资源简介

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
初二数学试卷
（时间90分钟 满分100分）
一．选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．直线在y轴上的截距是（ ）
A． B． C．1 D．2
2．下列关于x的方程中，其中说法正确的是（ ）
A．方程是一元三次方程
B．方程是一元三次方程
C．方程是一元二次方程
D．方程是分式方程
3．用换元法解关于x的方程，如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的一次函数，那么它的图像一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．若，则 B．若则
C．若，则 D．若，则
6．已知四边形中，与交于点O，，那么下列命题中错误的是（ ）
A．如果，，那么四边形是菱形 B．如果，，那么四边形是菱形
C．如果，，那么四边形是矩形 D．如果，，那么四边形是矩形
二．填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
7．方程的根是 ．
8．方程的解是 ．
9．已知直线经过点，那么不等式的解集是 ．
10．在分别标有1、2、3、4、6的五张卡片中随机抽取2张卡片，那么抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率是 ．
11．某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 ．
12．已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是 .
13．在直角坐标平面内，如果的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，已知点，那么点C的坐标是 ．
14．在矩形中，对角线交于点O，已知，，那么的长是 ．
15．如图，在梯形中，，，已知，，那么梯形的中位线长是 （用含m、n的式子表示）．
16．如图，是矩形的对角线，已知，，点E在边上，将矩形沿直线翻折，如果点B恰好落在对角线上，那么的长是 ．
三．（本大题共8题，第17—18题每题5分；第19—22题每题7分；第23题8分；第24题12分；满分58分）
17．解方程：．
18．解方程组：.
19．某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程，据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可完成；如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天完工．求甲乙两队单独完成此项工程各需要多少天？
20．如图，在梯形 中，，与交于点O，且．
(1)求证：；
(2)设，，当时，试用向量、表示向量．
21．某小区为美化小区环境，购买了两种规格的桂花树苗进行栽种，其中A种桂花树苗的价格为每株75元，B种桂花树苗的价格为每株100元，如果购买这两种桂花树苗共45株，其中A种桂花树苗的数量不超过B种桂花树苗数量的2倍．设购买A种桂花树苗x株，购买A、B两种桂花树苗的总费用是y元．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)根据（1）的结论，请你设计一种最省钱的购买方案，并求出此种方案的总费用．
22．如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，四边形的面积是30，求的长．
23．在平面直角坐标系中，已知直线经过定点P．

(1)求点P的坐标；
(2)一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点B、C（如图），如果直线将的面积平分，求k的值；
(3)在（2）的条件下，将直线向上平移2个单位后得到直线l，点A是直线l上的点，如果，求点A的坐标．
24．如图，点M是正方形的边上的一点，过点B作交的延长线于点N，连接交于点E．
(1)求的大小；
(2)如果，求证：；
(3)如果，当时，求的长．
参考答案
一、选择题
1．解：当时，，
∴所以直线在轴上的截距是1．
故选：C．
2．A．方程是一元二次方程，原选项错误，该选项不符合题意；
B．方程是一元三次方程，原选项正确，该选项符合题意；
C．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意；
D．方程是一元一次方程，原选项错误，该选项不符合题意；
故选：B．
3．解：如果设，
则关于x的方程可化为：，
可化为：，
故选：A．
4．解：∵，
∴关于x的一次函数经过第一、三象限，
故选：B．
5．解：A．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
B．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
C．若，则，故原说法是真命题，该选项符合题意；
D．若，则，故原说法是假命题，该选项不符合题意；
故选：C．
6．解：如图：
∵，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴四边形是菱形
故A选项是正确的；
∵
∴
∵，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵，
∴四边形是菱形
故B选项是正确的；
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴
∴四边形是矩形
故C选项是正确的；
∵，，
∴无法证明
∴无法证明四边形是平行四边形
故D选项是错误的；
故选：D．
二、填空题
7．解：x3-8=0，
x3=8，
解得：x=2．
故答案为：x=2．
8．解：原方程两边同乘得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，
将代入中可得；
将代入中可得；
则是原方程的增根，
故原分式方程的解为：．
故答案为：．
9．解：∵直线经过点，如图所示，
∴不等式的解集为直线落在轴上方的部分对应的的取值范围，
即．
故答案为：．
10．解：画树状图为：
由图可得抽到所有可能结果共有20种，其中一个是素数一个是合数的共有8种，
∴抽到的卡片上标的数恰好是一个素数和一个合数概率为，
故答案为：．
11．解：∵企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，这三年中每年的增长率相同，
∴设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是
1000（1+x）3=1331．
12．解：多边形每一个内角都等于
多边形每一个外角都等于
边数
故答案为：
13．解：∵的两条对角线的交点正好与坐标原点重合，点，
∴是的中点，
∴，
故答案为：．
14．解：∵四边形是矩形，
，
，
，
，
故答案为：．
15．解：过点D作交于E，如图，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴梯形的中位线长，
故答案为：．
16．解：如图，设点B恰好落在对角线上的点为，
四边形是矩形，
∴，
由勾股定理，得，
由折叠可得：，，，
∴，
设，则，
在中由勾股定理，得
解得：，
∴，
故答案为：5．
三、解答题
17．解：，
，
，
，
，
，
解得，，，
检验，当时，，当时，，
∴方程的解为．
18．解：
由①得：（x+2y）2＝9，
x+2y＝±3，
由②得：x（x+y）＝0，
x＝0，x+y＝0，
即原方程组化为：，，，，
解得：，，，，
所以原方程组的解为：，，，．
19．解：设甲乙两队单独完成此项工程分别需要天和天．根据题意，可列出方程组：
，
解得：，
经检验是原方程组的解，且符合题意，
答：甲乙两队单独完成此项工程分别需要20天和30天．
20．（1）证明：，
，，
∵
∴
∵
，
．
（2）∵，，
∴
∵，
∴
21．（1）解：由题意可得，
即与的函数关系式为；
（2）∵购买种树苗的数量不超过种树苗的数量的2倍，
，
解得，，
，
∴随的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时，
答：购买种树苗30棵；种树苗15棵时费用最少，最少费用为3750元．
22．（1）解：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，如图所示：
由（1）知
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∵四边形是菱形
∴
∵，菱形的面积是30，
∴
∴
∴．
23．（1）解：把代入，得，
∴直线经过定点．
（2）解：令，则，
∴，
∴，
令，则，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线与直线相交于，如图，
∵直线将的面积平分，
∴
∴，
解得：，
把代入，得，
∴，
解得：．
（3）解：由（2）知：，
直线向上平移2个单位后得到直线l，
则直线l解析式为，
如图，过点A作于E，
∵，，
∴
∴点A的纵坐标为2，
把代入，得，
解得：，
∴点A的坐标为．
24．（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：在上截取点，使，连接，
由（1）知，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（1）知，
∴，
∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是的角平分线，
作于点，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形，，
∴，，
∴，是等腰直角三角形，
∴．

展开更多......

收起↑