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北师大版七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（　　）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
2．将矩形纸带按如图所示方式折叠，若，则（　　）
A．130° B．125° C．120° D．115°
3．某同学在一次数学实践活动课中将-条对边互相平行的纸带进行两次折叠(如图) ．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠CBE=∠ABC，则∠1为（　　）
A．106° B．108° C．109° D．110°
4．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　）
A．22 B．24 C．42 D．44
5．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
6．对于实数x，我们规定 表示不大于x的最大整数，例如 ， ，若 ，则x的取值可以是（　　）
A．40 B．45 C．51 D．56
7．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
8．如图（1）是长方形纸片， ，将纸片沿AC折叠成图（2），再沿EC折叠成图（3），则图（3）中 为（　　）
A． B． C． D．
9．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[﹣3.6]＝﹣4，对于任意实数x下列式子中成立的是（　　）
A．[x]＝x B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]＝n+[x]
10．如图是由11个等边三角形拼成的六边形.若最小等边三角形的边长为 ，最大等边三角形的边长为 ，则 与 的关系为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
12．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=(　　)
A．24　　　　 B．25　　　　　
C．26　　　 D．28
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是　 　．
14．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为 　 　．
15．在综合拓展实验课中，某小组裁剪出了1张边长为a的正方形纸片，3张长为a，宽为b的长方形纸片和1张边长为b的正方形纸片如图1．将这些纸片无缝拼接放置在长方形ABCD中如图2所示，若图2中的阴影部分的周长：长方形ABCD的周长，则图2中阴影部分的面积：长方形ABCD的面积　 　．
16．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=　 　度．
17．如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1，P2的面积最小值为　 　。
18．观察下列等式： ， ， ， ，
请你把发现的规律用字母表示出来： 　 　．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
（1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：　 　；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：　 　；
（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：　 　；
（3）若，，求图2中阴影部分的面积．
20．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，已知，则　 　（直接写出结果）．
21．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，，，，设．
（1）填空：　 　，　 　；（用含的代数式表示）
（2）若，求的度数；
（3）若三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当等于多少度时？
22．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是　 　．
（2）若，，求的值．
（3）计算：．
23．
（1）计算观察下列各式填空：
第1个：　 　；
第2个：　 　；
第3个：　 　；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则　 　．
（3）利用（2）的猜想结论计算：　 　．
（4）扩展与应用：　 　．
24．在中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称为n倍角三角形．例如：在中，，，，则称为6倍角三角形．
（1）在中，，，则为　 　倍角三角形；
（2）若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数；
（3）如图，点E在上，交于点C，，，，．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．
25．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，直接写出和之间的数量关系　 　；
（2）如图2，过点作于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分，平分，若，，直接写出的度数．
26．阅读下面材料：
（1）小亮遇到这样问题：如图1，已知AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线.判断∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系.小亮通过思考发现：过点O作OP∥AB，通过构造内错角，可使问题得到解决.
请回答：∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系是　 　.
（2）如图2，将△ABC沿BA方向平移到△DEF（B、D、E共线），∠B=50°，AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分∠CGF、∠DEF相交于点P，求∠P的度数；
（3）如图3，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接FE并延长至点A，连接BA、BC和CA，做∠CBF和∠CEF的平分线交于点M，若∠ADC=α，则∠M=　 　（直接用含α的式子表示）.
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北师大版七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（　　）
①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，则有．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠CAB＋∠DAE=180°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，即∠1+2∠2+∠3=180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3=∠B=45°，
∴∠2=90°-∠3=45°，故②正确；
∵∠3=60°，
∴∠2=90°-60°=30°，∠1=90°-∠2=60°，
∴∠E=∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4=∠D=30°，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度进行计算即可得∠CAB＋∠DAE=180°即可判断①；根据平行线得性质可得∠3=∠B，可得∠2=90°-∠3=45°，即可判断② ；根据∠3=60°，可得∠1=60°，进而根据内错角相等即可判断③ ；根据题意可得∠3=45°，进而可得AD∥BC，则∠4=30°，即可判断④ .
2．将矩形纸带按如图所示方式折叠，若，则（　　）
A．130° B．125° C．120° D．115°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠可得，，
∵∠1=50°，
∴∠3=65°，
因为AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=115°；
故答案为：D.
【分析】由折叠可得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数.
3．某同学在一次数学实践活动课中将-条对边互相平行的纸带进行两次折叠(如图) ．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠CBE=∠ABC，则∠1为（　　）
A．106° B．108° C．109° D．110°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ ∠CBE=∠ABC ，∠ABC=∠ABE+∠CBE，
∴∠ABE=2∠CBE，
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴5∠CBE=180°，
∴∠CBE=36°，
∵BE∥CD，
∴∠CBE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-36°=144°，
∵∠BCD+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-144°=36°，
∴∠1=∠BCD-∠ECD=144°-36°=108°.
故答案为：B.
【分析】根据角的和差及∠CBE=∠ABC得∠ABE=2∠CBE，根据折叠的性质及平角的定义可得∠ABE+∠ABC=180°，据此求出∠CBE=36°，由二直线平行，同旁内角互补得∠CBE+∠BCD=180°，则得∠BCD=144°，根据折叠的性质及平角的定义可得∠BCD+∠ECD=180°，据此求出∠ECD=36°，最后根据∠1=∠BCD-∠ECD即可算出答案.
4．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（　　）
A．22 B．24 C．42 D．44
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设A的边长为a，B的边长为b.
由图1可得，
S阴影=a2-b2=2；
由图2可得，
S阴影=(a+b)2-a2-b2=ab=10；
由图3，得
S阴影=(2a+b)2-3a2-2b2
=4a2+4ab+b2-3a2-2b2
=a2-b2+4ab
=2+4×10
=42.
故答案为：C.
【分析】利用图1和图2，得到a2-b2=2和ab=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代换，可求值.关键还在于掌握a+b，a-b，a2+b2，ab这四个式子之间得关系.
5．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；
②，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；
③，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；
④，依据完全平方公式，，关系式正确；
⑤ 依据完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，关系式不正确；
故选：A
【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。
6．对于实数x，我们规定 表示不大于x的最大整数，例如 ， ，若 ，则x的取值可以是（　　）
A．40 B．45 C．51 D．56
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵[x]表示不大于x的最大整数，[ ]=5，
∴ ，
解得：46≤x＜56，
故x的取值可以是：51．
故答案为：C．
【分析】根据题干中给的定义列出不等式求解即可。
7．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
8．如图（1）是长方形纸片， ，将纸片沿AC折叠成图（2），再沿EC折叠成图（3），则图（3）中 为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图(1)，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠ACB=∠DAC=m°，
∴∠DCA=90°-m°，
如图(2)，∠DCE=90°-2m°，
如图(3)，∠ACD=90°-3m°，
故答案为：D.
【分析】证明∠ACB=∠DAC=m°，∠DCA=90°-m°，进而证明∠DCE=90° -2m°，即可解决问题.
9．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]＝3，[0.6]＝0，[﹣3.6]＝﹣4，对于任意实数x下列式子中成立的是（　　）
A．[x]＝x B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]＝n+[x]
【答案】B
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：A、如[3.6]=3， 不符合题意；
B、∵x]为不超过x的最大整数，则 x﹣[x] 是纯小数， ∴ 0≤x﹣[x]＜1 成立，符合题意；
C、如[3.6+0.6]=[4.1]=4， [3.6]+[0.6]=3+0=3， 两者不相等，不符合题意；
D、如 [n+x]＝n+[x]，只有当n为整数时成立，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据定义[x]为不超过x的最大整数逐一分析判断，如果能举出符合条件的反例，则证明该选项就是错误的。
10．如图是由11个等边三角形拼成的六边形.若最小等边三角形的边长为 ，最大等边三角形的边长为 ，则 与 的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设右下角的等边三角形它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，设右下角的等边三角形它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而可得b=x+3a，b=3x，整理可得 与 的关系.
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（　　）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C= =75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1= ∠BA1C= ×75°；
同理可得，
∠EA3A2=（ ）2×75°，∠FA4A3=（ ）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
故答案为：C．
【分析】首先依据两底角相等、三角形的内角和为180°求出∠BA1C的度数，然后再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，根据计算结果找出其中的规律，最后，依据规律可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数.
12．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=(　　)
A．24　　　　 B．25　　　　　
C．26　　　 D．28
【答案】A
【知识点】代数式求值；多项式乘多项式
【解析】【分析】由题意m，n，p，q是四个互不相同的正整数，又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，因为4=-1×2×（-2)×1，然后对应求解出m、n、p、q，从而求解．
【解答】∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2)×1，∴（6-m)（6-n)（6-p)（6-q)=-1×2×（-2)×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
【点评】此题是一道竞赛题，难度较大，不能硬解，要学会分析，把4进行分解因式，此题主要考查多项式的乘积，是一道好题
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是　 　．
【答案】18°
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设∠DEF=a，则∠EFG=a
折叠9次后CF与GF重合
，即
故答案为：18°
【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，根据直线平行性质即可求出答案。
14．如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．那么，，其中．例如，，，．现有，则x的值为 　 　．
【答案】或或
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵3a=[x]+1，
∴a=，
∵0≤a＜1，
∴0≤＜1，
解得：0≤[x]+1＜3，
-1≤[x]＜2，
∴[x]取-1，0，1，
当[x]=-1时，a==0，x=[x]+a=-1，
当[x]=0时，a==，x=[x]+a=，
当[x]=1时，a==，x=[x]+a=，
故答案为： -1或或 .
【分析】根据3a=[x]+1表示出a，根据a的取值范围列出关于[x]的不等式，解得[x]的取值范围，根据定义得[x]的取值，代入a=，x=[x]+a即可求解.
15．在综合拓展实验课中，某小组裁剪出了1张边长为a的正方形纸片，3张长为a，宽为b的长方形纸片和1张边长为b的正方形纸片如图1．将这些纸片无缝拼接放置在长方形ABCD中如图2所示，若图2中的阴影部分的周长：长方形ABCD的周长，则图2中阴影部分的面积：长方形ABCD的面积　 　．
【答案】11：40
【知识点】整式的混合运算；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图2所示：
由图可知：AD=a+b，AB=DC=2a，DH=b+a，EC=a，
∴长方形ABCD的周长=2（a+b+2a）=6a+2b，
阴影部分的周长=2（a-b+a）=4a-2b，
∵阴影部分的周长：长方形ABCD的周长=7：13，
∴（4a-2b）：（6a+2b）=7：13，
整理得：a=4b，
又∵EH=EC-（DC-DH）=a-（2a-b-a）=b，
∴阴影部分的面积=（a-b）a-b2=12b2-b2=11b2，
长方形ABCD的面积=AD·AB=（a+b）·2a=40b2，
阴影部分的面积：长方形ABCD的面积=11b2：40b2=11：40.
故答案为：11：40.
【分析】如图2所示：由图可知：AD=a+b，AB=DC=2a，DH=b+a，EC=a，因此长方形ABCD的周长=2（a+b+2a）=6a+2b，阴影部分的周长=2（a-b+a）=4a-2b，再由阴影部分的周长：长方形ABCD的周长=7：13，代入数据整理可得a=4b，再由线段和差关系表示出EH=b，进而可表示出阴影部分的面积=11b2，长方形ABCD的面积=40b2，即可求得阴影部分的面积：长方形ABCD的面积的比.
16．观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律，∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=　 　度．
【答案】（n+1）×180
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，
∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°
∴（1）∠1+∠2=180°，（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，
∴∠1+∠2+∠P1+…+∠Pn=（n+1）×180°．
故答案为：（n+1）×180．
【分析】出现平行线间的折线可过折点作平行线构造出同旁内角，由同旁内角互补解决问题.
17．如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=7，△OMN的面积为14，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1，P2的面积最小值为　 　。
【答案】8
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H
∵ ，且MN=7
∴OH=4
∵点P关于OA对称的点为 P1，点P关于OB对称点为P2
∴ ∠AOP=∠AOP1， ∠BOP=∠BOP2， OP=OP1=OP2
∵∠AOB＝45°
∴ ∠P1OP2=∠P1OP+∠POP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°
∴ △P1OP2是等腰直角三角形
∴当OP最小时，△P1OP2的面积最小，
根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，
∴ △P1OP2的面积的最小值＝，
故答案为：8．
【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H，首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明 △P1OP2是等腰直角三角形，当OP最小时， △P1OP2的面积最小．
18．观察下列等式： ， ， ， ，
请你把发现的规律用字母表示出来： 　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： ， ；
；
同理 ， ； ，
；
．
故答案为： ．
【分析】观察可以发现， ， ； ． ； ， ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
（1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式：　 　；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式：　 　；
（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：　 　；
（3）若，，求图2中阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：阴影部分的面积为：
将，代入可得：
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）①由图示可知：阴影部分的边长为：（a-b），所以阴影部分的面积为：（a-b）2；
故答案为：（a-b）2；
②较大正方形的面积为：（a+b）2，长方形的面积为：ab，所以阴影部分的面积为：（a+b）2-4ab；
故答案为：（a+b）2-4ab；
（2）由（1）得：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
故答案为：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
【分析】（1）分别用两种方法表示阴影部分的面积即可；
（2）直接根据（1）中的两种表示方法得出等式即可；
（3）阴影部分的面积可以转化为大正方形的面积减去三个角上的直角三角形的面积，直接整体代入a+b=6和ab=8，即可求得阴影部分的面积。
20．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．
（1）求证：；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
（3）如图3，平分，平分，，已知，则　 　（直接写出结果）．
【答案】（1）证明：如图所示，过B点作，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过B点作，过F点作，
则，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
即的度数为；
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）∵平分，平分，
∴∠BCG=2∠BCR，∠ABC=2∠NBC，
∵ ，
∴∠MBC=∠BCR，即∠BCG=2∠MBC，
∵∠ABC=∠HAB+∠BCG， ，
∴∠BAH=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2∠NBM，
∴∠NBM=25°，
故答案为：25°.
【分析】（1）过B点作，利用平行线的性质及角的和差可推出，可得，即得；
（2）过B点作，过F点作，则，利用平行线的性质及角平分线的定义可得，，由，，可得，继而得解；
（3）由角平分线的定义可得∠BCG=2∠BCR，∠ABC=2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠MBC=∠BCR，即∠BCG=2∠MBC，根据∠BAH=∠ABC-∠BCG=2∠NBC-2∠MBC=2∠NBM即可求解.
21．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，，，，设．
（1）填空：　 　，　 　；（用含的代数式表示）
（2）若，求的度数；
（3）若三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当等于多少度时？
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴；
∵
∴
解得：
∴∠ACE=30°；
（3）解：分两种情况：
①如图①所示：当△ECD在BC上方时，
∵，
∴
∵，
∴
∴；
②如备用图1所示：当△ECD在BC下方时，
∵，
∴
又∵，
∴．
综上所述，当时等于30°或150°.
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，∠ACE=x，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=90°-x，∠ACD=∠ECD-∠ACE=90°-x，
故答案为：90°-x，90°-x；
【分析】（1）根据角的和差关系可得∠BCE=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠ECD-∠ACE，据此解答；
（2）由角的和差关系可得∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，则∠BCD=90°+(90°-x)=180°-x，然后结合∠BCD=5∠ACE建立方程可得x，据此可得∠ACE的度数；
（3）①当△ECD在BC上方时，由平行线的性质可得∠BCD+∠B=180°，由角的和差关系可得∠BCD=90°+∠BCE，代入求解即可；②当△ECD在BC下方时，由平行线的性质得∠BCD=∠B=60°，进而根据∠BCE=∠BCD+∠DCE计算可得答案.
22．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述过程所揭示的乘法公式是　 　．
（2）若，，求的值．
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）解：，
，
，
；
（3）解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图1得阴影部分的面积=a2-b2，由图2得阴影部分的面积=（a+b）（a-b），
根据图1、2得阴影部分的面积相等，得；
故答案为：；
【分析】（1）根据图1、2得阴影部分的面积相等即可求解；
（2）由将第一个等式的左边利用平方差公式分解因式，再整体代入计算即可；
（3）利用平方差公式将式子中的每一个因式分解因式，再按照有理数的混合运算的运算顺序计算即可.
23．
（1）计算观察下列各式填空：
第1个：　 　；
第2个：　 　；
第3个：　 　；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则　 　．
（3）利用（2）的猜想结论计算：　 　．
（4）扩展与应用：　 　．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
故答案为：．
【分析】
（1）根据整式的运算法则和公式进行计算即可。
（2）运用（1）中规律，推导出结果。
（3）（4）根据（2）中规律，运用添项法求出（3）、（4）结果。
24．在中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称为n倍角三角形．例如：在中，，，，则称为6倍角三角形．
（1）在中，，，则为　 　倍角三角形；
（2）若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数；
（3）如图，点E在上，交于点C，，，，．找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．
【答案】（1）3
（2）解：设最小内角的度数为，则最大内角为，
当最小内角为等腰三角形的顶角时，则底角为，得：
，解得，
当最小内角为等腰三角形的底角时，则顶角为，得：
，解得，
∴最小内角的度数为或．
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为5倍角三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴为5倍角三角形，
∴图中的n倍角三角形有和，它们都是5倍角三角形．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形相关概念
【解析】【解答】解：（1） ， ，所以是3 倍角三角形 。
【分析】(1)根据三角形内角和180计算出第三个角是105°，最大内角是最小内角的3倍，即是3倍角三角形；(2) 题目要求找出图中所有的倍角三角形，所以根据已知条件，先快速求出各个内角，然后找到最大和最小内角比值是整数的三角形。
由角的关系计算出知：ABC内角度数分别为25，30，125；ABE内角度数分别为25，75，80；ACE内角度数分别为50，55，75；ABCEF内角度数分别为30，75，75；ADE内角度数分别为25，50，105；DCE内角度数分别为25，30，125.最大内角和最小内角的比值为整数则为所求，故ABC和DCE为5倍角三角形。
25．已知，点为平面内一点，于．
（1）如图1，直接写出和之间的数量关系　 　；
（2）如图2，过点作于点，求证：；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分，平分，若，，直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图2，过点作
，即，
又，
，
，，
，
，
（3）解：
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解（1）∵AM∥CN，AB⊥BC，
∴∠A+∠C=90°
故答案为：∠A+∠C=90°.
（3） 如图三作BG∥DM
设∠DBE=α，则∠DBC=2α+90°，∠BFC=3α.
则
∵BD⊥AM，
∴∠DFB=45°-α.
∴∠AFC=∠DFB+∠BFC=45°+2α.
∵∠FCB+∠NCF=180°，∠AFC+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=45°+2α.
由(2)知，∠NCB=2α，
∴2α+2(45°+2α) =180°，
解得α=15°.
∴∠EBC=90°+α=105°.
【分析】（1）已知AB⊥BC，由两直线平行同位角相等，即可推出∠A与∠C之间的数量关系；
（2）如图2作BG∥DM，然后根据同角的余角相等，可以得出∠ABD=∠CBG，再由平行线的性质，可以得出∠C=∠CBG，然后即可得∠ABD=∠C；
（3） 如图三作BG∥DM，然后设∠DBE=α，则∠DBC=2α+90°，∠BFC=3α，由BD⊥AM可以推出∠AFC=∠DFB+∠BFC=45°+2α，再由题上所给条件以及（2）中可得2α+2(45°+2α) =180°，然后解出α，求出∠EBC的度数.
26．阅读下面材料：
（1）小亮遇到这样问题：如图1，已知AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线.判断∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系.小亮通过思考发现：过点O作OP∥AB，通过构造内错角，可使问题得到解决.
请回答：∠O、∠BEO、∠DFO三个角之间的数量关系是　 　.
（2）如图2，将△ABC沿BA方向平移到△DEF（B、D、E共线），∠B=50°，AC与DF相交于点G，GP、EP分别平分∠CGF、∠DEF相交于点P，求∠P的度数；
（3）如图3，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接FE并延长至点A，连接BA、BC和CA，做∠CBF和∠CEF的平分线交于点M，若∠ADC=α，则∠M=　 　（直接用含α的式子表示）.
【答案】（1）∠EOF=∠BEO+∠DFO 参考小亮思考问题的方法，解决问题：
（2）解：如图2中，
∵DF∥BC，AC∥EF，
∴∠EDF=∠B=50°，∠F=∠CGF，
∴∠DEF+∠F=180°-50°=130°，
∵∠P+∠FGP=∠F+∠FEP，
∴∠P=∠F+∠FEP-∠FGP= ∠DEF+ ∠F=65°.
（3）90°- α
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵OP∥AB
∴∠EOP=∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OP∥CD，
∴∠FOP=∠DFO，
∴∠EOP+∠FOP=∠BEO+∠DFO，
即：∠EOF=∠BEO+∠DFO；
故答案为：∠EOF=∠BEO+∠DFO.
（ 3 ）如图3中，
易知∠M=∠FBM+∠CEM，
∵BF∥EC，
∴∠DCE=∠DBF，
∵∠DEC+∠DCE=180°-α，
∠FBM+∠CEM= ∠FBC+ ∠CED= （180°-α）=90°- α.
故答案为：90°- α.
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO，∠FOM=∠DFO，即可得出答案；
（2）由DF∥BC，AC∥EF，推出∠EDF=∠B=50°，∠F=∠CGF，推出∠DEF+∠F=180°-50°=130°，再由三角形内角和定理可得∠P+∠FGP=∠F+∠FEP，由此即可解决问题；
（3）由∠M=∠FBM+∠CEM= ∠FBC+ ∠CEM= （180°-α）=90°- α即可解决问题.
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