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期末高频考点检测卷-2023-2024学年数学八年级下册人教版
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．体育课上，甲、乙两名同学分别进行了6次立定跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．1，2， C．3，4，5 D．
3．已知在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如果函数的图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点是的边上的任意一点，若的面积为，的面积为，的面积为，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．与 的大小关系无法确定 D．
8．如图，在菱形中，，，点G是线段上的动点，点M是线段上的动点，点E，F分别是线段，的中点，则线段的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．直线：（，为常数且，）和直线：（，为常数且，）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．使有意义的x的取值范围是 ．
12．已知一组数据4，8，1，7，x的平均数是5，则x是 ．
13．如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长 米．
14．小天想要计算一组数据的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据，记这组新数据的方差为，则 ．（填“”、“”或“”）
15．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是 ．
16．如图，已知点是直线上一点，点C是x轴上一定点，四边形是平行四边形．在直线上有一动点P，若的最小值为，则点B的坐标为 ．

三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．

(1)求证：；
(2)连接，请判断的形状，并说明理由．
19．如图，将矩形折叠，使点、重合，折痕分别与、、相交于点、、，连接、．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若矩形的边，求菱形的边长．
20．为培养中学生的科技创新能力，某校组织了一次科技创新大赛，赛后校团委从参赛学生中随机抽取名学生，将他们的比赛成绩进行整理，分成、、、四组，并绘制成如下不完整的频数分布直方图，请结合图中信息，解答下列问题；
(1)请补全频数分布直方图，并填空：所抽取学生比赛成绩的中位数落在 组；
(2)把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如组的中间值为组的中间值为）来代替，请计算所抽取学生比赛成绩的平均数；
(3)若共有名学生参加此次科技创新大赛，请估计成绩不低于分的共有多少名学生
21．阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)计算：　　　　　，　　　　　；
若n为正整数，请你猜想　　　　　．
(2)计算：；
22．随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示．
(1)根据图象信息，______，______．
(2)求平平和安安的速度．
(3)求线段AB所在直线的函数表达式．
23．如图，直线与两坐标轴分别交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，的面积为．
(1)求的值；
(2)点在轴上，如果的面积为，点的坐标．
24．如图，矩形中，，，点E为射线上的一个动点，把沿折叠．点D的对应点为．
(1)求点刚好落在对角线上时，的长；
(2)求点刚好落在此矩形的对称轴上时，线段的长．
参考答案：
1．D
【分析】此题考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
故选D．
2．C
【分析】本题考查的是勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，不能构成勾股数，不符合题意；
B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵，
∴能构成勾股数，符合题意；
D、∵不是整数，
∴不能构成勾股数，不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等、邻角互补，解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴
故选：C．
4．B
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到，从而确定答案即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：函数的图象经过第二，三，四象限，
．
故选：B．
5．B
【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的性质．
根据二次根式的性质分别对每一项进行化简，即可得出答案．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选：B．
6．D
【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，之间的距离是，
故选：．
7．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得是同高，根据几何图形面积的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴的高都是，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选： ．
8．B
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识，利用垂线段最短求出的最小值是解题的关键．先利用菱形的性质求出，根据垂线段最短可知，根据中位线的性质可知从而得解．
【详解】解：连接、，与交于点O，
∵四边形是菱形，，
∴，，
又∵，
∴，
∵点G是线段上的动点，，
∴，
∵点E，F分别是线段，的中点，即是的中位线，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查了一次函数图像的知识，解题的关键在根据一次函数的图像得出和的符号．先根据直线经过的象限，得出和的符号，然后再判断直线的和的符号是否与直线一致，据此即可得出答案．
【详解】解：A. 直线：中，，，：中，，不一致，故本选项不符合题意；
B. 直线：中，，，：中，，则，一致，故本选项符合题意；
C. 直线：中，，，：中，，不一致，故本选项不符合题意；
D. 直线：中，，，：中，，不一致，故本选项不符合题意．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质，中点四边形等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．根据中点四边形的面积等于原四边形面积的一半即可解决问题．
【详解】解：根据中点四边形的性质可知，、是菱形，、是矩形，
四边形的面积，
四边形的面积四边形的面积，
四边形的面积，
，
四边形的面积，
四边形的面积为：．
故选：C．
11．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件“二次根式中的被开方数是非负数”．先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：有意义，
，解得．
故答案为：．
12．5
【分析】此题考查了已知一组数据的平均数求未知数据的值，根据题意可得出，计算即可求解．
【详解】解：根据题意可得出，
故答案为：5．
13．/
【分析】本题主要考查了最短路径问题．解题关键是熟练掌握轴对称性质，勾股定理解直角三角形．
由光的反射规律可知，物体和像是关于平面镜对称．设半圆的圆心为O，作半关于对称的半，点P关于在对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G，由轴对称性质知，，得到最短路线为：，由正方形性质知，,，得到, ，由勾股定理得到，即得．
【详解】设半圆的圆心为O，
作半关于对称的半，点P关于对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G，
则，，
激光途经的最短路线为：，
正方形中，,，
∴，
∵，
∴,，
∴，
∴，
∴激光途经的最短路线为米．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查方差的意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，差不变，则方差不变，
．
故答案为：．
15．8
【分析】此题考查的是三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于周长的两倍．
【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点，
∴，，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故答案为：8．
16．
【分析】直线与坐标轴夹角为，在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，此时点与点关于直线成轴对称，，的值最小．根据已知求得点的坐标为，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，根据两点间距离公式进行求解即可．
【详解】解：在轴正半轴上，作，连接交直线于点，延长交轴于点，
直线是两坐标轴夹角的角平分线，
点与点关于直线成轴对称，
，
，
∴当最小时，最小，
∵两点间线段最短，
∴当、P、B在同一直线上时，最小，即最小，且最小值为，
∴此时，
将点代入，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
∴点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，的坐标为，
∴，
解得：（舍去），，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，轴对称最短路径，两点间距离公式，解题的关键是：根据一次函数图象上点的坐标表示出线段长．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，化简绝对值、负整数指数幂：
（1）先计算负整数指数幂和二次根式乘法，再去绝对值，最后计算加减法即可；
（2）根据二次根式乘除混合计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形．
【详解】（1）证明：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
；
（2）解：是等边三角形，
理由如下：连接．
垂直平分，
为中点，
，
，
，
是等边三角形．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的性质与判定，全等三角形的性质与判定
（1）由对称性得，，利用“”得到，根据全等三角形的对应边相等得到，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；
（2）设，则，在中，由勾股定理得，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可知，
∵四边形是矩形，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）解：∵四边形是菱形，
∴
在矩形中，，设，则，
在中，由勾股定理得
∴
解得：，
∴
∴菱形的边长为．
20．(1)见解析，C
(2)分
(3)名
【分析】（1）由题意知，组人数为（人），然后补全统计图即可；根据中位数为第位数的平均数，求解作答即可；
（2）根据，计算求解即可；
（3）根据，求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，组人数为（人），
补全统计图如下；
由题意知，中位数为第位数的平均数，
∵，
∴中位数落在C组；
（2）解：由题意知，，
∴所抽取学生比赛成绩的平均数为分；
（3）解：由题意知，，
∴估计成绩不低于分的共有名学生．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，算术平均数，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，算术平均数，用样本估计总体是解题的关键．
21．(1)；；
(2)2023
【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式，类比例子解答即可；
（2）根据平方差公式，类比例子解答即可．
【详解】（1）解：
；
；
；
（2）解：原式
．
22．(1)15，10
(2)平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟；
(3)线段所在直线的函数表达式为．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意直接写出、的值即可；
（2）当时平平到达乙地，根据“速度路程时间”计算平平的速度；设安安的速度为千米分钟，根据二人相遇时两人路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可；
（3）根据“路程速度时间”求出时安安离乙地的距离，从而求出点的坐标；设分钟时安安到达甲地，根据“路程速度时间”列方程并求解，从而求得点的坐标；利用待定系数法求出线段所在直线的函数表达式即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，．
故答案为：15，10；
（2）解：平平的速度为（千米分钟）；
设安安的速度为千米分钟，当二人相遇时，得，解得，
平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟；
（3）解：当时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为（千米），
．
设分钟时安安到达甲地．
根据“路程速度时间”，得，解得，
．
设线段所在直线的函数表达式为、为常数，且．
将点和分别代入，
得，
解得，
线段所在直线的函数表达式为．
23．(1)
(2)或
【分析】（）求出点的坐标，得到的长度，由的面积为可得，解方程求出点的横坐标，进而可得点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值；
（）先求得，设点的横坐标为，则，由的面积为可得，解方程即可求解；
本题考查了一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
即，
∴，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴；
（2）解：∵，
∴直线解析式为，
把代入得，，
∴，
∴，
设点的横坐标为，则，
∵的面积为，
∴，
整理得，，
∴或，
解得或，
∴点的坐标为或．
24．(1)
(2)或或
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
（1）由勾股定理得出，由折叠的性质可知，，即可求出的长；
（2）分三种情况讨论：①当点落在对称轴上时，过点作于点；②当点落在对称轴上，且在矩形内部时；③当点落在对称轴上，且在矩形外部时，利用折叠和勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：四边形是矩形，，，
，，
，
由折叠的性质可知，，
（2）解：分三种情况讨论：
①当点落在对称轴上时，
直线是矩形的对称轴，，
，
如图，过点作于点，则四边形是矩形，
，，
设，
由折叠的性质可知，，，
，
，
在中，，
即，
解得：，即；
②当点落在对称轴上，且在矩形内部时，
直线是矩形的对称轴，，，
，，
设，则
由折叠的性质可知，，，
在中，，
，
在中，，
，
解得：，即；
③当点落在对称轴上，且在矩形外部时，
直线是矩形的对称轴，，，
，，
设，则
由折叠的性质可知，，，
在中，，
，
在中，，
，
解得：，即，
综上可知，线段的长为或或．
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