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专题19 充分条件与必要条件
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系
高中必备知识点1：充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的不充分条件 q不是p的不必要条件
高中必备知识点2：充要条件
1．如果既有p q，又有q p，则p是q的充要条件，记为p q．
2．如果p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．如果p q且q p，则称p是q的充分不必要条件．
4．如果p q且q p，则称p是q的必要不充分条件．
5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，
若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件．
若A B，则p是q的充分不必要条件．q是p的必要不充分条件．
若A B，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立．
高中必会题型1：充分条件与必要条件的判定
1．已知，，则是的_______________(充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空)．
2．设，，则是的______________条件(用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空)
3．给出下列结论，其中，正确的结论是________.
①“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件
②“p且q为假”是“p或q为真”的充分不必要条件
③“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件
④“非p为真”是“p且q为假”的必要不充分条件
4．“”是“”的___________条件.
5．“或”是“”成立的_____________条件.
高中必会题型2：充要条件的判断
1．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出适合的条件，用序号填空．
(1)“，都为0”的必要条件是______；
(2)“，都不为0”的充分条件是______；
(3)“，至少有一个为0”的充要条件是______．
2．不等式有实数解的充要条件是______．
3．已知a、b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的__________________条件．
4．下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________.(填序号)
①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
②p：|x|>3，q：x2>9.
5．设，则是成立的________条件；
高中必会题型3：充要条件的证明
1．已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
2．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．
3．设均为实数，判断“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的什么条件.
4．求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.
5．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
1．“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．设a∈R，则“a > 0"是“a2 > 0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，则“且”是“且”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．若“-1A． B．
C． D．
7．在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
9．“t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．是成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
12．若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
13．设命题p：x＞4；命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的_______条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).
14．若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的取值范围为______．
15．“”是“”的_________________条件．
16．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
17．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：x2≥2x+a，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
18．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
19．设命题，命题，若是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值组成的集合.
20．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}(a＞0)，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.
(1)若a＝3，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围.
21．设集合，
(1)请写出一个集合，使“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件；
(2)请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件．
22．已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题.
(1)求实数m的取值集合；
(2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
专题19 充分条件与必要条件
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系
高中必备知识点1：充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的不充分条件 q不是p的不必要条件
高中必备知识点2：充要条件
1．如果既有p q，又有q p，则p是q的充要条件，记为p q．
2．如果p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．如果p q且q p，则称p是q的充分不必要条件．
4．如果p q且q p，则称p是q的必要不充分条件．
5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，
若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件．
若A B，则p是q的充分不必要条件．q是p的必要不充分条件．
若A B，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立．
高中必会题型1：充分条件与必要条件的判定
1．已知，，则是的_______________(充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空)．
答案:充分条件
设命题对应的集合为,
命题对应的集合为,
因为,所以命题是命题的充分条件.
故答案为：充分条件.
2．设，，则是的______________条件(用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空)
答案:充分非必要
A是B的真子集，故是的充分非必要条件
故答案为：充分非必要
3．给出下列结论，其中，正确的结论是________.
①“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件
②“p且q为假”是“p或q为真”的充分不必要条件
③“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件
④“非p为真”是“p且q为假”的必要不充分条件
答案:①③
对于①，由p且q为真，得和都为真，
由p或q为真，得和至少有一个为真，
故“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，因此①正确；
对于②，由p且q为假，得和至少有一个为假，
由p或q为真，得和至少有一个为真，
故“p且q为真”是“p或q为真”的即不充分不必要条件，因此②错；
对于③，由p或q为真，得和至少有一个为真，
由非p为假，得为真，
故“p或q为真”是“非p为假”的必要不充分条件，因此③正确；
对于④，由非p为真，得p为假，
由p且q为假，得和至少有一个为假，
故“非p为真”是“p且q为假”的充分不必要条件，因此④错.
故答案为：①③.
4．“”是“”的___________条件.
答案:充分不必要条件.
由不等式，解得，构成集合
又由不等式，解得，得到，
可得集合是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
5．“或”是“”成立的_____________条件.
答案:必要不充分
，不能推出且，反过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
高中必会题型2：充要条件的判断
1．若，都是实数，试从①；②；③；④中选出适合的条件，用序号填空．
(1)“，都为0”的必要条件是______；
(2)“，都不为0”的充分条件是______；
(3)“，至少有一个为0”的充要条件是______．
答案:①②③ ④ ①
①或，即，至少有一个为0；所以是“，都为0”的必要条件，也是“，至少有一个为0”的充要条件；
②，互为相反数，则，可能均为0，也可能为一正一负；
所以是“，都为0”的必要条件；
③或；所以是“，都为0”的必要条件；
④或，则，都不为0，所以是“，至少有一个为0”的充要条件.
故答案为(1). ①②③ (2). ④ (3). ①
2．不等式有实数解的充要条件是______．
答案:
解：因为，当且仅当时等号成立，
所以不等式有实数解的充要条件是．
故答案为：．
3．已知a、b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的__________________条件．
答案:充要
∵a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0，
∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的充分条件；
∵ab>0，∴a与b同号，
a＋b>0，∴a>0且b>0，
∴“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的必要条件．
故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．
故答案为：充要
4．下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为________.(填序号)
①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
②p：|x|>3，q：x2>9.
答案:①②
①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q p，故p q，
所以p是q的充要条件.
②由于p：|x|>3 q：x2>9，所以p是q的充要条件.
故答案为：①②
5．设，则是成立的________条件；
答案:充要
故答案为充要
高中必会题型3：充要条件的证明
1．已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
答案:见解析
(1)必要性：由，得，即，
又由，得，所以.
(2)充分性：由及，
得，即.
综上所述，的充要条件是.
2．已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．
答案:证明见解析
证明(充分性)
∵，∴
∴
(必要性)
∵，∴
∴
即，∴，得证．
3．设均为实数，判断“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的什么条件.
答案:充要条件
充分性：
因为，所以，即方程有两个不相同的实根，
设两根为，则，即一正一负，故充分性成立；
必要性：
因为“方程有一个正实根和一个负实根”成立，
所以，即，故必要性成立.
所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件.
4．求证：四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.
答案:证明见解析
设对角线与的交点为.充分性：由对角线与互相平分得，又，所以，所以，，，所以四边形是平行四边形；必要性：由四边形是平行四边形得，，，所以所以，四边形的对角线与互相平分；
所以四边形是平行四边形的充要条件是四边形的对角线与互相平分.
5．已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.
(提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))
答案:证明见解析
设p：a3+b3+ab-a2-b2=0，q：a+b=1.
(1)充分性(p q)：
因为a3+b3+ab-a2-b2=0，所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0，即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0，
因为ab≠0，a2-ab+b2=+b2>0，
所以a+b-1=0，即a+b=1.
(2)必要性(q p)：
因为a+b=1，所以b=1-a，所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0，
综上所述，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
1．“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
答案:B
因为当a+b为偶数时，a，b都可以为奇数.
所以“a+b是偶数”不能推出 “a和b都是偶数”，
显然“a和b都是偶数” “a+b是偶数”.
所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.
故选：B
2．设a∈R，则“a > 0"是“a2 > 0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案:A
解：当时，，
当时，或，
所以“a > 0"是“a2 > 0”的充分不必要条件，
故选：A
3．设，则“且”是“且”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案:A
若且，由不等式的同向可加性可得，由不等式的同向同正可乘性可得，所以“且”可以推出“且”，即充分性成立；
反之，若，，满足且”，所以 “且”不可以推出“且”，即必要性不成立；
所以“且”是“且”的充分不必要条件.
故选：A.
4．“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案:A
由得，则；
若，，则，但不能推出；
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案:A
由题意，“返回家乡”可推出“攻破楼兰”，但“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，
所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
故选：A.
6．若“-1A． B．
C． D．
答案:B
不等式-1由题意得“所以，且，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：B.
7．在如图电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案:A
若开关A闭合，则灯泡B亮，所以条件p可以推出条件q；
若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合，不能确定开关A闭合，条件q推不出条件p；
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
8．若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
答案:B
因为B不是A的子集，所以集合中必含有元素不属于，而即为或，
x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
故选：B．
9．“t≥-2”是“对任意正实数x，都有t2-t≤x+恒成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案:B
由于x+≥2，由题意知t2-t≤2，
解得-1≤t≤2.
所以“t≥-2”是“-1≤t≤2”的必要不充分条件.
故选：B
10．是成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案:A
充分性显然成立，必要性可以举反例：，，显然必要性不成立.
故选：A
11．已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案:D
由是的必要条件，可得，解得
故选：D.
12．若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案:C
由“”是“”的必要不充分条件知：是的真子集，可得知
故选：C
13．设命题p：x＞4；命题q：x2﹣5x+4≥0，那么p是q的_______条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).
答案:充分不必要
命题q：x2﹣5x+4≥0 x≤1或x≥4，
∵命题p：x＞4；
故p是q的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
14．若p：是q：的必要不充分条件，则实数a的取值范围为______．
答案:
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
则，解得；
当时，不成立，
故，
即实数的取值范围是，
故答案为：.
15．“”是“”的_________________条件．
答案:充分不必要
充分性：若，则，故充分性成立；
必要性：若，当时，不成立，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
16．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.
答案:
解不等式，解得，
解方程，解得或.
①当时，即当时，不等式即为，
该不等式的解集为，不合乎题意；
②当时，即当时，解不等式可得.
由于是的充分不必要条件，则 ，
可得，此时；
③当时，即当时，解不等式可得.
由于是的充分不必要条件，则 ,
可得，解得.
检验：当时，则有 ，合乎题意；
当时，则有 ，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
17．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：x2≥2x+a，且q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
答案:(﹣∞，﹣1].
由x2﹣4x+3≤0得(x﹣1)(x﹣3)≤0得1≤x≤3，
由x2≥2x+a得x2﹣2x≥a，
若q是p的必要条件，
即当1≤x≤3时，x2﹣2x≥a恒成立，
设f(x)＝x2﹣2x，则在[1，3]上为增函数，
则f(x)的最小值为f(1)＝1﹣2＝﹣1，
∴a≤﹣1，
即实数a的取值范围是(﹣∞，﹣1].
18．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
答案:(1)充要条件；(2)充要条件；(3)必要条件.
都是的必要条件 ，
是的充分条件
是的充分条件
(1)因为q s，s r q，所以s是q的充分条件，同时s是q的必要条件
所以，s是q的充要条件；
(2)因为r q，q s r，所以r是q的充分条件，同时r是q的必要条件，
所以，r是q充要条件；
(3)因为q s r p，所以p是q的必要条件，
所以，p是q的必要条件.
19．设命题，命题，若是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值组成的集合.
答案:．
由得或，∴，
由是的必要条件，但不是的充分条件得且，从而有BA，
∴或或，
当时，，∴；
当时，，无解；
当时，，无解；
综上：实数a的取值组成的集合为．
20．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}(a＞0)，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}.
(1)若a＝3，求A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围.
答案:(1)[﹣4，5]；(2)a≥6.
(1)当a＝3时，A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}＝[﹣1，5]，
B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
所以，A∪B＝[﹣4，5]
(2)A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}(a＞0)，B＝{x|x2+3x﹣4≤0}＝[﹣4，1]，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
所以，
所以，所以a≥6.
所以，当a≥6时，“x∈A”是“x∈B”的必要条件.
21．设集合，
(1)请写出一个集合，使“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件；
(2)请写出一个集合，使“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件．
答案:(1)(答案不唯一)；(2)(答案不唯一)
(1)由于“”是“”的充分条件，但“”不是“”的必要条件，所以集合是集合的真子集，由此可得符合题意.
(2)由于于“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，所以集合是集合的真子集，由此可知符合题意.
22．已知命题“关于x的方程有两个不相等的实数根”是假命题.
(1)求实数m的取值集合；
(2)设集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
答案:(1)；(2).
(1)若关于x的方程有两个不相等的实数根”是真命题，
则，即，
解得：或，
所以方程有两个不相等的实数根”是假命题则，
所以，
(2)是的充分不必要条件，则 ，
则，解得，
经检验时，，满足 ，所以成立，
所以实数a的取值范围是.

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