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21.4一元二次方程的解法 解答题专练
题型一、直接开平方法
1．用开平方法解下列方程：
（1）9x2﹣16＝0；
（2）（x﹣1）2＝﹣3．
2．用直接开方法解下列方程：
（1）（x）（x）＝8；
（2）4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2．
3．解下列方程：
（1）x2﹣1＝11；
（2）16x2＝5；
（3）0.2x20；
（4）9﹣（x﹣1）2＝0．
4．用直接开方法解下列方程：
（1）x2﹣27＝0；
（2）（x﹣2）2＝6；
（3）3（x﹣3）2＝75；
（4）（y+4）（y﹣4）﹣9＝0．
5．用直接开平方法解方程：
（1）（2）2＝6；
（2）3（x﹣1）2﹣6＝0；
（3）（x+3）（x﹣3）＝9；
（4）（x）2＝（1）2．
6．用直接开平方法解下列方程：
（1）x2﹣25＝0；
（2）4x2＝1；
（3）0.8x2﹣4＝0；
（4）4.3﹣6x2＝2.8．
7．用直接开平方法解下列方程：
（1）（2x﹣3）20；
（2）4（x﹣2）2﹣36＝0；
（3）x2+6x+9＝7；
（4）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0．
8．用直接开平方法解下列方程：
（1）3（x+1）2；
（2）（3x+2）2＝25；
（3）（x+1）2﹣4＝0；
（4）（2﹣x）2﹣9＝0．
题型二、配方法
9．用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0；
（2）6x2﹣2x﹣1＝0；
（3）2x2+1＝3x；
（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
10．用配方法解方程：
（1）x2﹣2x＝5
（2）x2x﹣2＝0；
（3）4x2﹣6x﹣4＝0
（4）3x．
11．用配方法解下列方程：
（1）2x2+4x＝8；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0；
（3）2x2+2x﹣6＝0；
（4）2t2﹣7t﹣4＝0．
12．用配方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）x2+x0；
（3）x2x+1＝0；
（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．
13．用配方法解下列方程：
（1）3x2﹣12x+1＝0；
（2）4x2﹣12x﹣1＝0；
（3）﹣2x2+x+1＝0；
（4）x2﹣2x﹣1＝0．
14．用配方法解方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）x2﹣4x+1＝0．
15．用配方法解下列方程：
（1）x2+6x＝﹣7；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）x（x﹣4）＝2﹣8x；
（4）4x2﹣8x+1＝0．
16．用配方法解方程：
（1）（2x﹣1）2＝5；
（2）x2+6x+9＝2；
（3）x2﹣2x+4＝﹣1．
题型三、公式法
17．用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
（2）16x2+8x＝3；
（3）x2+5＝3（x+2）．
18．用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0；
（2）2x2﹣x﹣1＝0；
（3）y2＝3y﹣2；
（4）3x2﹣1＝6x；
（5）2x2+5x﹣1＝0；
（6）6x（x+1）＝5x﹣1．
19．用公式法解关于x的方程：
（1）x2+mx+2＝mx2+3x（m≠1）
（2）x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0
20．用公式法解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）x2﹣1＝2（x+1）；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）；
（4）x2+3x﹣4＝0．
21．使用“公式法”解一元二次方程
（1）x2x0；
（2）2x2﹣21＝0；
（3）3x2+20＝2x2+8x．
22．用公式法解下列方程．
（1）x2﹣x＝﹣2；
（2）x2﹣2x＝2x+1；
（3）（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣4．
23．用公式法解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0
（2）5x2＝4x﹣1
（3）2x2﹣2x﹣1＝0
（4）4x（x）＝8．
24．用公式法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）3x2﹣10x﹣8＝0；
（3）y（2y+7）＝4；
（4）（x+2）（2x﹣9）＝﹣6．
题型四、因式分解法
25．用因式分解法解一元二次方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）4x2﹣4x+1＝0；
（3）4（x﹣2）2﹣9＝0；
（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0．
26．用因式分解法解方程：
（1）x2﹣6x＝0；
（2）4y2﹣16＝0；
（3）x（x﹣2）＝x﹣2；
（4）9（x+1）2﹣16（x﹣2）2＝0．
27．用因式分解法解方程：
（1）4x2＝2012x
（2）x（x+2）﹣4x＝0
（3）（2y+1）＝4y+2
（4）x2+24x+144＝0
（5）4x2﹣121＝0
（6）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．
28．用因式分解法解下列方程
（1）x（x﹣2）﹣x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣4x2＝0．
29．用因式分解法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0
（2）9x2﹣4＝0
（3）（3x﹣1）2﹣4＝0
（4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1）
30．用因式分解法解下列方程：
（1）16x2＝（x﹣2）2；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）（m+2）（2m﹣5）＝﹣10．
31．用因式分解法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0
（2）9x2﹣4＝0
（3）（3x﹣1）2﹣4＝0
（4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1）
（5）x2﹣4x﹣12＝0
（6）x2﹣12x+35＝0．
32．用因式分解法解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝3﹣x
（2）（x+3）2＝（2x﹣5）2
（3）（3x﹣1）（x﹣1）＝（4x+1）（x﹣1）
题型五、用指定的方法解方程
33．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8＝0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2＝0（公式法）
（4）（x+1）2＝2x+2（因式分解法）
34．按指定方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0（配方法）；
（2）2y2﹣3y﹣1＝0（公式法）；
（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x（适当方法）；
（4）2x2﹣x﹣1＝0（配方法）．
35．用指定的方法解方程：
（1）2x2﹣9x+8＝0（公式法）；
（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法）．
36．用指定的方法解方程：
（1）用配方法）；
（2）x2＝8x+20（用公式法）；
（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0（用因式分解法）；
（4）（x+2）（3x﹣1）＝10（用适当的方法）．
37．用指定方法解方程：
（1）（公式法）x2+4x﹣5＝0；
（2）（配方法）2x2﹣4x﹣3＝0．
38．请按指定的方法解方程．
（1）x2﹣4x﹣21＝0（配方法）；
（2）x2﹣2x﹣5＝0（公式法）．
39．请按指定的方法解方程．
①用公式法解方程：x2﹣x﹣5＝0；
②用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0．
40．按指定的方法解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0（直接开方法）；
（2）x2+4x﹣8＝0（配方法）；
（3）（x﹣2）2+10（x﹣2）+25＝0（因式分解法）；
（4）3x2﹣8x+2＝0（公式法）．
题型六、用合适的方法解方程
41．适当的方法解方程：
（1）3x2+2x﹣1＝0；
（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0．
42．用适当方法解方程
（1）（6x﹣1）2﹣25＝0；
（2）y2﹣y＝3（y﹣1）；
（3）x2x；
（4）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝8．
43．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）3x2﹣6x＝1；
（3）x2+8x﹣1＝0（用配方法）；
（4）x（x﹣2）＝2﹣x．
44．用适当的方法解方程；
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（3）（x+1）（x﹣1）．
45．用适当的方法解方程：
（1）．
（2）y2+4y＝10．
（3）．
46．用适当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0；
（2）9x2﹣12x﹣1＝0；
（3）x2+5x＝6；
（4）3x（2x﹣5）＝4x﹣10．
题型七 、用换元法解方程
47．阅读材料，解答问题．
材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，
我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到了降幂的目的，体现了　 　的数学思想；
（2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．
48．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
49．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到　 　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
50．解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到　 　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
（3）解方程x2﹣3|x|＝18．
题型八、解方程过程出错性问题
51．小明解一元二次方程2x2+5x+3＝0的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步）
（1）小明解此方程使用的是 　 　法；小明的解答过程是从第 　 　步开始出错的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
52．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下：
解：移项，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步
二次项系数化为1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步
配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步
因此（x﹣2）2＝1．第四步
由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步
解得x1＝3，x2＝1．第六步
（1）王明的解题过程从第 　 　步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程2x2﹣8x+3＝0．
53．阿进用因式分解法解一元二次方程5x2﹣15x＝6﹣2x时，他的做法如下：
解：方程两边分解因式，得5x（x﹣3）＝2（3﹣x），（第一步）
方程变形为5x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），（第二步）
方程两边同时除以（x﹣3），得5x＝﹣2，（第三步）
系数化为1，得．（第四步）
（1）阿进的解法是不正确的，他从第 　 　步开始出现了错误．
（2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程．
54．甲、乙两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如框：
甲： 2（x﹣2）＝（x﹣2）2 两边同除以（x﹣2），得：2＝x﹣2 则x＝4 （　　） 乙： 移项得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0 提公因式（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0 ∴x1＝2，x2＝0 （　　）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误打“×”，并写出你的解答过程．
题型九、新定义材料探究题
55．定义新运算：对于任意实数a、b，都有a b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
（1）若x （﹣4）＝6，求x的值；
（2）若m、n均为实数，且3 m的值小于10，判断关于x的方程2x2﹣nx﹣m＝0的根的情况．
56．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请判断关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0根的情况，并说明理由．
（2）若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值．
57．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
58．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程4x2+11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由．
（2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
题型十、配方法的应用
59．我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：；
（2）求2x2+4x的最小值．
（3）比较代数式：x2﹣1与6x﹣12的大小．
60．【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A﹣B的值，若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B．
【知识运用】
（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“＞、＝、＜”填空）：
①x﹣1 　 　x+3；
②若a＜b＜0，则a2　 　b2；
（2）试比较与6x2+2x+1与5x2+4x﹣3的大小，并说明理由；
【类比运用】
（3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2a（a＞0）得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为S2；则S1与S2的大小关系为：S1　 　S2；
（4）已知M＝2020×2023，N＝2021×2022，试运用上述方法比较M、N的大小，并说明理由．
1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：（应用配方法）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．
2．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）【探究学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3．
【解决问题】
(1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
(2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
(3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
3．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　；
(2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值．
4．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子：
[例]分解因式： ．
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式： ．
(2)请你运用上述配方法分解因式 ．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值
5．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
6．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根．
8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
9．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________；
(2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值；
(3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程．
10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册页中，我们通过探索知道：关于的一元二次方程，如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”
当时，该全整根方程的“最值码”是__________．
若该全整根方程的“最值码”是，则的值为__________．
(2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”．
(3)若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
11．（22-23九年级上·北京海淀·开学考试）阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．
探究方程是否存在常数根．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答：　 　．

参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　；
（2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　．中小学教育资源及组卷应用平台
21.4一元二次方程的解法 解答题专练
题型一、直接开平方法
1．用开平方法解下列方程：
（1）9x2﹣16＝0；
（2）（x﹣1）2＝﹣3．
【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案．
（2）根据直接开方法即可求出答案．
【详解】（1）∵9x2﹣16＝0，
∴，
∴，．
（2）∵（x﹣1）2＝﹣3．
∴，
∴，
∴，
∴原方程的解为，．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
2．用直接开方法解下列方程：
（1）（x）（x）＝8；
（2）4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2．
【分析】（1）先将方程整理为x2＝13，再直接开平方即可得；
（2）直接开平方可得2（2y﹣3）＝3（y﹣1）或2（2y﹣3）＝﹣3（y﹣1），再分别求解即可得．
【详解】（1）∵（x）（x）＝8，
∴x2﹣5＝8，
则x2＝13，
∴x＝±，
即x1，x2；
（2）∵4（2y﹣3）2＝9（y﹣1）2，
∴2（2y﹣3）＝3（y﹣1）或2（2y﹣3）＝﹣3（y﹣1），
解得：y1＝3，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．解下列方程：
（1）x2﹣1＝11；
（2）16x2＝5；
（3）0.2x20；
（4）9﹣（x﹣1）2＝0．
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤依次计算可得．
【详解】（1）∵x2﹣1＝11，
∴x2＝12，
则x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵16x2＝5，
∴x2，
则x1，x2；
（3）∵0.2x20，
∴0.2x2，
则x2＝3，
∴x1，x2；
（4）∵9﹣（x﹣1）2＝0，
∴（x﹣1）2＝9，
则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
∴x1＝4，x2＝﹣2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．用直接开方法解下列方程：
（1）x2﹣27＝0；
（2）（x﹣2）2＝6；
（3）3（x﹣3）2＝75；
（4）（y+4）（y﹣4）﹣9＝0．
【分析】（1）（2）（3）利用直接开平方法求解可得；
（4）先整理成y2＝25，再开方即可得．
【详解】（1）∵x2＝27，
∴x2＝81，
则x＝±9，即x1＝9，x2＝﹣9；
（2）∵（x﹣2）2＝6，
∴x﹣2＝±，
则x1，x2；
（3）∵3（x﹣3）2＝75，
∴（x﹣3）2＝25，
则x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，
解得x1＝8，x2＝﹣2；
（4）∵（y+4）（y﹣4）﹣9＝0，
∴y2﹣16﹣9＝0，
∴y2＝25，
∴y1＝5，y2＝﹣5．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．用直接开平方法解方程：
（1）（2）2＝6；
（2）3（x﹣1）2﹣6＝0；
（3）（x+3）（x﹣3）＝9；
（4）（x）2＝（1）2．
【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；
（2）利用直接开平方法求解可得；
（3）先整理成x2＝18，再直接开平方可得；
（4）利用直接开平方法求解可得．
【详解】（1）∵（2）2＝6，
∴2＝±，
解得，；
（2）∵3（x﹣1）2﹣6＝0，
∴3（x﹣1）2＝6，
则（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1，
∴，；
（3）∵（x+3）（x﹣3）＝9，
∴x2﹣9＝9，
则x2＝18，
∴，即x1＝3，x2＝﹣3；
（4）∵（x）2＝（1）2．
∴x1或x1，
解得x1＝1，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．用直接开平方法解下列方程：
（1）x2﹣25＝0；
（2）4x2＝1；
（3）0.8x2﹣4＝0；
（4）4.3﹣6x2＝2.8．
【分析】根据直接开平法即可求出答案．
【详解】（1）∵x2﹣25＝0，
∴x2＝25，
∴x＝±5．
（2）∵4x2＝1，
∴x2，
∴x＝±．
（3）∵0.8x2﹣4＝0，
∴x2＝5，
∴x＝±．
（4）∵4.3﹣6x2＝2.8，
∴x2，
∴x＝±．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
7．用直接开平方法解下列方程：
（1）（2x﹣3）20；
（2）4（x﹣2）2﹣36＝0；
（3）x2+6x+9＝7；
（4）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0．
【分析】利用直接开平方法求解可得．
【详解】（1）∵（2x﹣3）2，
∴2x﹣3，
∴x1，x2；
（2）∵4（x﹣2）2﹣36＝0，
∴4（x﹣2）2＝36，
则（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
则x1＝5，x2＝﹣1；
（3）∵x2+6x+9＝7，
∴（x+3）2＝7，
则x+3，
∴x＝﹣3；
（4）∵4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0，
∴4（3x﹣1）2＝9（3x+1）2，
则2（3x﹣1）＝3（3x+1）或2（3x﹣1）＝﹣3（3x+1），
解得x1，x2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．用直接开平方法解下列方程：
（1）3（x+1）2；
（2）（3x+2）2＝25；
（3）（x+1）2﹣4＝0；
（4）（2﹣x）2﹣9＝0．
【分析】利用直接开平方法求解可得．
【详解】（1）∵3（x+1）2，
∴（x+1）2，
则x+1＝±，
∴x1，x2；
（2）∵（3x+2）2＝25，
∴3x+2＝5或3x+2＝﹣5，
解得x1＝1，x2；
（3）∵（x+1）2﹣4＝0，
∴（x+1）2＝4，
则x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x1＝1，x2＝﹣3；
（4）∵（2﹣x）2﹣9＝0，
∴（2﹣x）2＝9，
则2﹣x＝3或2﹣x＝﹣3，
解得x1＝﹣1，x2＝5．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
题型二、配方法
9．用配方法解下列方程
（1）3x2﹣4x﹣2＝0；
（2）6x2﹣2x﹣1＝0；
（3）2x2+1＝3x；
（4）（x﹣3）（2x+1）＝﹣5．
【分析】各方程整理后，利用配方法求出解即可．
【详解】（1）原方程可化为x2x，
∴x2x，即（x）2，
∴x±，
∴x1，x2；
（2））原方程可化为x2x，
∴x2x，即（x）2，
∴x±，
∴x1，x2；
（3）原方程可化为x2x，
∴x2x，即（x）2，
∴x±，
∴x1＝1，x2；
（4）原方程可化为x2x＝﹣1，
∴x2x，即（x）2，
∴x±，
∴x1＝2，x2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．用配方法解方程：
（1）x2﹣2x＝5
（2）x2x﹣2＝0；
（3）4x2﹣6x﹣4＝0
（4）3x．
【分析】（1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）去分母后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1，
x1＝1，x2＝1；
（2）x2x﹣2＝0，
x2x＝2，
配方得：x2x+（）2＝2+（）2
（x）2，
x，
x1，x2；
（3）4x2﹣6x﹣4＝0，
4x2﹣6x＝4，
x2x＝1，
配方得：x2x+（）2＝1+（）2，
（x）2，
x±，
x1＝2，x2；
（4）3x，
x2﹣6x＝﹣9，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣9+9，
（x﹣3）2＝0，
x﹣3＝0，
x＝3，
即x1＝x2＝3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目是一道比较常见的题目，难度不是很大．
11．用配方法解下列方程：
（1）2x2+4x＝8；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0；
（3）2x2+2x﹣6＝0；
（4）2t2﹣7t﹣4＝0．
【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法得到（x﹣）2，然后利用直接开平方法解方程；
（3）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开平方法解方程；
（4）利用配方法得到（t）2，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】（1）x2+2x＝4，
x2+2x+1＝5，
（x+1）2＝5，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣1；
（2）x2﹣2x，
x2﹣2x+1，
（x﹣）2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1，x2＝1；
（3）x2+x＝3，
x2+x3，
（x）2，
x±，
所以x1，x2；
（4）t2t＝2，
t2t2，
（t）2，
t±，
所以t1＝4，t2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
12．用配方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）x2+x0；
（3）x2x+1＝0；
（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8．
【分析】（1）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可；
（2）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可；
（3）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可；
（4）先化成一般式，再利用配方法进行计算即可．
【详解】（1）x2﹣6x﹣4＝0，
移项得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝4+9，
即（x﹣3）2＝13，
开平方得：x﹣3＝±，
解得：x1＝3，x2＝3；
（2）x2+x0，
移项得：x2+x，
配方得：x2+x，
即（x）2＝2，
开平方得：x±，
解得：x1，x2；
（3）x2x+1＝0，
移项得：x2x＝﹣1，
配方得：x2x1，
即（x）2，
∵0，
∴原方程无解；
（4）（x﹣1）（x﹣3）＝8，
原方程化为x2﹣4x＝5，
配方得：x2﹣4x+4＝9，
即（x﹣2）2＝9，
开平方得：x﹣2＝±3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【点睛】本题考查解一元二次方程﹣配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
13．用配方法解下列方程：
（1）3x2﹣12x+1＝0；
（2）4x2﹣12x﹣1＝0；
（3）﹣2x2+x+1＝0；
（4）x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）3x2﹣12x+1＝0，
x2﹣4x0，
x2﹣4x，
x2﹣4x+44，
（x﹣2）2，
x﹣2＝±，
x﹣2或x﹣2，
x1＝2，x2＝2；
（2）4x2﹣12x﹣1＝0，
x2﹣3x0，
x2﹣3x，
x2﹣3x+（）2（）2，
（x）2，
x±，
x或x，
x1，x2；
（3）﹣2x2+x+1＝0，
x2x0，
x2x，
x2x+（）2（）2，
（x）2，
x±，
x或x，
x1＝1，x2；
（4）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝6，
x﹣2＝±，
x﹣2或x﹣2，
x1＝2，x2＝2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
14．用配方法解方程：
（1）x2﹣4x+2＝0；
（2）x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【详解】（1）x2﹣4x+2＝0，
移项，得x2﹣4x＝﹣2，
配方，得x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
开方，得x﹣2＝±，
解得：x1＝2，x2＝2．
（2）x2﹣4x+1＝0．
移项，得x2﹣4x＝﹣1，
配方，得x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
开方，得x﹣2＝±，
解得：x1＝2，x2＝2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
15．用配方法解下列方程：
（1）x2+6x＝﹣7；
（2）x2﹣2x﹣3＝0；
（3）x（x﹣4）＝2﹣8x；
（4）4x2﹣8x+1＝0．
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用配方法求出解即可；
（3）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（4）方程整理后，利用配方法求出解即可．
【详解】（1）∵x2+6x＝﹣7，
∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，
则x+3＝±．
∴x＝﹣3±，
即x1＝﹣3，x2＝﹣3；
（2）配方得：x2﹣2x+（）2﹣（）2﹣3＝0，
即（x）2＝5．
两边开平方，得x±，
∴x1，x2；
（3）去括号、移项、合并同类项，得x2+4x＝2，
配方，得x2+4x+4＝6，即（x+2）2＝6，
开方，得x+2＝±，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣2；
（4）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得x2﹣2x，
配方，得x2﹣2x+11，即（x﹣1）2．
开方得：x﹣1＝±．
解得：x1＝1，x2＝1．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．用配方法解方程：
（1）（2x﹣1）2＝5；
（2）x2+6x+9＝2；
（3）x2﹣2x+4＝﹣1．
【分析】（1）方程利用直角开平方法求出解即可；
（2）方程变形后，开方即可求出解；
（3）方程利用配方法求出解即可．
【详解】（1）方程（2x﹣1）2＝5，
开方得：2x﹣1＝±，
解得：x1，x2；
（2）方程变形得：（x+3）2＝2，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3，x2＝﹣3；
（3）方程变形得：x2﹣2x＝﹣5，
配方得：x2﹣2x+1＝﹣4，即（x﹣1）2＝﹣4，
此方程无解．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
题型三、公式法
17．用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
（2）16x2+8x＝3；
（3）x2+5＝3（x+2）．
【分析】（1）首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案；
（2）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案；
（3）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的符号，进而利用求根公式得出答案．
【解答】（1）2x2﹣3x﹣4＝0；
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41．
∴x，
∴x1，x2．
（2）16x2+8x＝3；
解：将原方程化为一般形式，得16x2+8x﹣3＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×16×（﹣3）＝256，
∴x．
∴x1，x2．
（3）x2+5＝3（x+2）．
解：将方程整理为一般形式，得x2﹣3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13．
∴x．
∴x1，x2．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法﹣公式法，本题属于基础题型．
18．用公式法解下列方程：
（1）2x2+5x﹣1＝0；
（2）2x2﹣x﹣1＝0；
（3）y2＝3y﹣2；
（4）3x2﹣1＝6x；
（5）2x2+5x﹣1＝0；
（6）6x（x+1）＝5x﹣1．
【分析】（1）首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案；
（2）首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案；
（3）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案；
（4）方程整理后，首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案；
（5）首先得出b2﹣4ac的值，进而利用求根公式得出答案；
（6）方程整理成一般式，得出b2﹣4ac的值，即可得出答案．
【详解】（1）2x2+5x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
∴x，
所以x1，x2；
（2）2x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴x，
所以x1＝1，x2；
（3）y2＝3y﹣2，
整理得y2﹣3y+2＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
∴y，
所以y1＝2，y2＝1；
（4）3x2﹣1＝6x，
整理得3x2﹣6x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48＞0，
∴x，
所以x1＝1，x2＝1；
（5）2x2+5x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝52﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，
∴x，
所以x1，x2；
（6）6x（x+1）＝5x﹣1，
整理得6x2+x+1＝0，
∵a＝6，b＝1，c＝1，
∴Δ＝12﹣4×6×1＝﹣23＜0，
方程没有实数解．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法﹣公式法，本题属于基础题型．
19．用公式法解关于x的方程：
（1）x2+mx+2＝mx2+3x（m≠1）
（2）x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0
【分析】（1）根据公式法即可求出答案；
（2）根据公式法即可求出答案．
【详解】（1）∵x2+mx+2＝mx2+3x，
∴（1﹣m）x2+（m﹣3）x+2＝0，
∴a＝1﹣m，b＝m﹣3，c＝2，
∴△＝（m﹣3）2﹣8（1﹣m）
＝m2+2m+1，
∴x
；
∴x或x＝1；
（2）∵x2﹣4ax+3a2+2a﹣1＝0，
∴a＝1，b＝﹣4a，c＝3a2+2a﹣1，
∴△＝16a2﹣4（3a2+2a﹣1）
＝4（a2﹣2a+1）
＝4（a﹣1）2，
∴x
＝2a±|a﹣1|
∴x＝3a﹣1或x＝a+1；
【点睛】本题考查公式法，解题的关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．
20．用公式法解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）x2﹣1＝2（x+1）；
（3）2x2﹣3x﹣1＝0（用公式法）；
（4）x2+3x﹣4＝0．
【分析】（1）直接利用公式法求解即可；
（2）整理为一般式，再利用公式法求解即可；
（3）、（4）直接利用公式法求解即可．
【详解】（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
则x，
即x1＝2，x2＝1；
（2）整理，得：x2﹣2x﹣3＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16，
则x，
即x1＝3，x2＝﹣1；
（3）∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
则x，
即x1，x2；
（4）∵a＝1，b＝3，c＝﹣4，
∴Δ＝32﹣4×1×（﹣4）＝25，
则x，
∴x1＝1，x2＝﹣4．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．使用“公式法”解一元二次方程
（1）x2x0；
（2）2x2﹣21＝0；
（3）3x2+20＝2x2+8x．
【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入求根公式即可解答本题；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入求根公式即可解答本题；
（3）整理后先求出b2﹣4ac的值，然后根据求根公式和判别根的情况的方法即可解答本题．
【详解】（1）x2x0，
∵a＝1，b，c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×（）＝3＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（2）2x2﹣21＝0；
∵a＝2，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0，
∴x，
∴x1＝x2；
（3）3x2+20＝2x2+8x，
化简，得
x2﹣8x+20＝0，
∵a＝1，b＝﹣8，c＝20，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
此方程无实数根．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
22．用公式法解下列方程．
（1）x2﹣x＝﹣2；
（2）x2﹣2x＝2x+1；
（3）（3x﹣1）（x+2）＝11x﹣4．
【分析】各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式即可求出解．
【详解】（1）方程整理得：x2﹣x+2＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝2，
∵△＝1﹣8＝﹣7＜0，
∴方程无解；
（2）方程整理得：x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+4＝20，
∴x2±，
则x1＝2，x2＝2；
（3）方程整理得：3x2﹣6x+2＝0，
这里a＝3，b＝﹣6，c＝2，
∵△＝36﹣24＝12，
∴x，
则x1，x2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
23．用公式法解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0
（2）5x2＝4x﹣1
（3）2x2﹣2x﹣1＝0
（4）4x（x）＝8．
【分析】各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于等于0，代入求根公式求出解即可．
【详解】（1）这里a＝1，b＝﹣4，c＝1，
∵△＝16﹣4＝12，
∴x2±；
（2）方程整理得：5x2﹣4x+1＝0，
这里a＝5，b＝﹣4，c＝1，
∵△＝16﹣20＝﹣4＜0，
∴方程无解；
（3）这里a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∵△＝4+8＝12，
∴x，
解得：x1，x2；
（4）方程整理得：2x2﹣5x﹣4＝0，
这里a＝2，b＝﹣5，c＝﹣4，
∵△＝25+32＝57，
∴x，
则x1，x2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
24．用公式法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）3x2﹣10x﹣8＝0；
（3）y（2y+7）＝4；
（4）（x+2）（2x﹣9）＝﹣6．
【分析】各方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】（1）这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∵△＝4+4＝8，
∴x1±；
（2）这里a＝3，b＝﹣10，c＝﹣8，
∵△＝100+96＝196，
∴x，
解得：x1＝4，x2；
（3）方程整理得：2y2+7y﹣4＝0，
这里a＝2，b＝7，c＝﹣4，
∵△＝49+32＝81，
∴x，
解得：x1，x2＝﹣4；
（4）整理得：2x2﹣5x﹣12＝0，
这里a＝2，b＝﹣5，c＝﹣12，
∵△＝25+96＝124，
∴x．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
题型四、因式分解法
25．用因式分解法解一元二次方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）4x2﹣4x+1＝0；
（3）4（x﹣2）2﹣9＝0；
（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0．
【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先利用完全平方公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2；
（2）4x2﹣4x+1＝0，
（2x﹣1）2＝0，
解得x1＝x2；
（3）4（x﹣2）2﹣9＝0，
（2x﹣4﹣3）（2x﹣4+3）＝0，
（2x﹣7）（2x﹣1）＝0，
2x﹣7＝0或2x﹣1＝0，
x1，x2；
（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0，
（x+1+4x﹣2）（x+1﹣4x+2）＝0，
（5x﹣1）（3﹣3x）＝0，
5x﹣1＝0或3﹣3x＝0，
x1，x2＝1．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
26．用因式分解法解方程：
（1）x2﹣6x＝0；
（2）4y2﹣16＝0；
（3）x（x﹣2）＝x﹣2；
（4）9（x+1）2﹣16（x﹣2）2＝0．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）x2﹣6x＝0，
x（x﹣6）＝0，
x＝0，x﹣6＝0，
x1＝0，x2＝6；
（2）4y2﹣16＝0，
（2y+4）（2y﹣4）＝0，
2y+4＝0，2y﹣4＝0，
y1＝﹣2，y2＝2；
（3）x（x﹣2）＝x﹣2，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0，x﹣1＝0，
x1＝2，x2＝1；
（4）9（x+1）2﹣16（x﹣2）2＝0，
[3（x+1）+4（x﹣2）][3（x+1）﹣4（x﹣2）]＝0，
3（x+1）+4（x﹣2）＝0，3（x+1）﹣4（x﹣2）＝0，
x1，x2＝11．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
27．用因式分解法解方程：
（1）4x2＝2012x
（2）x（x+2）﹣4x＝0
（3）（2y+1）＝4y+2
（4）x2+24x+144＝0
（5）4x2﹣121＝0
（6）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．
【分析】（1）线移项，然后提公因式即可解答本题；
（2）根据提公因式法可以解答此方程；
（3）移项，然后合并同类项即可解答此方程；
（4）根据完全平方公式可以解答此方程；
（5）根据直接开平方法可以解答此方程；
（6）根据平方差公式可以解答此方程．
【解答】解（1）4x2＝2012x
4x2﹣2012x＝0
4x（x﹣503）＝0
∴4x＝0或x﹣503＝0，
解得，x1＝0，x2＝503；
（2）x（x+2）﹣4x＝0
x[（x+2）﹣4]＝0
x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得，x1＝0，x2＝2；
（3）（2y+1）＝4y+2
2y﹣4y＝1
﹣2y＝1，
y＝﹣0.5；
（4）x2+24x+144＝0
（x+12）2＝0
∴x1＝x2＝﹣12；
（5）4x2﹣121＝0
4x2＝121
∴；
（6）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．
（x﹣4）2﹣（5﹣2x）2＝0
[（x﹣4）+（5﹣2x）][（x﹣4）﹣（5﹣2x）]＝0
（﹣x+1）（3x﹣9）＝0
∴﹣x+1＝0，3x﹣9＝0，
解得，x1＝1，x2＝3．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．
28．用因式分解法解下列方程
（1）x（x﹣2）﹣x+2＝0；
（2）（x﹣3）2﹣4x2＝0．
【分析】（1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解；
（2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解．
【详解】（1）x（x﹣2）﹣x+2＝0，
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0；
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1；
（2）（x﹣3）2﹣4x2＝0．
（x﹣3+2x）（x﹣3﹣2x）＝0，
∴3x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
29．用因式分解法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0
（2）9x2﹣4＝0
（3）（3x﹣1）2﹣4＝0
（4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1）
【分析】（1）根据提取公因式法，可分解因式，可得方程的解；
（2）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解；
（3）根据平方差公式，可分解因式，可得方程的解；
（4）根据等式的性质，可得方程的右边为零，根据因式分解，可得方程的解．
【详解】（1）因式分解，得
（x﹣1）[（x﹣1）﹣2]＝0，于是，得
x﹣1＝0，x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3；
（2）因式分解，得
（3x+2）（3x﹣2）＝0，于是，得
3x+2＝0，3x﹣2＝0，
解得x1，x2；
（3）因式分解，得
[（3x﹣1）+2][（3x﹣1）﹣2]＝0，于是，得
3x+1＝0，3x﹣3＝0，
解得x1，x2＝1；
（4）移项，得
5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）＝0
因式分解，得
（x﹣3）[5x﹣（x+1）]＝0，于是，得
x﹣3＝0，4x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解解法一元二次方程的关键是对方程因式分解将次转化成两个一元一次方程．
30．用因式分解法解下列方程：
（1）16x2＝（x﹣2）2；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）（m+2）（2m﹣5）＝﹣10．
【分析】（1）先移项得到16x2﹣（x﹣2）2＝0，然后利用因式分解法求解；
（2）先移项得到3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法求解；
（3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法求解．
【详解】（1）16x2﹣（x﹣2）2＝0，
（4x+x﹣2）（4x﹣x+2）＝0，
4x+x﹣2＝0或4x﹣x+2＝0，
所以x1，x2；
（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0或3x+2＝0，
所以x1＝1，x2；
（3）2m2﹣m＝0，
m（2m﹣1）＝0，
m＝0或2m﹣1＝0，
所以m1＝0，m2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
31．用因式分解法解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0
（2）9x2﹣4＝0
（3）（3x﹣1）2﹣4＝0
（4）5x（x﹣3）＝（x﹣3）（x+1）
（5）x2﹣4x﹣12＝0
（6）x2﹣12x+35＝0．
【分析】各方程右边化为0，左边化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】（1）分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）＝0，
可得x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3；
（2）分解因式得：（3x﹣2）（3x+2）＝0，
可得3x﹣2＝0或3x+2＝0，
解得：x1，x2；
（3）分解因式得：（3x﹣1+2）（3x﹣1﹣2）＝0，
可得3x+1＝0或3x﹣3＝0，
解得：x1，x2＝1；
（4）方程移项得：5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（4x﹣1）＝0，
解得：x1＝3，x2；
（5）分解因式得：（x+2）（x﹣6）＝0，
可得x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣6；
（6）分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，
可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝5，x2＝7．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
32．用因式分解法解下列方程：
（1）（x﹣3）2＝3﹣x
（2）（x+3）2＝（2x﹣5）2
（3）（3x﹣1）（x﹣1）＝（4x+1）（x﹣1）
【分析】（1）方程右边的整体移到左边，提取公因式变形后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程来求解；
（3）方程右边的整体移到左边，提取公因式变形后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】（1）方程变形得：（x﹣3）2+（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣2）＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝3，x2＝2；
（2）开方得：x+3＝2x﹣5或x+3＝﹣2x+5，
解得：x1＝8，x2；
（3）方程移项得：（3x﹣1）（x﹣1）﹣（4x+1）（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）（﹣x﹣2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
题型五、用指定的方法解方程
33．按指定的方法解方程：
（1）9（x﹣1）2﹣5＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣4x﹣8＝0（配方法）
（3）6x2﹣5x﹣2＝0（公式法）
（4）（x+1）2＝2x+2（因式分解法）
【分析】（1）移项，系数化成1，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，系数化成1，配方后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（4）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）移项得：9（x﹣1）2＝5，
（x﹣1）2，
开方得：x﹣1＝±，
x1，x2；
（2）2x2﹣4x﹣8＝0，
2x2﹣4x＝8，
x2﹣2x＝4，
配方得：x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
开方得：x﹣1＝±，
x1＝1，x2＝1；
（3）6x2﹣5x﹣2＝0，
b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×6×（﹣2）＝73，
x，
x1，x2；
（4）（x+1）2＝2x+2，
（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（x+1﹣2）＝0，
x+1＝0，x+1﹣2＝0，
x1＝﹣1，x2＝1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程．
34．按指定方法解方程：
（1）x2﹣4x﹣2＝0（配方法）；
（2）2y2﹣3y﹣1＝0（公式法）；
（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x（适当方法）；
（4）2x2﹣x﹣1＝0（配方法）．
【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于6，可以解答；
（2）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出△的值，最后套用求根公式解得；
（3）先把方程化为3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，再因式分解计算即可；
（4）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上4，左边是完全平方式，右边等于，可以解答．
【详解】（1）x2﹣4x﹣2＝0，
移项得，x2﹣4x＝2，
配方，得x2﹣4x+4＝2+4，
即（x﹣2）2＝6，
所以，
解得，．
（2）2y2﹣3y﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17，
，
所以，．
（3）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2．
（4）∵2x2﹣x﹣1＝0，
∴x2x，
则x2x，即（x）2，
∴x，
即x1＝1，x2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键．
35．用指定的方法解方程：
（1）2x2﹣9x+8＝0（公式法）；
（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法）．
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）2x2﹣9x+8＝0，
∴a＝2，b＝﹣9，c＝8，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（2）x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
36．用指定的方法解方程：
（1）用配方法）；
（2）x2＝8x+20（用公式法）；
（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0（用因式分解法）；
（4）（x+2）（3x﹣1）＝10（用适当的方法）．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝14，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（3）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0，然后解一次方程即可；
（4）先把方程化为一般式得到3x2+5x﹣12＝0，再利用因式分解法把方程转化为3x﹣4＝0或x+3＝0，然后解一次方程即可．
【详解】（1）x2﹣4x＝10，
x2﹣4x+4＝14，
（x﹣2）2＝14，
x﹣2＝±，
所以x1＝2，x2＝2；
（2）x2＝8x+20，
x2﹣8x﹣20＝0，
a＝1，b＝﹣8，c＝﹣20，
Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣20）＝16×9＞0，
x4±6，
所以x1＝10，x2＝﹣2；
（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0，
所以x1＝3，x2；
（4）（x+2）（3x﹣1）＝10，
方程化为一般式为3x2+5x﹣12＝0，
（3x﹣4）（x+3）＝0，
3x﹣4＝0或x+3＝0，
所以x1，x2＝﹣3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
37．用指定方法解方程：
（1）（公式法）x2+4x﹣5＝0；
（2）（配方法）2x2﹣4x﹣3＝0．
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；
（2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）x2+4x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16+20＝36＞0，
∴，
解得：x1＝1，x2＝﹣5；
（2）2x2﹣4x﹣3＝0，
∴，
两边加上1，，
即，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
38．请按指定的方法解方程．
（1）x2﹣4x﹣21＝0（配方法）；
（2）x2﹣2x﹣5＝0（公式法）．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）移项，得x2﹣4x＝21，
配方，得（x﹣2）2＝25，
∴x﹣2＝±5，
∴x1＝7，x2＝﹣3；
（2）x2﹣x﹣5＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝21，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
39．请按指定的方法解方程．
①用公式法解方程：x2﹣x﹣5＝0；
②用配方法解方程：x2+4x﹣1＝0．
【分析】①求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
②移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】①a＝1，b＝﹣1，c＝﹣5，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣5）＝21，
∴x，
∴x1，x2．
②x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
40．按指定的方法解方程：
（1）（x﹣1）2﹣9＝0（直接开方法）；
（2）x2+4x﹣8＝0（配方法）；
（3）（x﹣2）2+10（x﹣2）+25＝0（因式分解法）；
（4）3x2﹣8x+2＝0（公式法）．
【分析】（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）∵（x﹣1）2﹣9＝0（直接开方法），
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2+4x﹣8＝0（配方法），
∴x2+4x＝8，
∴x2+4x+4＝8+4，
∴（x+2）2＝12，
∴x+2＝±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2；
（3）∵（x﹣2）2+10（x﹣2）+25＝0（因式分解法），
∴（x﹣2+5）2＝0，
∴（x+3）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣3；
（4）∵3x2﹣8x+2＝0（公式法），
∴a＝3，b＝﹣8，c＝2，
∴b2﹣4ac＝64﹣4×3×2＝40＞0，
∴x，
∴x1，x2．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
题型六、用合适的方法解方程
41．适当的方法解方程：
（1）3x2+2x﹣1＝0；
（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x；
（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0．
【分析】（1）用公式法解方程即可；
（2）用因式分解法解方程即可；
（3）用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）3x2+2x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22+4×3×1＝16，
∴x，
∴x1，x2＝﹣1；
（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x，
原方程可变为：x2+3x﹣4＝0，
分解因式得：（x﹣1）（x+4）＝0，
∴x﹣1＝0或x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4．
（3）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（2x+2）＝0，
∴2x﹣1＝0或2x+2＝0，
解得：，x2＝﹣1．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．
42．用适当方法解方程
（1）（6x﹣1）2﹣25＝0；
（2）y2﹣y＝3（y﹣1）；
（3）x2x；
（4）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝8．
【分析】（1）先移项，然后利用开平方的方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先把原方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）∵（6x﹣1）2﹣25＝0，
∴（6x﹣1）2＝25，
∴6x﹣1＝±5，
解得；
（2）∵y2﹣y＝3（y﹣1），
∴y（y﹣1）﹣3（y﹣1）＝0，
∴（y﹣3）（y﹣1）＝0，
∴y﹣3＝0或y﹣1＝0，
解得：y1＝3，y2＝1；
（3）∵，
∴，
∴，
解得；
（4）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝8，
整理得：x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
43．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣2x＝0；
（2）3x2﹣6x＝1；
（3）x2+8x﹣1＝0（用配方法）；
（4）x（x﹣2）＝2﹣x．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】（1）x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
x1＝0，x2＝2；
（2）3x2﹣6x＝1，
整理得：3x2﹣6x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝36+12＝48＞0，
∴x，
∴x1，x2；
（3）x2+8x﹣1＝0，
x2+8x＝1，
x2+8x+16＝1+16，
（x+4）2＝17，
x+4＝±，
x1＝﹣4，x2＝﹣4；
（4）x（x﹣2）＝2﹣x，
x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝0，
x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
x1＝2，x2＝﹣1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
44．用适当的方法解方程；
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（3）（x+1）（x﹣1）．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先移项得到3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或3x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可；
（3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【详解】（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，、
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2；
（3）（x+1）（x﹣1）．
方程化为一般式为x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝12＞0，
∴x±，
所以x1，x2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
45．用适当的方法解方程：
（1）．
（2）y2+4y＝10．
（3）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用公式法求解即可．
【详解】（1）∵，
∴x2＝4，
则x1＝2，x2＝﹣2；
（2）∵y2+4y＝10，
∴y2+4y+4＝10+4，即（y+2）2＝14，
则y+2＝±，
∴y＝﹣2±，即y1＝﹣2，y2＝﹣2；
（3）∵a＝1，b，c＝﹣2，
∴Δ＝（）2﹣4×1×（﹣2）＝14＞0，
则x，即x1，x2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
46．用适当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣18＝0；
（2）9x2﹣12x﹣1＝0；
（3）x2+5x＝6；
（4）3x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【分析】（1）根据平方根的定义可得x﹣1＝±3，解方程就可以解决问题；
（2）运用公式法直接求出方程的解即可；
（3）因式分解得（x+6）（x﹣1）＝0，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）提取公因式（2x﹣5）得出（2x﹣5）（3x﹣2）＝0，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）2（x﹣1）2﹣18＝0，
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）9x2﹣12x﹣1＝0，
∵a＝9，b＝﹣12，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝144+36＝180＞0，
∴x，
解得，\dollar {x}_{2}＝\frac{2﹣\sqrt{5}}{3}$；
（3）x2+5x＝6，
分解因式得，（x﹣6）（x+1）＝0，
则x﹣6＝0，x+1＝0，
解得x1＝6，x2＝﹣1；
（4）3x（2x﹣5）＝4x﹣10，
分解因式得，（2x﹣5）（3x﹣2）＝0，
则2x﹣5＝0，3x﹣2＝0，
解得${x}_{1}＝\frac{5}{2}$，x2＝$\frac{2}{3}$．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
题型七 、用换元法解方程
47．阅读材料，解答问题．
材料：为解方程（x2﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝0，
我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2．
原方程化为y2﹣3y＝0，①
解得y1＝0，y2＝3．
当y＝0时，x2﹣1＝0，所以x2＝1，x＝±1；
当y＝3时，x2﹣1＝3，所以x2＝4，x＝±2．
所以原方程的解为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
解答问题：
（1）填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到了降幂的目的，体现了　转化　的数学思想；
（2）解方程：（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0．
【分析】（1）根据已知条件得出答案即可；
（2）x2+3＝a，则原方程化为a2﹣4a＝0，求出a的值，再求出x即可．
【详解】（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降幂的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元，转化；
（2）（x2+3）2﹣4（x2+3）＝0，
设x2+3＝a，则原方程化为：a2﹣4a＝0，
解得：a1＝0，a2＝4，
当a＝0时，x2+3＝0，此方程无解；
当a＝4时，x2+3＝4，解得：x＝±1，
所以原方程的解是x1＝1，x2＝﹣1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能性质适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，换元法等．
48．阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9因为2m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数x，y满足（4x2+4y2+3）（4x2+4y2﹣3）＝27，求x2+y2的值．
【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，然后解该方程即可．
【详解】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（4t+3）（4t﹣3）＝27，
整理，得
16t2﹣9＝27，
所以t2．
∵t≥0，
∴t．
∴x2+y2的值是．
【点睛】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
49．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到　降次　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【详解】（1）换元，降次
（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．
【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
50．解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，
解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到　降次　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
（3）解方程x2﹣3|x|＝18．
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
（3）设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0，求出y的值，再解绝对值方程．
【详解】（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元法达到 降次的目的，体现了数学的转化思想．
故答案为：换元 降次；
（2）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣2．
由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2．
由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0，
b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无解．
所以原方程的解为x1＝﹣3，x2＝2．
（3）原方程可化为|x|2﹣3|x|﹣18＝0，
设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0，
解得y1＝6，y2＝﹣3．
由|x|＝6，得x1＝﹣6，x2＝6．
由|x|＝﹣3，此时方程无解．
所以原方程的解为x1＝﹣6，x2＝6．
【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
题型八、解方程过程出错性问题
51．小明解一元二次方程2x2+5x+3＝0的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步）
（1）小明解此方程使用的是 　配方　法；小明的解答过程是从第 　三　步开始出错的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）根据配方法解答即可．
（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可．
【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误，
故答案为：配方法，第三步．
（2）原方程可变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x1＝﹣1，．
【点睛】本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
52．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下：
解：移项，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步
二次项系数化为1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步
配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步
因此（x﹣2）2＝1．第四步
由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步
解得x1＝3，x2＝1．第六步
（1）王明的解题过程从第 　二　步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程2x2﹣8x+3＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤；
（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的﹣3未除以2，
故答案为：二；
（2）2x2﹣8x+3＝0．
移项，得：2x2﹣8x＝﹣3，
二次项系数化为1，得：x2﹣4x，
配方，得：x2﹣4x+44，
因此（x﹣2）2，
由此得：x﹣2或x﹣2，
解得：x1＝2．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
53．阿进用因式分解法解一元二次方程5x2﹣15x＝6﹣2x时，他的做法如下：
解：方程两边分解因式，得5x（x﹣3）＝2（3﹣x），（第一步）
方程变形为5x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），（第二步）
方程两边同时除以（x﹣3），得5x＝﹣2，（第三步）
系数化为1，得．（第四步）
（1）阿进的解法是不正确的，他从第 　三　步开始出现了错误．
（2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程．
【分析】（1）两边除以（x﹣3）时，要考虑其是不是0即可判断；
（2）先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案．
【详解】（1）当x﹣3＝0时，等式成立，所以从第三步开始出现错误；
故答案为：三；
（2）5x2﹣15x＝6﹣2x，
因式分解，得5x（x﹣3）＝2（3﹣x），
整理，得5x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），
移项，得5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，
提公因式，得（x﹣3）（5x+2）＝0，
即x﹣3＝0或5x+2＝0，
∴x1＝3，．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键．
54．甲、乙两位同学解方程2（x﹣2）＝（x﹣2）2的过程如框：
甲： 2（x﹣2）＝（x﹣2）2 两边同除以（x﹣2），得：2＝x﹣2 则x＝4 （　　） 乙： 移项得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0 提公因式（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0 ∴x1＝2，x2＝0 （　　）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误打“×”，并写出你的解答过程．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】
甲： 2（x﹣2）＝（x﹣2）2 两边同除以（x﹣2），得：2＝x﹣2 则x＝4 （×） 乙： 移项得2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0 提公因式（x﹣2）（2﹣x﹣2）＝0 则x﹣2＝0或2﹣x﹣2＝0 ∴x1＝2，x2＝0 （×）
解答如下：
2（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0，
（x﹣2）（2﹣x+2）＝0，
则x﹣2＝0或2﹣x+2＝0，
解得x1＝2或x2＝2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
题型九、新定义材料探究题
55．定义新运算：对于任意实数a、b，都有a b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2 5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．
（1）若x （﹣4）＝6，求x的值；
（2）若m、n均为实数，且3 m的值小于10，判断关于x的方程2x2﹣nx﹣m＝0的根的情况．
【分析】（1）根据新定义列出关于x的一元二次方程，再利用因式分解法求解即可；
（2）先根据新定义列出关于m的取值范围，解之求出m的取值范围，利用根的判别式求解即可．
【详解】（1）根据运算定义，可得x （﹣4）＝x×（x+4）+1＝6，
化简得：x2+4x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝1．
（2）根据题意得3 m＝3×（3﹣m）+1＝10﹣3m＜10，
∴﹣3m＜0，
∴m＞0，
∴Δ＝（﹣n）2+8m＝n2+8m＞0，
∴关于x的方程2x2﹣nx﹣m＝0 有两个不相等的实数根．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对不同的题型选用合适的方法．
56．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请判断关于x的方程x2﹣ax+a﹣1＝0根的情况，并说明理由．
（2）若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）用a表示出（1）中方程的两个实数根，再根据“倍根方程”的定义求出a的值即可．
【详解】（1）a≠2时，该方程有两个不相等的实数根；
a＝2时，该方程有两个相等的实数根．
因为Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝（a﹣2）2，
则当a≠2时，
Δ＞0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
当a＝2时，
Δ＝0，
所以该方程有两个相等的实数根．
（2）由方程x2﹣ax+a﹣1＝0得，
（x﹣1）（x﹣a+1）＝0，
解得x1＝1，x2＝a﹣1．
因为该方程是“倍根方程”，
则当1＝2（a﹣1）时，
解得a，
则a﹣1，
因为方程的根为整数，
故舍去．
当a﹣1＝2×1时，
解得a＝3．
则a﹣1＝2为整数，符合题意．
所以a的值为3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式及解一元二次方程的步骤是解题的关键．
57．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
【分析】（1）先把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0，判断是否是方程3x2﹣5x+2＝0的根，然后根据已知条件中的定义进行判断即可；
（2）根据定义，把x＝1代入5x2﹣bx+c＝0，从而得出b＝5+c，然后等式两边同时平方，把b的平方用含有c的式子表示出来，求出其最小值即可．
【详解】（1）该方程是“方正方程”，理由如下：
把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0得，
左边＝3×12﹣5×1+2＝3×1﹣5+2＝0，右边＝0，
∵左边＝右边，
∴x＝1是3x2﹣5x+2＝0的根，
∴方程3x2﹣5x+2＝0是“方正方程”；
（2）由题意得：5﹣b+c＝0，b＝5+c，
b2﹣2c＝（5+c）2﹣2c，
＝c2+8c+25
＝（c+4）2+9
∵（c+4）2≥0，
∴（c+4）2+9≥9
∴b2﹣2c的最小值为9．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义并解决问题．
58．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程4x2+11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由．
（2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
【分析】（1）根据已知条件中的新定义，找出a，b，c的值，代入a﹣b+c判断是否为0即可；
（2）根据已知条件中的新定义，找出a，b，c的值，求出m，n的关系式，然后把n化成m，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可．
【详解】（1）方程 4x2+11x+7＝0 是“黄金方程”，理由如下：
∵a＝4，b＝11，c＝7，
∴a﹣b+c
＝4﹣11+7
＝0，
∴一元二次方程 4x2+11x+7＝0 是“黄金方程”；
（2）∵3x2﹣mx+n＝0 是关于x的“黄金方程”，
∵a＝3，b＝﹣m，c＝n，
∴a﹣b+c＝0，
3﹣（﹣m）+n＝0，
∴n＝﹣3﹣m，
∴原方程可化为 3x2﹣mx﹣3﹣m＝0，
∵m是此方程的一个根，
∴3m2﹣m2﹣3﹣m＝0，即 2m2﹣m﹣3＝0，
解得m＝﹣1或 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，解题关键是理解已知条件中的新定义．
题型十、配方法的应用
59．我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：；
（2）求2x2+4x的最小值．
（3）比较代数式：x2﹣1与6x﹣12的大小．
【分析】（1）根据配方法的基本步骤配方计算即可；
（2）配方法计算即可．
（3）移项配方法，解答即可．
【详解】（1）x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
故答案为：﹣2，1．
（2）2x2+4x＝2（x2+2x+1﹣1）＝2（x+1）2﹣2，
∵2（x+1）2≥0，
∴当x+1＝0即x＝﹣1时，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
（3）x2﹣1﹣（6x﹣12）＝x2﹣6x+9+2＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2＞0，
∴x2﹣1＞6x﹣12．
【点睛】本题考查了完全平方公式的性质极其应用，掌握其非负性是解题的关键．
60．【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A﹣B的值，若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B．
【知识运用】
（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“＞、＝、＜”填空）：
①x﹣1 　＞　x+3；
②若a＜b＜0，则a2　＞　b2；
（2）试比较与6x2+2x+1与5x2+4x﹣3的大小，并说明理由；
【类比运用】
（3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2a（a＞0）得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为S2；则S1与S2的大小关系为：S1　＜　S2；
（4）已知M＝2020×2023，N＝2021×2022，试运用上述方法比较M、N的大小，并说明理由．
【分析】（1）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可；
（2）先求出两数的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可；
（3）先求出S1和S2的差，再根据差的正负比较两个数的大小即可；
（4）先求出A﹣B的值，再比较大小即可．
【详解】（1）①∵（x+1）﹣（x+3）
＝x+1﹣x﹣3
＝﹣2＜0，
∴x+1＜x﹣3；
②∵a＜b＜0，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）＞0，
∴a2＞b2；
故答案为：＞，＞；
（2）6x2+2x+1＞5x2+4x﹣3，
理由如下：6x2+2x+1﹣（5x2+4x﹣3）
＝6x2+2x+1﹣5x2﹣4x+3
＝x2﹣2x+4
＝x2﹣2x+1+3
＝（x﹣1）2+3，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+3＞0，
∴6x2+2x+1＞5x2+4x﹣3；
（3）∵S1＝4（4+2a）＝16+8a，S2＝（4+a）2＝16+8a+a2，
∴S1﹣S2
＝（16+8a）﹣（16+8a+a2）
＝﹣a2＜0，
∴S1＜S2，
故答案为：＜；
（4）M＜N．
理由如下：∵M＝2020×2023，N＝2021×2022，
∴M﹣N＝2020×2023﹣2021×2022
＝（2021﹣1）（2021+2）﹣2021（2021+1）
＝20212+2021﹣2﹣20212﹣2021
＝﹣2＜0，
∴M＜N．
【点睛】本题考查了整式混合运算和实数的混合运算，能根据整式的运算法则和实数的运算法则求出两数的差是解此题的关键．
1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：．
解：原式
再如：求代数式的最小值．
解：，
当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：（应用配方法）
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．
【答案】(1)
(2)当时，多项式有最大值，最大值是7
(3)，
【分析】本题考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握利用配方法和分组法分解因式．
（1）利用配方法，把所求整式写成一个完全平方式和一个常数差的形式，再利用平方差公式进行分解因式即可；
（2）利用配方法把所求整式写成一个完全平方式与一个常数和的形式，然后根据偶次方的非负性，求出答案即可；
（3）利用分组法把等式的左边分解因式，然后根据偶次方非负性，列出关于的方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：，
，
当时，多项式有最大值，最大值是7；
（3）解：，
，
，
，，
解得，．
2．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）【探究学习】
把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用．
例如：求的最小值．
解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3．
【解决问题】
(1)当为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？
(2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由．
(3)如图3，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个宽的小门，设的长为，当为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为；
(2)当时，；当时，，理由见解析
(3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为
【分析】本题考查了配方法的应用；
（1）先配方，再根据求解即可；
（2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，；
（3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴当，即时，代数式有最小值，最小值为；
（2）由题意得：，，
∴，
∵，
∴当时，，即，
∴；
当时，，即，
∴；
综上所述，当时，；当时，；
（3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴当，即时，有最大值，最大值为．
3．（23-24八年级下·山东淄博·阶段练习）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于　　对称；若关于的多项式关于对称，则　　；
(2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，多项式的值．
【答案】(1)；．
(2)17．
【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方是解题的关键．
（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
（2）对进行配方，根据新定义判断即可．
【详解】（1）解：，
该多项式关于对称；
，
关于对称，
；
故答案为：；．
（2），
关于对称，
，
，
当时，多项式的值为5，
，
，
时，
．
4．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如 的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法． 运用多项式的配方法和平方差公式可以解决很多数学问题． 下面给出例子：
[例]分解因式： ．
．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式： ．
(2)请你运用上述配方法分解因式 ．
(3)已知 的三边长 都是正整数，且满足 ，求 周长的最大值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键．
（1）根据阅读材料中的方法分解即可；
（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形即可；
（3）原式配方后，利用非负数的性质求出、的值，再利用三角形的三边关系，得到的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3），
，
，
，
，
．
又 为正整数，
时，的周长最大，最大值为 ．
答： 长的最大值为13．
5．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】(1)
(2)
(3)这四个连续正整数为1，2，3，4
【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解，
（2）设，则，或，由，得，即可求解，
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解，
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
6．（2024·江苏扬州·一模）阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；
(2)方程的两个根与方程______的两个根互为倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根．
【答案】(1)
(2)
(3)2025和2022
【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键．
（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；
（3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：，
故答案为：；
（3）解：，
，
由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，
或，
解得：或，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为或．
7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根．
【答案】(1)
(2)和
【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法和一元二次方程的解法是关键，体现了整体转化的数学思想．
（1）设，用代替方程中的，然后解关于的一元二次方程，然后再来求关于的一元二次方程即可；
（2）根据已知方程的解，得出或，求出的值即可．
【详解】（1）令，则，
或，
解得或．
当时，，
即，
解得．
当时，，
即，
解得．
综上，原方程的解为．
（2）一元二次方程的两根分别为，
方程中或．
解得：或．
即方程的两根分别是和．
8．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
【答案】(1)，
(2)，；
【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
（1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可；
（2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可．
【详解】（1）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
故原方程的解为：，，
故答案为：，．
（2）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得：，；
当时，，即，
，
方程无解；
故原方程的解为：，．
9．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
(1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________；
(2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值；
(3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程．
【答案】(1)0或
(2)或
(3)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程．
（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可；
（2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可；
（3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论．
【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为，
代入方程得，，
解得或；
故答案为：0或
（2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为，
代入方程得，，
整理得，，
解得或．
（3）解：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根，
∴方程的一个根为，且，
代入方程，得，即，
∵，
∴，
∴把代入方程，得左边右边，
∴是关于y的方程的一个根，
∴关于y的方程是常数根一元二次方程．
10．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料：在苏教版九年级数学上册页中，我们通过探索知道：关于的一元二次方程，如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”
当时，该全整根方程的“最值码”是__________．
若该全整根方程的“最值码”是，则的值为__________．
(2)关于的一元二次方程（为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”．
(3)若关于的一元二次方程是（，均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
【答案】(1)；或；
(2)或；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，()把代入方程得到方程，根据“最值码”的定义即可求解；根据“最值码”的定义可得方程，解方程可求得的值；（）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可；（）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，代入得，
，
∴，即，
故答案为：；
由题意得，，
整理得，，
解得，，
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是“全整根方程”，
∴是完全平方数，
即是完全平方数，
∴或或，
解得或或，
∵为整数，
∴不合，舍去，
∴或，
当时，方程化为
，
∴；
当时，方程化为
，
∴，
∴方程的“最值码”为或；
（3）解：方程的“最值码”为
，
方程的“最值码”为
，
∵是的“全整根伴侣方程”，
∴，
即，
整理得，，
∴，
即，
∵，均为正整数，
∴，
∴，
∴．
11．（22-23九年级上·北京海淀·开学考试）阅读下面材料：
小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．
探究方程是否存在常数根．
小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．
请回答：　 　．

参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图1，若，，则正方形的关联方程为 　 　；
（2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=　 　．
【答案】阅读下面材料：1（1）（2）36
【分析】由四边形是正方形，把绕点顺时针旋转得到，可证明，从而，即，有，即，故关于的一元二次方程有一个根是，即；
（1）在中，，可得，从而可解得正方形的关联方程为；
（2）由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，可得，即得，，，设正方形的边长为，有，解得正方形的边长为6，正方形的面积为36．
【详解】解：阅读下面材料：
如图：

∵四边形是正方形，
∴，
∵把绕点顺时针旋转得到，
∴，，，，
∴，，
∴共线，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，即，
∴关于的一元二次方程有一个根是，
∴．
故答案为：1；
（1）如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由阅读材料知，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
而，
∴正方形的关联方程为，
化简整理，可得．
故答案为：；
（2）如图：

由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，
∴，
解得，
∴正方形的关联方程是，
∴，，，
设正方形的边长为，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴正方形的边长为6，
∴正方形的面积为36．
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及内容包括旋转变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程、新定义、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是证明．

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