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浙教版七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
3．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（　　）
①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；
③2018—2022年进口额年增长率持续下降；
④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
4．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）
A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm
5．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
6．If m=2，then =（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
7．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
8．如果方程组 的解中的x与y的值相等，那么a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若 ， ，则 的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．如图，下列6种说法：①∠1与∠4是内错角；②∠1与∠2是同位角；③∠2与∠4是内错角；④∠4与∠5是同旁内角；⑤∠2与∠4是同位角；⑥∠2与∠5是内错角．其中正确的有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为　 　．
12．将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 　 　；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数　 　．
13．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是　 　(写出一个即可).
14．已知a2+ab+b2=7，a2-ab+b2=9，则（a+b）2=　 　．
15．对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：2※1=7，（﹣3）※3=3，则
※b=　 　．
16．已知非负数a,b,c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n． 则n-m的值为　 　.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
18．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
（1）图2中的阴影部分正方形的边长是　 　（用含a，b的代数式表示）；
（2）观察图1，图2，请写出，之间的等量关系是：　 　
（3）已知，求的值．
（4）如图3，C是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．
19．如图，直线，点B，D分别在，上，连结，平分交于点E，动点P在线段上（不与点B，点E重合），连结．
（1）填空：　 　；
（2）探索，，三者之间的等量关系，并说明理由；
（3）若，且（），求n值．
20．甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
（1）如图①，若，求；
（2）如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
21．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1：　 　，方法2：　 　．
观察图2请你写出三个代数式，，ab之间的数量关系：　 　．
（2）直接应用：根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值．
②已知的值．
（3）拓展应用：两个正方形，如图3摆放，边长分别是x，y，若，，求图中阴影部分面积和．
22．为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）请将图①和图②补充完整；
（3）已知该校共有学生800人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说的人数约为多少人？
23．同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　．
（2）如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
（3）如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版七年级下册期末压轴高难度尖子生密卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
【分析】先将a=1代入原方程组，进而即可解出x和y，再代入方程结合题意即可判断①；根据题意⑤+⑥，进而即可求出a，从而判断②；根据题意即可得到x+y=4，进而即可判断③；根据题意列出可能的解即可判断④。
2．已知三个数 满足 ， ， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴2（ ）＝18，
∴ ＝9，
∴ .
故答案为：A.
【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案.
3．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（　　）
①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；
②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；
③2018—2022年进口额年增长率持续下降；
④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，描述正确
②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年，描述正确
③2018—2022年进口额年增长率持续下降，描述错误，经过了下降-上升-下降的过程
④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元，描述正确，24.0-21.7=2.3万亿元
故选：A
【分析】增长率负值说明进出口额有降低，正增长率说明一直在增长，只是增长的速度变慢。
4．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）
A．84cm B．85cm C．86cm D．87cm
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设长方形的长为a， 宽为b， 高为h，
由图①得：h-b+a=90，
由图②得：h+b-a=80，
所以：h-b+a+h+b-a=90+80，
2h=170，
h=85cm，
故答案为：B.
【分析】设长方形的长为a， 宽为b， 高为h， 根据如图的两种情况列式，将两式相加即可得出h的长。
5．商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y， “什锦糖”甲 混合时所谓的相同质量是m， “什锦糖”乙 混合时所谓的相同金额是n， “什锦糖”甲单价为a， “什锦糖”甲单价为b， 则：
，
把y=40+x代入上式解得：x=60.
故答案为：B
【分析】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。
6．If m=2，then =（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解 ：化简分式，
原式=；
将m=2代入得 ：原式=。
故应选 ：D。
【分析】先算乘方，去绝对值符号，去括号；再算乘除法，接着根据除以一个数，等于乘以这个数的倒数，将分式化简，然后再将m=2，代入计算出结果即可。
7．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
8．如果方程组 的解中的x与y的值相等，那么a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
把（3）代入（1）得：3y+7y=10，
解得：y=1，x=1，
代入（2）得：a+（a﹣1）=5，
解得：a=3．故答案为：C．
【分析】因为x与y的值相等，可以根据3x+7y=10求出y=1，x=1，再代入ax+(a 1)y=5中，求出a的值。
9．若 ， ，则 的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将两个方程相加得 即 ．
故A符合题意.
故答案为：A.
【分析】观察方程组可知，把三个方程相加可得5x+5y+5z=25，从而求出x+y+z的值.
10．如图，下列6种说法：①∠1与∠4是内错角；②∠1与∠2是同位角；③∠2与∠4是内错角；④∠4与∠5是同旁内角；⑤∠2与∠4是同位角；⑥∠2与∠5是内错角．其中正确的有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．所以，题干中只有②④⑥正确，所以选C．
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图：过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥PG，
∴∠EAB+∠AEF=180°，∠CEF+∠ECD=180°，
∠CPG+∠PCD=180°，∠PAB+∠APG=180°，
而∠AEF=∠AEC+∠CEF，∠APG=∠APC+∠CPG，
∴∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，
又∵ ∠EAB和∠ECD的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合） ，
∴∠PAB=∠EAB，∠PCD=∠ECD，
∴∠APC=∠PCD-∠PAB=∠ECD-∠EAB=∠AEC=40°.
故答案为：40°.
【分析】过P作PG∥AB，过E作EF∥AB，由平行线的传递性可得AB∥CD∥EF∥PG，根据平行线的性质和角的构成即可得∠AEC=∠ECD-∠EAB=80°，∠APC=∠PCD-∠PAB，然后由角平分线的定义即可求解.
12．将表示成一个自然数的平方，则这个自然数是 　 　；若从一个正整数a开始，连续的四个整数的积再加上1，也可以用一个自然数的平方表示所得结果，即，其中a为正整数，那么这个自然数　 　．
【答案】；
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1
=24×（24+3）×[（24+1）×（24+2）]
=（242+24×3）×（242+24×3+2）+1
=（242+24×3）2+2×（242+24×3）+1
=（242+24×3+1）2，
=6492，
=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1，
=（a2+3a）+2（a2+3a）+1
=（a2+3a+1）2，
∴A=a2+3a+1，
故答案为：649，a2+3a+1，.
【分析】由=24×（24+1）×（24+2）×（24+3）+1=（242+24×3+1）2，=[a×（a+3）]×[（a+1）（a+2）]+1=（a2+3a+1）2，据此分别求解即可.
13．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式值是：(x+y)=18，(x-y)=0，(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3-xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是　 　(写出一个即可).
【答案】104020，102040等写出一个即可
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】
9x3-xy2 =x(9x
2-y
2)=x(3x+y)(3x-y), 当x=10, y=10时，x=10, 3x+y=3×10+10=40, 3x-y=3×10-10=20；
∵(3x+y)和(3x-y)两个因式可以互换位置，故用此方法产生的密码是： 104020或102040.
【分析】先分解因式，再根据题给原理代入已知数，破解密码。
14．已知a2+ab+b2=7，a2-ab+b2=9，则（a+b）2=　 　．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2+ab+b2=7①，a2-ab+b2=9②，
∴①+②得：2（a2+b2）=16，即a2+b2=8，
①-②得：2ab=-2，即ab=-1，
则原式=a2+b2+2ab=8-2=6，
故答案为：6
【分析】已知两等式相加减求出a2+b2与ab的值，原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
15．对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：2※1=7，（﹣3）※3=3，则
※b=　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：2※1=7，（﹣3）※3=3，∴解得：
∴ ※b=
×
+
×
+
×
=
=
，故答案为：
．
【分析】根据题中的新定义化简2※1=7，（-3）※3=3，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，所求式子利用新定义化简即可得到结果．
16．已知非负数a,b,c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n． 则n-m的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】已知，3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
②×2 ①得，a+5c=6，a=6 5c，
①×2 ②×3得，b 7c= 7，b=7c 7，
又已知a、b、c为非负实数，
所以，6 5c 0，7c 7 0，
可得, ，
S=5a+4b+7c=5×(6 5c)+4×(7c 7)+7c=10c+2，
所以10 10c 12，
12 10c+2=S 14，
即m=14，n=12，
n m= 2，
故答案为 2.
三、综合题（本大题共7小题，共66分）
17．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
18．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
（1）图2中的阴影部分正方形的边长是　 　（用含a，b的代数式表示）；
（2）观察图1，图2，请写出，之间的等量关系是：　 　
（3）已知，求的值．
（4）如图3，C是线段上的一点，以，为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴①
∵，
∴②
∵①+②，得：
∴，
∴，
（4）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y
∴，
解得，
；
另解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）根据图2中的数据可得阴影部分正方形的边长为：；
故答案为：；
（2）图1的面积为：4ab，图2中空白的面积为：（a+b）2-（a-b）2，
∵图1中的面积和图2中空白的面积相等，
∴（a+b）2-（a-b）2=4ab，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据图中的数据直接利用线段的和差求解即可；
（2）根据不同的表达式表示同一个图形的面积的可得答案；
（3）利用完全平方公式可得，，再相加可得，最后求出即可；
（4）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据题意列出方程组求出x、y的值，再利用三角形的面积公式计算即可.
19．如图，直线，点B，D分别在，上，连结，平分交于点E，动点P在线段上（不与点B，点E重合），连结．
（1）填空：　 　；
（2）探索，，三者之间的等量关系，并说明理由；
（3）若，且（），求n值．
【答案】（1）
（2）解：；
理由：过点P作，则．
，
，
，
∴，
（3）解：，
∴，
平分，
，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵AC∥MN，
∴∠CBE+∠BEN=180°，
∵平分 ，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠BEN+∠DBE=180°，
故答案为：180°.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠CBE+∠BEN=180°，由角平分线的定义可得∠CBE=∠DBE，利用等量代换即得结论；
（2） ；理由：过点P作，则PQ∥MN∥AC，利用平行线的性质可得， ， 根据角的和差即可求解；
（3）由平行线的性质及已知可得， 由角平分线的定义可得 ， 根据平行线的性质可得 ∴， 从而得出， 结合已知即可求出n值.
20．甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下：
第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，．
第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状．
第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状．
请根据上面的操作步骤，解答下列问题：
（1）如图①，若，求；
（2）如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
解得：，
∵．
∴；
（2）解：如图所示，
过点分别作的平行线，
∴，
∴，
设，
又∵，
∴，，
∴，，
∴；
（3）∵，，，
即，
∴，
由（2）可得，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由可得，结合求出∠D=60°，由，利用平行线的性质即可求解；
（2）过点分别作的平行线，则AC∥ME∥DN∥BF，利用平行线的性质可设，可得，，利用补角的性质即得结论；
（3）由（2）结论可得，即得，由（2）可得，结合已知可得，即得，据此即可求出∠G.
21．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a，宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请你用两种不同的含a，b的式子表示图2大正方形的面积：
方法1：　 　，方法2：　 　．
观察图2请你写出三个代数式，，ab之间的数量关系：　 　．
（2）直接应用：根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求的值．
②已知的值．
（3）拓展应用：两个正方形，如图3摆放，边长分别是x，y，若，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）；；
（2）解：①∵
又：，代入得
②令，
∴，
∴
∴
（3）解：由题知：，
∴
∴
∴
图中阴影部分面积为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）方法1：可以直接用正方形的面积计算公式来求：（a+b）2；方法2：把正方形的面积看成两个矩形和两个小正方形的面积和：ab+ab+a2+b2=a2+2ab+b2；所以（a+b）2=a2+2ab+b2；
故第1空答案为：（a+b）2；第2空答案为：a2+2ab+b2；第3空答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）先直接用大正方形的边长的平方写出大正方形的面积得：（a+b）2，再用两个矩形和两个小正方形的面积和表示大正方形的面积得：a2+2ab+b2，根据它们是同一个正方形的面积得出这两个式子相等即可；
（2）①由已知a+b=8，得出（a+b）2=a2+2ab+b2=64，得出2ab=64-（a2+b2），即可求得ab；②设a=2023-x，b=x-2021，则就可以理解为已知a2+b2，求ab，先计算a+b=2，然后通过变形可求得ab的值，也就是（2023-x）（x-2021）的值；
（3）已知中的BE=2也就是y-x=2，然后根据（x-y）2和x2+y2之间的关系，变形求出2xy的值，再求出（x+y）2的值，求它的算术平方根求得（x+y）的值，然后根据三角形面积计算公式求阴影部分的面积：，然后整理带入求值即可。
22．为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）请将图①和图②补充完整；
（3）已知该校共有学生800人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢小说的人数约为多少人？
【答案】（1）解：（名）．
答：该校对200名学生进行了抽样调查．
（2）解：喜欢科幻图书的人数：200-40-80-20=60（名），
喜欢科幻图书的人数所占的百分比：60÷200=30%，
补全统计图如图所示：
（3）解：（名），
答：全校学生中最喜欢小说的人数约为160名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据所给的统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出喜欢科幻图书的人数 为60名，再求出 喜欢科幻图书的人数所占的百分比 为30%，最后补全统计图即可；
（3）根据 该校共有学生800人， 计算求解即可。
23．同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　．
（2）如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数．
（3）如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数．
【答案】（1）70°D
（2）解：利用（1）的结论可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度数为45°；
（3）解：∵，
∴∠CDF＝180°-∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°-∠CDG-∠GDE＝98°，
利用（1）的结论可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度数为129°．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】 (1)AB∥CD， 过点E做EF∥AB，则EF∥CD.EF将 ∠AEC 分为∠1和∠2上下两部分，∠A=∠1 （两直线平行，内错角相等），同理∠C=∠2，因此，∠AEC=∠1+∠2=∠A+∠C=42°+28°=70°(2)∠AEC=∠A+∠C=36°+54°=90°，AD⊥ BC，因此∠BEF =12∠BED=12 ×90°=45°(3)利用猪蹄模型可以求∠BAE+∠EDH，也可以通过三角形内角和180°来求，无论那种方法，都必须先求出∠BAE即∠EAG。∠BAE=∠EAG=12∠BAG=12 × 12∠CDF=12 × 12(180°-∠BCD)=14 (180°-56°)=31°由此可得∠AED=180°-31°-20°=129°
故答案为： (1)70°(2)∠BEF=45°(3)∠AED=129°
【分析】熟知猪蹄模型又叫M模型和铅笔模型及其结论，提高解题速度。
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