资源简介

导数双极值点问题
——韦达定理消元法
题型一方法：
对于出现形式证明题型，需要表示导函数的韦达定理
用参数替换与的表示式，使得只含有参数的式子出现，并求出参数取值范围
对含有参数的式子进行证明
例1.已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
【解析】(1)由题意可知，，
当时，，则在是单调递增；
当时，若，即时，
若，即时，和时，时，，
综上，时，在是单调递增；时，
在和递增，在递减
(2)由题意可设，是的两个根，则
（用分别表示出和）
，整理，得
，此时
设，求导得
恒成立，
在上单调递减，
例2.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
解析：由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时．
欲证不等式成立，只需证．
因为，所以，只需证．
令，
所以，区间内单调递减，且，所以，即证．
练习1：已知函数(aR)．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，为函数的两个极值点，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，根据的解的情况分类讨论得单调性；
（2）由（1）知，化简，不等式化为，再由不妨设，转化为只要证这个不等式可利用（1）中的结论证明．
【详解】
（1），令
当即时，，在上单调递增；
当即或时，
① 当时，在上单调递增；
② 当时，令，
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减.
（2）由（1）知时有两个极值点，
且，不妨设，
要证即证，即，
设由（1）知当时，在上单调递增，，则在上单调递减， .原式得证.
练习2：已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对求导，切线斜率为，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；
（2）由题意可得，是方程的两个不等式的实根，等价于，是方程的两个根，由根与系数的关系可得，，将转化为关于的函数，再利用单调性求最值即可求解.
【详解】
（1）由题意知，因为，
所以，，
所以所求切线方程为，即；
（2）由（1）知，
因为是的两个不同的极值点，
所以，是方程的两个根，可得，，，
易得，所以
，
，，
，因为可得，
所以，在单调递减，
，
所以在上单调递减，，
从而的取值范围为.
题型二方法：
1.方法对于出现形式证明题型，需要表示导函数的韦达定理
2.用韦达定理公式替换参数，并消元只含有或只含有的式子
3.判断单调区间，求最值证明
例3.已知.
（1）若，求的单调区间；
（2）已知函数有两个极值点（），若恒成立，试求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，结合导数与函数单调性的关系即可求解.
（2）根据题意可得是方程的两个不等正实根，利用韦达定理得，故，然后分离参数只需恒成立，，从而令，，利用导数求出的最小值即可求解.
【详解】
（1）时，，
所以，
，得（舍）或，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是
（2）由（1）得，
若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，
则，故，
要使恒成立，只需恒成立．即
因为，
，
设，，
，
，，即
所以，单调递减，当
由题意，要使恒成立，只需满足，即
所以实数的取值范围．
练习1.已知函数.
（1）求曲线上一点处的切线的方程；
（2）设函数的两个极值点为，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；（2）有条件可知是方程的两个实数根，得，代入 后消元得到，再根据换元，构造函数求最小值.
【详解】
对求导得：，故切线斜率为，
因此切线方程为，即，
故切线的方程为；
（2）函数，定义域为，
，
因为是函数的两个极值点，所以是方程的两不等正根，
则有，
∴，故，
且有，
，
，
令，则，
，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，，
所以，的最小值为.导数双极值点问题
——韦达定理消元法
题型一方法：
对于出现形式证明题型，需要表示导函数的韦达定理
用参数替换与的表示式，使得只含有参数的式子出现，并求出参数取值范围
对含有参数的式子进行证明
例1.已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
例2.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
练习1：已知函数(aR)．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，为函数的两个极值点，证明：．
练习2：已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.
题型二方法：
1.方法对于出现形式证明题型，需要表示导函数的韦达定理
2.用韦达定理公式替换参数，并消元只含有或只含有的式子
3.判断单调区间，求最值证明
例3.已知.
（1）若，求的单调区间；
（2）已知函数有两个极值点（），若恒成立，试求的取值范围.
练习1.已知函数.
（1）求曲线上一点处的切线的方程；
（2）设函数的两个极值点为，求的最小值.

展开更多......

收起↑