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．
【变式训练】
在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为(﹣3，1)
①在点E(0，3)、F(3，﹣3)、G(2，﹣5)中，点A的“等距点”是　 　；
②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为　 　；
(2)直线l：y＝kx﹣3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1(﹣1，t1)、T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
【能力提升】
如图，在平面直角坐标系中，已知点．
请在图中作出经过点A、B、C三点的，并写出圆心M的坐标；
，试判断直线BD与的位置关系，并说明理由．
高中必备知识点2：点的轨迹
【典型例题】
如图，点，将绕点旋转得到.
(1)请在图中画出，并写出点的坐标；
(2)求旋转过程中点的轨迹长.
【变式训练】
阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P(x1，y1)、
Q(x2，y2)，则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|==2．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．
(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是　 　；
(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；
问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．
【能力提升】
在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P的坐标满足(m，m﹣1)，所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x﹣1的图象．即点P的轨迹就是直线y=x﹣1．
(1)若m、n满足等式mn﹣m=6，则(m，n﹣1)在平面直角坐标系xOy中的轨迹是　 　；
(2)若点P(x，y)到点A(0，1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P的轨迹；
(3)若抛物线y=上有两动点M、N满足MN=a(a为常数，且a≥4)，设线段MN的中点为Q，求点Q到x轴的最短距离．
1．如图，将⊙O沿弦折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为6，则的长为( )
A． B．π C． D．
2．如图，为的直径，直线与相切于点，直线交于点、交于点，连接、，则下列结论错误的是( )
A．若，则平分； B．若平分，则；
C．若，则平分； D．若，则．
3．如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是( )
A． B． C． D．
4．如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则(　　)
A．若，则弧的度数为
B．若，则弧的度数为
C．若，则弧的度数为
D．若，则弧的度数为
5．如图，为的直径，C为圆上一点，过点C的切线与直径的延长线交于点D，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
6．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为(　　)
A．2﹣1 B．2 C．+1 D．
7．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是(　　)
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为(　　)
A．9 B．10 C．8 D．12
9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为( )
A．5 B．6 C． D．
10．如图，内接于，其外角平分AD交于D，于M，则结论①②③④中正确的是( )
A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④
11．如图，在扇形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于弧点，得扇形，若，则图中阴影部分的面积为______．
12．如图，△ABC内接于⊙O， E是边BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接CD，若∠BCD＝26°，则∠A＝__°．
13．如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，的长为半径画弧，再以为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为，则________．
14．如图，是的直径，弦，，．则图中阴影部分的面积为___________．
15．如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为__________．
16．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．其中正确的是___(只需填序号)
17．如图，锐角内接于，于点H，直径，交于点D，，连结，，已知圆的半径为13，，则____，四边形的面积为_______．
18．如图，的弦、相交于点，为弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的半径为，，则________．
19．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_____．
20．如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为______．
21．如图，四边形内接于，是直径，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
22．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．锐角三角形的最小覆盖圆是该三角形的外接圆．
(1)分别在图1，图2中作出的最小覆盖圆．(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中的作图，钝角三角形的最小覆盖圆是______；
(3)某地要修建一个基站，服务四个村庄E、F、G、H(其位置如图3所示)，为使信号可以覆盖四个村庄，且基站所需发射功率最小(距离越小，所需功率越小)，此基站应建在何处？请说明理由．
23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
24．如图，是的半径，且，是半圆上一点，连接，作，过点作半圆的切线，交的延长线于点，切点为，连接．
(1)当∥时，求证：；
(2)当 度时，为菱形．
25．如图，已知以为直径的中，点，在的同侧，点是的中点，连接，过点作于点，于点．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的长．
26．如图，在四边形中，，过三点的圆交边于点E．
(1)求证：E是的中点；
(2)若，求证：．
27．如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且．
(1)判断直线和的位置关系，并说明理由．
(2)过点作的切线交直线于点，若，的半径是3，求的正切值．
28．如图，是的直径，点在上(点不与，重合)，直线交过点的切线于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
29．如图，中，以为直径的交于点D，．
(1)求证：为的切线；
(2)在上取点E，使，过点E作交于点F．若，求的值．
30．如图，⊙O的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点(点不与点、重合)，连接交、于点、．
(1)当时，的长度为______；
(2)当点为劣弧的中点，且∽时，求的度数；
(3)当，且为直角三角形时，求四边形的面积(直接写出结果)．
专题10圆
平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破.
直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.
常用的结论包括：
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
5.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
《初中课程要求》 1、圆的基本性质 2、垂径定理 3、点与圆的位置关系 4、点、直线与圆的位置关系 5、正多边形与圆、弧长、扇形面积
《高中课程要求》 1、握圆的标准方程与一般方程 2、能判断直线与圆、圆与圆的位置关系 3、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题
高中必备知识点1：直线与圆的位置关系
设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？
观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.
当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在中，.
如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.
高中必备知识点2：点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
高中必备知识点1：直线与圆的位置关系
【典型例题】
在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(﹣3，﹣1)，C(﹣3，1)，D(﹣2．﹣2)．
(1)画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；
(2)E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．
答案:(1)见解析，点D在⊙P上；(2)E(0，﹣3)．
解析：
(1)如图所示：
△ABC外接圆的圆心为(﹣1，0)，点D在⊙P上；
(2)连接PD，
∵直线DE与⊙P相切，
∴PD⊥PE，
利用网格过点D做直线的DF⊥PD，则F(﹣6，0)，
设过点D，E的直线解析式为：y＝kx+b，
∵D(﹣2，﹣2)，F(﹣6，0)，
∴，
解得：，
∴直线DE解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴E(0，﹣3)．
【变式训练】
在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为(﹣3，1)
①在点E(0，3)、F(3，﹣3)、G(2，﹣5)中，点A的“等距点”是　 　；
②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为　 　；
(2)直线l：y＝kx﹣3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T1(﹣1，t1)、T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；
②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
答案:(1)①E、F；②(﹣3，3)；(2)①k的值为1或2；②≤r≤3．
解析：
(1)①∵点A(﹣3，1)到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②点B在直线y＝x+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有(3，9)、(﹣3，3)、(﹣9，﹣3)，
这些点中与A符合“等距点”的是(﹣3，3)．
故答案为①E、F；②(﹣3，3)；
(2)∵T1(﹣1，t1)、T2(4，t2)是直线l上的两点，
∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．
∵k＞0，
∴|﹣k﹣3|＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．
依据“等距点”定义可得：
当﹣3＜4k﹣3＜4时，k+3＝4，解得k＝1；
当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．
综上所述，k的值为1或2．
②∵k＝1，
∴y＝x﹣3与坐标轴交点C(0，﹣3)、D(3，0)，线段CD＝3．
N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为，
若半径为r的⊙O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为，
r的最大值为CD长度3．
所以r的取值范围为≤r≤3．
故答案为E、F；(﹣3，3)
【能力提升】
如图，在平面直角坐标系中，已知点．
请在图中作出经过点A、B、C三点的，并写出圆心M的坐标；
，试判断直线BD与的位置关系，并说明理由．
答案:如图所示见解析，圆心M的坐标为 直线BD与相切，理由见解析.
解析：
如图所示，即为所求．
由图知，圆心M的坐标为；
连接MB，DB，DM，
，
，
是直角三角形，
，
即，
直线BD与相切．
高中必备知识点2：点的轨迹
【典型例题】
如图，点，将绕点旋转得到.
(1)请在图中画出，并写出点的坐标；
(2)求旋转过程中点的轨迹长.
答案:(1)图形见解析, ；(2)5π.
解析：
解：(1)如图所示，即为所求出；；
(2)连接，
∵，
∴旋转过程中点的轨迹长.
【变式训练】
阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P(x1，y1)、
Q(x2，y2)，则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P(1，2)，Q(3，4)，则|PQ|==2．
对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．
解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．
(1)到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是　 　；
(2)若动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；
问题拓展：(3)若(2)中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②为定值．
答案:(1)x2+(y﹣)2=1；(2)动点C轨迹的函数表达式y=x2；(3)①证明见解析；②证明见解析.
解析：
(1)设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为(x，y)，
∴AD2=x2+(y﹣)2，
∵直线y=kx+交y轴于点A，
∴A(0，)，
∵点A关于x轴的对称点为点B，
∴B(0，﹣)，
∴AB=1，
∵点D到点A的距离等于线段AB长度，
∴x2+(y﹣)2=1，
故答案为：x2+(y﹣)2=1；
(2)∵过点B作直线l平行于x轴，
∴直线l的解析式为y=﹣，
∵C(x，y)，A(0，)，
∴AC2=x2+(y﹣)2，点C到直线l的距离为：(y+)，
∵动点C(x，y)满足到直线l的距离等于线段CA的长度，
∴x2+(y﹣)2=(y+)2，
∴动点C轨迹的函数表达式y=x2；
(3)①如图，
设点E(m，a)点F(n，b)，
∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，
∴，
∴x2﹣2kx﹣1=0，
∴m+n=2k，mn=﹣1，
∵过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，
∴M(m，﹣)，N(n，﹣)，
∵A(0，)，
∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=(m+n)2﹣2mn+2=4k2+4，
MN2=(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn=4k2+4，
∴AM2+AN2=MN2，
∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，
取MN的中点Q，
∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，
∴Q(k，﹣)，
∵A(0，)，
∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，
∵直线EF的解析式为y=kx+，
∴AQ⊥EF，
∴EF是△AMN外接圆的切线；
②∵点E(m，a)点F(n，b)在直线y=kx+上，
∴a=mk+，b=nk+，
∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，
∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，
∴=2，
即：为定值，定值为2．
【能力提升】
在数学上，我们把符合一定条件的动点所形成的图形叫做满足该条件的点的轨迹．例如：动点P的坐标满足(m，m﹣1)，所有符合该条件的点组成的图象在平面直角坐标系xOy中就是一次函数y=x﹣1的图象．即点P的轨迹就是直线y=x﹣1．
(1)若m、n满足等式mn﹣m=6，则(m，n﹣1)在平面直角坐标系xOy中的轨迹是　 　；
(2)若点P(x，y)到点A(0，1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等，求点P的轨迹；
(3)若抛物线y=上有两动点M、N满足MN=a(a为常数，且a≥4)，设线段MN的中点为Q，求点Q到x轴的最短距离．
答案:(1)；(2)y=x2；(3)点Q到x轴的最短距离为1．
解析：
(1)设m=x，n﹣1=y，
∵mn﹣m=6，
∴m(n﹣1)=6，
∴xy=6，
∴
∴(m，n﹣1)在平面直角坐标系xOy中的轨迹是
故答案为：；
(2)∴点P(x，y)到点A(0，1)，
∴点P(x，y)到点A(0，1)的距离的平方为x2+(y﹣1)2，
∵点P(x，y)到直线y=﹣1的距离的平方为(y+1)2，
∵点P(x，y)到点A(0，1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等，
∴x2+(y﹣1)2=(y+1)2，
∴
(3)设直线MN的解析式为y=kx+b，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∴线段MN的中点为Q的纵坐标为
∴
∴x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
∴
∴
∴
∴点Q到x轴的最短距离为1．
1．如图，将⊙O沿弦折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为6，则的长为( )
A． B．π C． D．
答案:A
连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC=OA，
∴sin∠OAC==，
∴∠OAC=30°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
∴，
故选A．
2．如图，为的直径，直线与相切于点，直线交于点、交于点，连接、，则下列结论错误的是( )
A．若，则平分； B．若平分，则；
C．若，则平分； D．若，则．
答案:D
解：A、∵AH∥OD，OD⊥HF，
∴∠CAD=∠ADO，
∵AO=OD，
∴∠HAD=∠DAO=∠ADO，
∴AD平分∠BAH，故正确，不合题意；
B、∵AD平分∠BAH，
∴∠HAD=∠DAO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠ADO=∠HAD，
∴AH∥OD，
∵OD⊥HF，
∴HA⊥HF，故正确，不合题意；
C、∵AH⊥EF，OD⊥EH，
∴AH∥OD，
由A得：AD平分∠BHA，故正确，不合题意；
D、由无法证明AH⊥EF，故错误，符合题意；
故选D．
3．如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是( )
A． B． C． D．
答案:A
解：连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，
由垂径定理可知于点D，
又
CA、CD所对的圆周角为、，且
，△CAD为等腰三角形
又四边形ODFE为矩形且OD=DF=
四边形ODFE为正方形
故△CFB为等腰三角形，
所对的圆心角为
故选A．
4．如图，已知，为上一点，以为半径的圆经过点，且与、交于点、，设，，则(　　)
A．若，则弧的度数为
B．若，则弧的度数为
C．若，则弧的度数为
D．若，则弧的度数为
答案:B
解：连接BD，
设的度数是x，
则∠DBC=x，
∵AC过O，
∴∠ABD=90°，
∵∠A=β，
∴∠ADB=90°-β，
∵∠C=α，∠ADB=∠C+∠DBC，
∴90°-β=α+x，
解得：x=180°-2(α+β)，
即的度数是180°-2(α+β)，
A．当α+β=80°时，
的度数是180°-160°=20°，故本选项不符合题意；
B．当α+β=80°时，
的度数是180°-160°=20°，故本选项符合题意；
C．当α-β=80°，即α=80°+β或β=α-80°，
的度数是180°-2(80°+β+β)=20°-4β或180°-(α+α-80°)=260°-2α，故本选项不符合题意；
D．当α-β=80°时，
的度数是20°-4β或260°-2α，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，为的直径，C为圆上一点，过点C的切线与直径的延长线交于点D，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
答案:C
解：如图，连接OC，
∵CD为的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠COD=90°-∠D=70°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=．
故选：C
6．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为(　　)
A．2﹣1 B．2 C．+1 D．
答案:C
解：如右图所示，连接OE、OF，
∵⊙O与AC、BC切于点E、F，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C＝90°，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OE∥BC，
又∵以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，OE＝OF，
∴O在∠ACB的角平分线上，
∵AC＝BC，
∴O是AB中点，
∴AE＝CE，
又∵AC＝2，
∴AE＝CE＝1，
∴OE＝OF＝CE＝1，
∴OH＝1，
∵OE∥CD，
∴△OEH∽△BDH，
∴，
又∵AB＝，
∴OB＝，
∴，
∴BD＝﹣1，
∴CD＝2+BD＝+1，
故选：C．
7．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是(　　)
A． B． C． D．
答案:B
解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．
当时，
根据题意可知：∠DOF＝60°，∠AOD＝120°
∴DF＝OD sin60°＝10×＝5，
∴．
当∠A＝60°时，
过点D'作D'F'⊥OA于F'，连接OD'，
根据题意可知：∠D'OF'＝60°，D'F'=OD' sin60°=5，
，
∴．
故选：B．
8．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，以AB为直径作⊙O，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与⊙O相切，切点为E，边A'B与⊙O相交于点F．若BF＝8，则CD长为(　　)
A．9 B．10 C．8 D．12
答案:B
连接OE，延长EO交BF于点M，
∵C'D'与⊙O相切，
∴∠OEC′＝90°，
又矩形A'BC'D'中，A'B∥C'D'，
∴∠EMB＝90°，
∴BM＝FM，
∵矩形ABCD绕点B旋转所得矩形为A′BC′D′，
∴∠C′＝∠C＝90°，AB＝CD，BC＝BC'＝8，
∴四边形EMBC'为矩形，
∴ME＝8，
设OB＝OE＝x，则OM＝8﹣x，
∵OM2+BM2＝OB2，
∴(8﹣x)2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AB＝CD＝10．
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为( )
A．5 B．6 C． D．
答案:D
解：连接，如图，
点为弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上，
以为直径作，过点作直线于，交于，
则上到直线上最短的距离是，
此时，即的面积最小，
当时，，则 ，
当时，，
解得，则，
，
，
∵的半径为2，
∴，
，
由等积法可知：
∴
∴，
∴，
即的面积最小是，
故选：．
10．如图，内接于，其外角平分AD交于D，于M，则结论①②③④中正确的是( )
A．① B．①②③ C．③④ D．①②③④
答案:B
解：过点D作DF⊥BE于F，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分线AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，故此选项正确；
∵AD外角平分线，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
在△BFD≌△CMD中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又∵AF=AM，
∴②AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，故此选项正确；
∴③AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，故此选项正确；
S△ABD和S△ABC的大小无法判断，④错误，
故选：B．
11．如图，在扇形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于弧点，得扇形，若，则图中阴影部分的面积为______．
答案:
连接AC，过A作AE⊥BC于E
∵
∴△ABC是等边三角形
∴，
=
∴阴影部分的面积为：
=
故答案为：
12．如图，△ABC内接于⊙O， E是边BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接CD，若∠BCD＝26°，则∠A＝__°．
答案:52°
解：连结OB、OC，
∵∠BCD＝26°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×26°=52°，
∵OB=OC，E是边BC的中点，
∴OE⊥BC，∠BOE=∠COE=52°，
∴∠BOC=∠DOB+∠COD=52°+52°=104°，
∴∠A=．
故答案为：52°．
13．如图，在边长为4的正方形中，以点为圆心，的长为半径画弧，再以为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为，则________．
答案:
由图形可知，扇形ABD的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积-正方形ABCD的面积=阴影部分②的面积，
∴S2-S1=扇形ABD的面积+半圆BC的面积-正方形ABCD的面积
=+π×22-42
=-16，
故答案为：-16．
14．如图，是的直径，弦，，．则图中阴影部分的面积为___________．
答案:
解：设线段相交于点，
是的直径，弦，
，，
与中，
故答案为：．
15．如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为__________．
答案:
解：连接，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∴，
故答案为：．
16．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD＝2∠ABC，∠P＝∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．其中正确的是___(只需填序号)
答案:①②④
连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠ODB，
∵∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝2∠OBD，
∵∠AOD＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABD，
∴弧AC＝弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，即①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠P，
∴∠PCD+∠OCD＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是切线，即②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD＝∠FEB＝2∠ABC，
∵，
∴，即3∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝30°，已知没有给出∠ABC＝30°，即③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF＝弧AG，
∴AG＝CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ＝AG，OZ＝AG，BZ＝BG，
∴OZ＝CQ，
∵OC＝OB，∠OQC＝∠OZB＝90°，
∴△OCQ≌△BOZ(HL)，
∴OQ＝BZ＝BG，即④正确．
故答案为：①②④．
17．如图，锐角内接于，于点H，直径，交于点D，，连结，，已知圆的半径为13，，则____，四边形的面积为_______．
答案:7 255
解：作，垂足为，作，垂足为，连接OB，
∵直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形AHGE为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形OGHF为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
．
∴，
故答案为：7；255．
18．如图，的弦、相交于点，为弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的半径为，，则________．
答案:
解：连接OC、OA、OD，OC与AF交于点H，如图，
∵C为弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AH=BH，
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF，
∵OD是切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°，
∴∠ODC+∠CDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCE+∠CEA=∠OCE+∠FED=90°，
∴∠CDF=∠DEF=∠ACD=∠AEC，
∴AC=AE，
设AE=5λ，则BE=3λ，
∴AC=5λ，AB=8λ，
∴AH=4λ，HE=λ，
在Rt△ACH中，由勾股定理得CH=3λ，
∴OH=OC-CH=-3λ，
在Rt△HCE中，由勾股定理得CE2=HC2+HE2=9λ2+λ2=10λ2，
∴CE=λ，
在Rt△HOA中，由勾股定理得，
OA2=AH2+OH2，
即()2=(4λ)2+(-3λ)2，
解得λ=1，
∴CE=λ=，
故答案为：．
19．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是_____．
答案:8
解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中，
，
∴△EFD≌△ECB(AAS)，
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝8，
故答案为8．
20．如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为______．
答案:
连接，，过作，
∴，
∵，
∴sin∠AOD=，
∴，
，
，
∴，
连接，，
∵点为的内心，
∴，，
∴，
∵点为优弧上动点，
∴始终等于，
∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的一段劣弧上运动，
设，，三点所在的圆的圆心为，
连接，，则，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
点移动的路径长．
故答案为：
21．如图，四边形内接于，是直径，，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
答案:(1)见详解；(2)+1
解：(1)连接OB，
∵AC是直径，，
∴∠ABC=90°，即是等腰直角三角形，
∵AO=CO，
∴BO⊥AC，
又∵，
∴BO⊥BF，
∴是的切线；
(2)连接OD，
∵，
∴OA=OC=OB=，
∵∠ADC=90°，，
∴∠DOC=∠AOD=60°，
∵OD=OC，
∴是等边三角形，
过点C作CM⊥BF于点M，则四边形BMCO是正方形，
∴BM=CM=OB=，
∵AC∥BF，
∴∠F=∠ACD=60°，
∴在中，MF=CM÷tan60°=÷=1，
∴BF=BM+MF=+1．
22．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．锐角三角形的最小覆盖圆是该三角形的外接圆．
(1)分别在图1，图2中作出的最小覆盖圆．(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中的作图，钝角三角形的最小覆盖圆是______；
(3)某地要修建一个基站，服务四个村庄E、F、G、H(其位置如图3所示)，为使信号可以覆盖四个村庄，且基站所需发射功率最小(距离越小，所需功率越小)，此基站应建在何处？请说明理由．
答案:(1)作图见解析；(2)以最长边为直径的圆；(3)建在的外心(外接圆的圆心)，见解析．
(1)作图如下图所示；
(2)以最长边为直径的圆；
理由：∵线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆，
由于∠A为钝角，因此∠A在圆内，
∴该圆为能完全覆盖该钝角三角形的最小圆．
(3)的外心(外接圆的圆心)
理由：如图，的外接圆刚好覆盖E，F，H三点，与直线交于点D，连接DH和ＤF
∵，
且，
∴，
∵∠HGF=50°+60°=110°，
∴．
∴点G在点E，D之间．
即点G被外接圆覆盖，
此时该圆为能完全覆盖该四边形的最小圆．
因此，此基站应建在的外心处．
23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
答案:(1)证明见解析；(2)BH=．
(1)证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
(2)解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB sin∠BAE＝，
∵，
∴，
∴sin∠CBE=sin∠A=，
∴，
设BH=5x，EH=3x，
在Rt△BEH 中，
，解得，x=，
∴BH=．
24．如图，是的半径，且，是半圆上一点，连接，作，过点作半圆的切线，交的延长线于点，切点为，连接．
(1)当∥时，求证：；
(2)当 度时，为菱形．
答案:(1)见解析；(2)60
(1)证明：延长CB交AP于点F，连接OB、OE，
∵AD⊥AO，AD∥BC，
∴CF⊥AP，
∵BE∥AP，CF⊥AP，
∴CB⊥BE，即∠CBE=90°，
∵CE是⊙O的切线，则∠OEP=90°=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=AO=OE，
∵BE∥AP，
∴∠P=∠CEB，
在△CBE和△OEP中，
，
∴△CBE≌△OEP(AAS)，
∴CE=OP；
(2)解：∵ ABCD为菱形，
∴DA=AB=AO=OB，
∴△BAO为等边三角形，
∴∠BAP等于60度时， ABCD为菱形，
故答案为：60．
25．如图，已知以为直径的中，点，在的同侧，点是的中点，连接，过点作于点，于点．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的长．
答案:(1)证明见解析；(2)．
解：(1)如图1，连接，
则，
由点是的中点得，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴是的的切线；
(2)如图2，连接，，，
∵是的直径，
∴，
依据勾股室理得，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
26．如图，在四边形中，，过三点的圆交边于点E．
(1)求证：E是的中点；
(2)若，求证：．
答案:(1)见解析；(2)见解析
证明：(1)连接，
，
为直径，
，
，
，
是的中线，
是的中点．
(2)连接．
是的中点，
．
，
，
．
四边形是圆的内接四边形，
．
，
．
，
，
．
27．如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且．
(1)判断直线和的位置关系，并说明理由．
(2)过点作的切线交直线于点，若，的半径是3，求的正切值．
答案:(1)相切，见解析；(2)
解：(1)直线与的位置关系是相切.
理由：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴直线是的切线.
即：直线与的位置关系是相切；
(2)∵，的半径是3，
∴，，
在中，由勾股定理得：.
∵切于，切于，
∴，，
设，
在中，有勾股定理得：，
则，
解得：，
即，
∴，
即：．
28．如图，是的直径，点在上(点不与，重合)，直线交过点的切线于点，过点作的切线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
答案:(1)见解析；(2)
(1)证明：连接，如图，
∵、为的切线，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：作于，如图，设的半径为，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
而，
∴四边形为正方形，
∴，则，
∴和都为等腰直角三角形，
∴，，
在中，，
在中，，
即的值为．
29．如图，中，以为直径的交于点D，．
(1)求证：为的切线；
(2)在上取点E，使，过点E作交于点F．若，求的值．
答案:(1)见解析；(2)．
解：(1)证明：
∵为直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴为的切线．
(2)解：∵，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
30．如图，⊙O的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点(点不与点、重合)，连接交、于点、．
(1)当时，的长度为______；
(2)当点为劣弧的中点，且∽时，求的度数；
(3)当，且为直角三角形时，求四边形的面积(直接写出结果)．
答案:(1)；(2)18°；(3)或．
解:(1)如图，过点作于点，
故答案为：；
(2)如图，连接，
∵，
∴，
∵点为弧中点，
∴，，
∵，
∴，
在中，由外角定理①
(或在中，由外角定理)
在中，②
由①②解得；
(3)分两种情况讨论，
①当时，过点作于点，
；
②当时，连接，
同理得
综上所述，四边形AOEB的面积为或．

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