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动点产生的等腰三角形问题压轴题专项突破
讲方法
一、两定点一动点
在平面中找点 P，使得点 P与已知点A、B构成等腰三角形.
第一类点，以AB为腰：如图1-1-1，分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，则两圆上的点 (除去与A、B重合或共线的点)都能与A、B构成等腰三角形；
第二类点, 以AB为底: 如图1-1-1, 连接两圆的交点P P , 可证直线. 是线段AB 的垂直平分线，则P P 所在直线上的点 (除去与直线AB共线的点)都能与A、B构成等腰三角形.
总结：就是“两圆一中垂去五点”模型.
注：去除与直线AB共线的点的方法：求直线AB的解析式，再验证P点是否在直线AB上，在则共线，不在，则不共线；或用几何方法证.
二、动点个数不止一个
在平面内使构成等腰三角形的三个点中，动点个数大于或等于两个.
解决问题的方法：让三个点轮流做顶角顶点，进行分类讨论.
三、计算点坐标的方法
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在具体题目中有时不仅要找出符合题意的点，还要计算出此点的坐标，计算点坐标的方法可以参考以下几种：1.全等或相似 (找相等线段或成比例线段)；2.勾股定理；3. 锐角三角函数；4. 面积法;5. 方程或方程组.
学思路
如图1-1-2所示, 在梯形ABCD中, AB∥CD,AD=DC=CB=2,①AD⊥DB②, AB = 4, DO垂直于AB.若点 P 在梯形的对称轴l 上，那么使△PDB为等腰三角形的点 P 有 个，坐标分别是 .
压轴题
(重庆中考)如图1-1-3，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于A、B 两点 (点A 在点B 的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E (4,n)在抛物线上.
(1) 直线AE的解析式为 ;
(2)点 G是线段CE 的中点,将抛物线 沿x轴正方向平移得到新抛物线 经过点D，y'的顶点为点F.在新抛物线 的对称轴上，是否存在一点Q，使得 为等腰三角形 若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
提能力
1.(浙江舟山中考)如图 一次函数 与反比例函数 的图象交于点.
(1)反比例函数的表达式为 ；一次函数的表达式为 ；
(2)在x轴上是否存在点 使 为等腰三角形 若存在，求n的值；若不存在，说明理由.
2. (贵州六盘水中考)如图 1-1-5,抛物线 的图象与 x 轴交于. B(3, 0)两点, 与y轴交于点 顶点为D .
(1)抛物线的解析式为 ；
(2)此抛物线顶点 D 的坐标是 ， 对称轴是 ；
(3)探究对称轴上是否存在一点 P，使得以点 P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形 若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由.
3. (甘肃天水中考)如图1-1-6,二次函数 的图象交x 轴于A、B两点，交y轴于点C, 且 B(1, 0), C(0, 3), 将 绕点O 按逆时针方向旋转 C点恰好与A 重合.
(1)二次函数的解析式为 ；
(2)设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若 为以OM 为底的等腰三角形，求 Q点的坐标.
4. (贵州黔南中考) 如图1-1-7，四边形OABC是边长为4的正方形，点 P 为OA 边上任意一点(与点O、A不重合), 连接 CP, 过点 P 作. 交 AB 于点 D, 且 过点M 作 交 BO于点N, 连接 BM, 设
(1)点M的坐标为 (用含t的代数式表示)；
(2)在x轴正半轴上存在点Q，使得 是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点Q的坐标 (用含t的式子表示).
5. (山西中考)如图1-1-8，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点 E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(
(1)抛物线的函数表达式为 ；B、E点的坐标分别为 ；
(2)若点 P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 (0，m)，直线 PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时， 是等腰三角形.
精选练习
1.解：(1)抛物线的解析式为
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=2，则点 C的坐标为(2,2).设直线 PB的解析式为.y=kx+b,点 P 的坐标为P(2，m).将点 P，B的坐标代入一次函数的解析式y=kx+b,得直线 PB的解析式为
因为CE⊥PB,设 代入 C(2,2)得 即
令 y=0,得 即
+m .
①当CP=CF时,即 解得m=0 或 (均舍去).
②当CP=PF时,即 解得 或m=3(舍去).
③当CF= PF时,同理可得m=2(舍去)或 m=-2.
故点 P 的坐标为(2, )或(2,-2).
2.解:(1)点 A 的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x=-1,则点 B的坐标为(-4,0).
则函数的解析式为 -8).
即--8a=-2,解得
故抛物线的解析式为
(2)将点 B，C的坐标代入一次函数的解析式y=mx+n,解得
∴直线 BC的解析式为
则
设点 D的坐标为(x，0)，则点 P 的坐标为 点 E的坐标为
解得x=0(舍去)或x=-5.
即点 D 的坐标为(-5,0).
(3)存在.理由如下:由题意,得△BDM是以BD 为腰的等腰三角形，只存在BD=BM的情况.
∵BD=1=BM,
则
故点 M的坐标为
3.解：(1)将点 A，B 的坐标代入抛物线的解析式得 解得
故抛物线的解析式为
(2)由抛物线的解析式，知点 C的坐标为(0，4).
由点 B,C的坐标,得直线 BC的解析式为y=-x+4.
设点 M 的坐标为(m,0),则点 P 的坐标为(m, 点 Q的坐标为(m,-m+4),
∵OB=OC,∴∠ABC=∠OCB=45°.
∴∠PQN=∠BQM=45°.
故当m=2时，PN有最大值，为
(3)存在.理由如下:点A,C的坐标分别为(-3,0),(0,4),则AC=5.
①当AC=CQ时,如图,过点 Q作QE⊥y轴于点 E.
则 即 m
解得 或 (舍去).
故点 Q的坐标为
②当AC=AQ时,则AQ=AC=5.
在 Rt△AMQ中,由勾股定理,得| 解得m=1或m=0(舍去).
故点 Q的坐标为(1,3).
③当CQ=AQ时,则 4) ,解得 舍去).
综上,点 Q的坐标为(1,3)或

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