资源简介

专题15集合的概念
1、通过实例，了解集合的含义
2、理解元素与集合的“属于”关系
3、针对具体问题，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言(列举法、描述法)刻画集合.
高中必备知识点1：集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
[知识点拨]　集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
高中必备知识点2：元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
[知识点拨]　符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
高中必备知识点3：集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
高中必会题型1：集合与元素的含义
1．下列各对象的全体，可以构成集合的是___(填序号)
①高一数学课本中的难题； ②与1非常接近的全体实数；
②高一年级视力比较好的同学； ④高一年级中身高超过1.70米的同学
2．集合中元素的三大特征是________．
3．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.(______)
(2)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.(______)
(3)由－1，1，1组成的集合中有3个元素.(______)
4．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).
(1)某校2019年在校的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)帅哥；
(4)平面直角坐标系内第一象限的一些点；
(5)的近似值的全体.
5．下列说法中能构成集合的是________(填序号)．
①2019年参加江苏高考的所有学生；
②2019年江苏高考数学试题中的所有难题；
③美丽的花；
④与无理数无限接近的数．
高中必会题型2：元素与集合的关系
1．用符号“”或“”填空
(1)______， ______， ______
(2)___________Q
(3)________
2．给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合为闭集合.其中正确的是_________.(填序号)
3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．
4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.
5．用适当的符号填空：
_____ ； 0 _____ ； ______ ； ______
高中必会题型3：集合中元素特性的简单应用
1．已知，求实数的值.
2．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1 A，
(1)若3∈A，求A.
(2)证明:若a∈A，则.
3．已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)-5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.
4．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
5．已知，求的值．
高中必会题型4：列举法表示集合
1．用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
2．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组 的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
3．用列举法表示下列集合
(1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合
(2)方程的所有实数解组成的集合
4．用列举法表示方程的解集为______________.
5．已知P＝{a,b}，又P的所有子集组成集合Q，用列举法表示Q，则Q＝_________.
高中必会题型5：描述法表示集合
1．用描述法表示下列集合：
(1)抛物线y＝x2﹣2x+2的点组成的集合；
(2)使有意义的实数x的集合．
2．用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合．
(2)坐标平面内第一象限内的点的集合．
(3)大于4的所有偶数．
3．用描述法表示下列集合
(1)小于10的所有有理数组成集合；
(2)所有奇数组成集合；
(3)平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.
4．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
5．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．
高中必会题型6：集合表示的综合问题
1．(1)用描述法表示下图中阴影部分(含边界)的点构成的集合；
(2)用列举法表示集合A＝{x∈N|∈N}.
2．把下列集合用另一种方法表示出来：
(1)；
(2)；
3．若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
4．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
(1)试用列举法表示集合且；
(2)试用列举法表示集合且．
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合．
(2)24的正因数组成的集合．
(3)自然数的平方组成的集合．
(4)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
1．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是( )
A．0 B．2019
C．1 D．0或2019
2．下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．，对任意的，总有( )
A． B． C． D．
4．若集合，，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
5．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．现有以下说法，其中正确的是
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
7．下列集合中不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x﹣1＝0} C．{x＝1} D．{1}
8．下列说法中正确的是( )
A．班上爱好足球的同学，可以组成集合
B．方程x(x﹣2)2＝0的解集是{2，0，2}
C．集合{1，2，3，4}是有限集
D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合
9．设，集合，则等于( )
A． B．1 C． D．2
10．已知集合，，则a与集合A的关系是( )
A． B． C． D．
11．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=( )
A．3 B．2 C．1 D．4
12．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　)
A．-1 B．1 C．0 D．±1
13．，，，中共有__个元素．
14．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a=________.
15．用列举法表示集合：______.
16．设a，，若集合，则_______.
17．用适当方法表示下列集合：
(1)从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；
(2)方程+|y﹣2|＝0的解集；
(3)由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.
18．求数集中的元素应满足的条件.
19．已知1∈{x|x2+px﹣3＝0}，求p的值与集合中的所有元素.
20．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至多有一个元素，求的取值范围
21．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
22．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
专题15 集合的概念
1、通过实例，了解集合的含义
2、理解元素与集合的“属于”关系
3、针对具体问题，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言(列举法、描述法)刻画集合.
高中必备知识点1：集合的概念
(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．
[知识点拨]　集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．
高中必备知识点2：元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A a属于集合A
不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a A a不属于集合A
[知识点拨]　符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．
高中必备知识点3：集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：
名称 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
高中必会题型1：集合与元素的含义
1．下列各对象的全体，可以构成集合的是___(填序号)
①高一数学课本中的难题； ②与1非常接近的全体实数；
②高一年级视力比较好的同学； ④高一年级中身高超过1.70米的同学
答案:④
因为①②③所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而④符合集合的概念.
故答案为：④
2．集合中元素的三大特征是________．
答案:确定性、互异性、无序性
一定范围内，确定的、不同的对象组成的全体，称为一个集合，组成集合的这些对象就是集合的元素，它具有确定性、互异性、无序性．
故答案为：确定性、互异性、无序性．
3．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.(______)
(2)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.(______)
(3)由－1，1，1组成的集合中有3个元素.(______)
答案:× √ ×
(1)因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合.
(2)根据集合相等的定义知，两个集合相等.
(3)因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1，1，1组成的集合有2个元素－1，1.
故答案为：(1)×； (2)√； (3)×.
4．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).
(1)某校2019年在校的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)帅哥；
(4)平面直角坐标系内第一象限的一些点；
(5)的近似值的全体.
答案:(2)
(1)“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合.
(2)任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，
故“不超过20的非负数”能构成集合；
(3)“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；
(4)“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；
(5)“的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合.
故答案为：(2)
5．下列说法中能构成集合的是________(填序号)．
①2019年参加江苏高考的所有学生；
②2019年江苏高考数学试题中的所有难题；
③美丽的花；
④与无理数无限接近的数．
答案:①
因为未规定“难”的标准，所以②不能构成集合；
同理“美丽”、“无限接近”都没有规定标准，所以③④不能构成集合；
由于①中的对象具备确定性、互异性，所以①能构成集合．
故答案为：①
本题主要考查集合的概念，属于简单题.
高中必会题型2：元素与集合的关系
1．用符号“”或“”填空
(1)______， ______， ______
(2)___________Q
(3)________
答案:
(1)是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则；
(2)是有理数，则；不是有理数，则；
(3)
故答案为：(1)，，；(2)，；(3)．
2．给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合为闭集合.其中正确的是_________.(填序号)
答案:④
①中取，则，故①不成立；
②中取，此时，不是正整数，故②不成立；
③中取，则，不是无理数，故③不成立；
④中取，则，故④成立.
故答案为：④
3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．
答案:0或1
因为,所以y=0或y=1,
所以A={0,1}，又t∈A，得到t=0或1；
故答案为：0，1.
4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.
答案:2或4
若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0 A.
故a＝2或4.
故答案为：2或4
5．用适当的符号填空：
_____ ； 0 _____ ； ______ ； ______
答案: 或
； 0 ； 或 ；
故答案为： ，，或 ，
高中必会题型3：集合中元素特性的简单应用
1．已知，求实数的值.
答案:
因为
所以或或
解得或
由集合元素的互异性可知且
所以，
2．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则 ∈A，且1 A，
(1)若3∈A，求A.
(2)证明:若a∈A，则.
答案:(1);(2)证明见解析.
(1)因为3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因为a∈A，
所以，
所以.
3．已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)-5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.
答案:(1)实数a的值为0或-1；(2)-5不能为集合A中的元素；答案见解析.
(1)因为-3是集合A中的元素，
所以-3=a-3或-3=2a-1.
解得或，
当a=0时，此时集合A含有两个元素-3，-1，符合要求；
当a=-1时，此时集合A中含有两个元素-4，-3，符合要求.
综上所述，满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)若-5为集合A中的元素，则a-3=-5，或2a-1=-5.
当a-3=-5时，解得a=-2，此时2a-1=2×(-2)-1=-5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a-1=-5时，解得a=-2，此时a-3=-5，显然不满足集合中元素的互异性.
综上，-5不能为集合A中的元素.
4．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
答案:存在，a＝－3.
∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，
显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，
B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．
综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.
5．已知，求的值．
答案:
由已知条件得：
若a＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a≠0；
若a﹣1＝0，a＝1，则集合为{1，0，0}，显然a≠1；
若a2﹣1＝0则a＝±1，由上面知a＝1不符合条件；a＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}；
∴a＝﹣1．
高中必会题型4：列举法表示集合
1．用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
答案:(1)；(2)；(3)
解：用列举法表示下列集合
(1)大于1且小于6的整数，；
(2)；所以
(3)，
由解得，，故表示为，
2．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组 的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
答案:(1) {－2，－1,0,1,2}(2) M＝{2,3}(3) B＝{(x，y)|(3,2)} (4) N＝{1,3,5,15}
(1)，
，
；
(2)解方程
和是方程的根，
；
(3)解方程组得
；
(4)的正约数有四个数字，
．
3．用列举法表示下列集合
(1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合
(2)方程的所有实数解组成的集合
答案:(1)；(2).
(1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合为；
(2)解方程得，
所以方程的所有实数解组成的集合为.
4．用列举法表示方程的解集为______________.
答案:
由得或，
所以方程的解集为.
故答案为：
5．已知P＝{a,b}，又P的所有子集组成集合Q，用列举法表示Q，则Q＝_________.
答案:{ ，{a}，{b}，{a，b}}
由P＝{a,b}的子集为： ，{a}，{b}，{a,b}；
即集合Q＝{ ，{a}，{b}，{a,b}}.
故答案为：{ ，{a}，{b}，{a，b}}
高中必会题型5：描述法表示集合
1．用描述法表示下列集合：
(1)抛物线y＝x2﹣2x+2的点组成的集合；
(2)使有意义的实数x的集合．
答案:(1)；(2)．
(1)抛物线y＝x2﹣2x+2的点组成的集合：
(2)使有意义的实数x的集合：．
2．用描述法表示下列集合：
(1)被3除余1的正整数的集合．
(2)坐标平面内第一象限内的点的集合．
(3)大于4的所有偶数．
答案:(1)；(2)；(3)．
(1)因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；
(2)第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；
(3)大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．
3．用描述法表示下列集合
(1)小于10的所有有理数组成集合；
(2)所有奇数组成集合；
(3)平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.
答案:(1)；(2)；(3).
(1)小于10的所有有理数组成集合；
(2)所有奇数组成集合；
(3)平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.
4．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
答案:{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}
解析：
由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且.
故答案为且.
5．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．
答案:{x|x＝4n+3，n∈N}
设该数为x，则该数x满足x＝4n+3，n∈N；
∴所求的正整数集合为{x|x＝4n+3，n∈N}．
故答案为：{x|x＝4n+3，n∈N}．
高中必会题型6：集合表示的综合问题
1．(1)用描述法表示下图中阴影部分(含边界)的点构成的集合；
(2)用列举法表示集合A＝{x∈N|∈N}.
答案:(1){(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}；(2)A＝{1，7，9}.
解：(1)阴影部分的点P(x，y)的横坐标x的取值范围为－1≤x≤3，纵坐标y的取值范围为0≤y≤3.
故阴影部分的点构成的集合为{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}.
(2)因为x∈N，∈N，当x＝1时，＝1；
当x＝7时，＝3；
当x＝9时，＝9.
所以A＝{1，7，9}.
2．把下列集合用另一种方法表示出来：
(1)；
(2)；
答案:(1){且}；(2).
(1)因为集合中的元素都是偶数，
所以{且}；
(2).
3．若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
答案:实数k的值为0或1，当时，；当，
解：由集合A={x∣}中只有一个元素，
即方程只有一个解，
①当时，方程为，解得，即；
②当时，方程只有一个解，则，即，
即方程为，解得，即，
综合①②可得：实数k的值为0或1，当时，；当，.
4．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
(1)试用列举法表示集合且；
(2)试用列举法表示集合且．
答案:(1) ；(2).
由题意，，.
(1).
(2).且
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合．
(2)24的正因数组成的集合．
(3)自然数的平方组成的集合．
(4)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
答案:(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析．
(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
(3)用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．
(4)用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
1．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是( )
A．0 B．2019
C．1 D．0或2019
答案:C
若集合M中有两个元素，则a2≠2 019a.即a≠0且a≠2 019.
故选：C.
2．下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案:A
因为N*是不含0的自然数，所以①错误;
取a=，则- N， N，所以②错误;
对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;
对于④，解集中只含有元素1，故④错误.
故选：A
3．，对任意的，总有( )
A． B． C． D．
答案:B
解：将代入得显然成立，故
将代入不等式得，即 ，显然成立，∴；
所以
故选：B.
4．若集合，，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
答案:D
因为，所以中元素全是整数，因为，所以，
故选：D．
5．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案:B
解析：
集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素，(1,2)和(3,4)
故选B.
6．现有以下说法，其中正确的是
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
答案:D
在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D．
7．下列集合中不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x﹣1＝0} C．{x＝1} D．{1}
答案:C
通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝1；
∴C中的集合不同于另外3个集合．
故选：C
8．下列说法中正确的是( )
A．班上爱好足球的同学，可以组成集合
B．方程x(x﹣2)2＝0的解集是{2，0，2}
C．集合{1，2，3，4}是有限集
D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合
答案:C
班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；
方程x(x﹣2)2＝0的所有解的集合可表示为{2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；
集合{1，2，3，4}中有4个元素，所以集合{1，2，3，4}是有限集，选项C正确；
集合{x2+5x+6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，{x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D不正确．
故选：C．
9．设，集合，则等于( )
A． B．1 C． D．2
答案:D
两个集合相等，则集合中的元素相同，
，所以，则，那么，和，
所以.
故选：D
10．已知集合，，则a与集合A的关系是( )
A． B． C． D．
答案:A
解：，，
，
，
故选：．
11．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=( )
A．3 B．2 C．1 D．4
答案:A
由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
12．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　)
A．-1 B．1 C．0 D．±1
答案:B
由题意，当时，，
令代入，则，
则，则，
即，所以，故选B.
13．，，，中共有__个元素．
答案:6
，，，，，，，，，
故集合中共有6个元素.
故答案为：6.
14．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a=________.
答案:
解：由﹣3∈A，可得﹣3=a﹣2，或﹣3=2a2+5a，
由﹣3=a﹣2，解得a=﹣1，经过验证a=﹣1不满足条件，舍去.
由﹣3=2a2+5a，解得a=﹣1或，经过验证：a=﹣1不满足条件，舍去.
∴a=.
故答案为：﹣.
15．用列举法表示集合：______.
答案:
∵，，∴.此时，即.
16．设a，，若集合，则_______.
答案:2
由易知，
由两个集合相等定义可知
若，得，经验证，符合题意；
若，由于，则方程组无解
综上可知，，，故.
故答案为：2
17．用适当方法表示下列集合：
(1)从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；
(2)方程+|y﹣2|＝0的解集；
(3)由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.
答案:(1){1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；(2)；(3){(x，y)|y＝3x2+1，x∈R}.
解：(1)当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；
当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；
当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.
由于元素个数有限，故用列举法表示为
{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.
(2)由算术平方根及绝对值的意义，可知：
，解得，
因此该方程的解集为{(﹣，2)}.
(3)首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点，
故用描述法可表示为{(x，y)|y＝3x2+1，x∈R}.
18．求数集中的元素应满足的条件.
答案:
由于实数集合，则实数x满足：且且，
解得，所以满足的条件是.
19．已知1∈{x|x2+px﹣3＝0}，求p的值与集合中的所有元素.
答案:p＝2；集合中的所有元素为：﹣3，1.
解：∵x＝1是集合{x|x2+px﹣3＝0}中的元素，
∴当x＝1时，x2+px﹣3＝0，故p＝2；
当p＝2时，集合{x|x2+px﹣3＝0}＝{x|x2+2x﹣3＝0}＝{﹣3，1}.
综上所述，p＝2，集合中的所有元素为：﹣3，1.
20．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至多有一个元素，求的取值范围
答案:(1)；(2)当时，；当时，；(3).
(1)若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时 ＝9-8a＜0即a
所以的取值范围为
(2)若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当时，；当时，
(3)若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由(1)，(2)得满足条件的a的取值范围是.
21．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
答案:(1)它们是不相同的集合．(2)见解析
解析：
(1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．由二次函数图像知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
22．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
答案:(1)0或－1； (2)1 .
(1)因为－3∈A，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1.
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，
符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为1.

展开更多......

收起↑