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水不撩不知深浅
2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛
暨 2024年福建省高中数学竞赛试卷
(考试时间: 2024年 6月 22日上午 9:00- 11:30, 满分 160分)
一、填空题 (共 10小题, 每小题 6分, 满分 60分. 请直接将答案写在题中的横线上)

1 在 △ABC 中,已知 AB= 4,BC= 2,AC= 2 3 ,若动点 P 满足 CP = 1 ,则 AP BP 的最大
值为 .
【答案】 5
【解答】取 AB 中点 O ,则

AP BP=PA PB= 1 PA+PB 2- PA-PB 2 = 14 4 2PO
2-BA2 =PO2- 1 × 42=PO2-44
由 AB= 4,BC= 2,AC= 2 3 ,知 AB2=CA2+CB2 ,于是 CA⊥CB .
CO= 1所以 AB= 2 .
2

又 CP = 1 ,所以 PO 的最大值为 CO+ 1= 3 .

所以 AP BP 的最大值为 32-4= 5 .
2 已知 z 31,z2,z3 为方程 z =-i 的三个不同的复数根,则 z1z2+z2z3+z3z1=.
【答案】 0
【解答】设 z= x+ yi x,y∈R 为方程 z3=-i 的复数根,
则 z3= x+ yi 3= x3+3x2 yi + 3x yi 2+ yi 3=-i .
即 x3+3x2yi- 3xy2-y3i=-i,x3-3xy2+ 3x2y- y3 i=-i .
3 3
x3- 3xy2= 0 x = 0 x2= x3=-
由 x,y∈R , 1得 ,解得 , 2 ,
2 .
3x2y- y3=-1 y1= 1 y =- 1 2 2 y =-
1
3 2
于是 z1= i, z = 32 - 1 i, z =- 3 - 1 i .2 2 3 2 2
所以 z2+z3= 3 - 1 i + - 3 - 1 i =-i ,2 2 2 2
z z = 3 1
2 2
2 3 - i - 3 - 1 i = - 1 i - 3 =- 1 - 3 =-1.2 2 2 2 2 2 4 4
因此 z1z2+z2z3+z3z1= z1 z2+z3 + z2z3= i× -i - 1= 0 .
3 设 a=66 6,b=33 3 ,则 a,b 的最大公约数为 .

10个 6 6个 3
【答案】 33
【解答】用 x,y 表示正整数 x,y 的最大公约数.
则 a,b = 66 6,33 3 = 33 3,33 3 = 3 11 1,11 1 . 10个 6 6个 3 10个 3 6个 3 10个 1 6个 1
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设 m=11 1, n=11 1 ,

10个 1 6个 1
则由 m=11 1= 104×11 1+1111 ,可知 m,n = 1111,11 1 . 10个 1 6个 1 6个 1
同理可得, m,n = 1111,11 1 = 11,1111 = 11,11 = 11 .6↑1
所以 a,b = 3 m,n = 33 .
4 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手
分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率 为 .
64
【答案】
385
【解答】设三个年级为甲、乙、丙.
C2C2C2C2C2C2
12名选手随机分成 6组,每组 2人的分组方式有: 12 10 8 6 4 2 = 11× 9× 7× 5× 3× 1 种.
A66
下面考虑每组的 2人均来自不同年级的分组情形.
先考虑甲年级 4名选手的配对方式: 由于每组 2人均来自不同年级, 因此需从乙, 丙两个 年级中每个年
级各取 2 名选手与甲年级的 4 名选手配对. 故有 C24×C24×A44= 36× 24 种方式.
再考虑余下 4 人的配对方式,此时乙、丙年级各有 2 人,其分组方式有 2× 1 种.
所以每组的 2 人均来自不同年级的分组方式有 36× 24× 2 种.
36× 24× 2 64
所以每组的 2 人均来自不同年级的概率为 × × × × × = .11 9 7 5 3 1 385
5 如图,在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F
3 17
分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 17
,则平面 EFG 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 所得截面多边形的周长为 .
【答案】 6 13+ 3 2
【解答】如图,以 D 为原点,射线 DA,DC,DD1 分别为 x 轴, y 轴,(第 5 题图) z 轴非负半轴建立空间
直角坐标系.
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(第 5 题答题图)

则 E 6,3,0 ,F 3,6,0 . 设 G 0,6,t ,则 EF = -3,3,0 , EG= -6,3,t .

设 m= x,y,z 为平面 EFG 的一个法向量,则

m EF =-3x+ 3y+ 0= 0 ,于是 m= t,t,3 为平面 EFG 的一个法向量.m EG=-6x+ 3y+ tz= 0
n = 3 17又 0,0,1 为平面 ABCD 的一个法向量,且平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值 为
17
,

所以 cos m , m nn = = 3 = 3 17 . m n 2t2+9 1 17
结合 t> 0 ,解得 t= 2 . 所以 G 0,6,2 ,CG= 2 .
延长 EF 交直线 DC 于点 M ,由 E,F 分别为 AB,BC 的中点,知点 M 在 DC 延长线上, 且 CM
= 3 .
CG = 2 = 3 = MC由 知, M ,G,D1 三点共线.于是 GD1 是截面多边形的一条边.DD1 6 9 MD
延长 FE 交直线 DA 于点 N ,连接 D1N 交 AA1 于点 P ,则 D1P 也是截面多边形的一条边. 另由
AN= 3= 1 A 11D1 可知, AP= A1P ,所以 AP= 2,A1P= 4 .2 2
连接 PE ,则五边形 EFGD1P 为平面 EFG 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 所得的截面多边形.
易知 EF= 32+32= 3 2,FG= 32+22= 13,GD1= 42+62= 2 13 ,
D1P= 62+42= 2 13, PE= 22+32= 13.
所以截面五边形的周长为 6 13+ 3 2 .
注: 作 CH⊥ EF 与 H ,则 GH⊥ EF ,∠GHC 为二面角 G- EF-D 的平面角,于是 tan∠GHC=
CG = CG = 2 2 ,因此 CG= 2 。
CH 3 2 3
2
6 对于实数 x,y,z ,记 max{x,y,z} 为 x,y,z 中的最大者,例如: max{1,2,3}= 3 , max{2,2,9}
= 9,max{5,5,5}= 5 . 若非负实数 a,b 满足 a+ b= 9 ,则 max a2,4b2,2ab 的 最小值为 .
【答案】 36
【解答】设 M=max a2,4b2,2ab ,则 M≥ a2,M≥ 4b2,M≥ 2ab .
因为 a,b 非负实数,且 a+ b= 9 ,
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所以 4M+M+ 4M≥ 4a2+4b2+8ab= 4 a+ b 2≥ 4× 81 ,因此 M≥ 36 .
又当 a= 6,b= 3 时, a2= 4b2= 2ab= 36,M= 36 .
所以 M 的最小值为 36,即 max a2,4b2,2ab 的最小值为 36 .
9 3 3 n S
7 已知 S n in 为数列 an 的前 n 项和,且 Sn= an- × 3 + ,则使 < 2024 成立的最8 8 8 i=1 ai
大正整数 n 的值为 .
【答案】 1799
【解答】依题意 a = 91 a - 31 × 3+ 3 ,解得 a = 6 .8 8 8 1
9 3
当 n≥ 2 时, an=Sn-Sn-1= an-an-1 - × 3n-3n-1 ,即 an= 9an-1+2× 3n .8 8
于是 an+3n= 9 a n-1n-1+3 .
因为 a1+31= 9≠ 0 ,所以数列 a nn+3 为等比数列,公比为 9 .
所以 a +3n= 9× 9n-1n = 9n ,因此 an= 9n-3n .
9 3
所以 S n n nn= 9 -3 - 3 -1 = 3 3n-1 3n+1-1 ,8 8 8
3 n n+1
S 8 3 -1 3 -1 3 3n+1n = = × -1 = 9 - 3
n
× 1 ,
a 9n-3n 8 3n 8 8 3 n
n n 1 nS i 1- 1n n于是 = 9 -
3 × 1 = 9 n- 3 × 3 3 = 9 n- 3 × 1- 1 .
i=1 an i=1 8 8 3 8 8 1- 1 8 16 3 3
9 × 1799= 2023.875, 9 × 1800= 2025 , 0< 3 1
n
因为 而 × 1- < 3 ,8 8 16 3 16
n S
所以使 i < 2024 成立的最大正整数 n 的值为 1799 .
i=1 ai
8 设 f x = a 6 5 4 36x +a5x +a4x +a3x +a2x2+a1x+ a0 ,其中 ai∈{-1,1},i= 0,1,2, , 6. 若 f 2 =
-53 ,则 f 1 = .
【答案】 -1
【解答】因为 f 2 =-53 ,所以 64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0=-53 .
若 a6= 1 ,则 -53= 64+ 32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0≥ 64- 32- 16- 8- 4- 2- 1= 1 ,矛盾.
所以 a6≠ 1 ,于是 a6=-1,32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0= 11 .
同理,若 a5=-1 ,则 11=-32+ 16a4+8a3+4a2+2a1+a0≤-32+ 16+ 8+ 4+ 2+ 1=-1 ,矛盾.
所以 a5≠-1 ,于是 a5= 1,16a4+8a3+4a2+2a1+a0=-21 .
若 a4= 1 ,则 -21= 16+ 8a3+4a2+2a1+a0≥ 16- 8- 4- 2- 1= 1 ,矛盾.
所以 a4≠ 1 ,于是 a4=-1,8a3+4a2+2a1+a0=-5 .
若 a3= 1 ,则 -5= 8+ 4a2+2a1+a0≥ 8- 4- 2- 1= 1 ,矛盾.
所以 a3≠ 1 ,于是 a3=-1,4a2+2a1+a0= 3 .
若 a2=-1 ,则 3=-4+ 2a1+a0≤-4+ 2+ 1=-1 ,矛盾.
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所以 a2≠-1 ,于是 a2= 1,2a1+a0=-1 .
若 a1= 1 ,则 -1= 2a1+a0= 2+ a0≥ 1 ,矛盾.
所以 a1≠ 1 ,于是 a1=-1,a0= 1 .
所以 f x =-x6+x5-x4-x3+x2-x+ 1,f 1 =-1+ 1- 1- 1+ 1- 1+ 1=-1 .
x2
9 已知 A 为双曲线 C: - y2= 1 的右顶点,过点 A 斜率分别为 k1、k2 的直线 l1、l4 2 分别 与双
PM PN
曲线 C 6 14交于另外两点 M、N ,其中 k1> 0,k1k2= 1 . 若点 P ,0 满足 = , 则5 MN 2 25
△AMN 的面积为 .
4 2
【答案】
7
【解答】依题意直线 l1 方程为 y= k1 x- 2 ,直线 l2 方程为 y= k2 x- 2 .
y= k1 x- 2 8k2+2 4k由 x2 ,得 4k
2 x- 2 2= x2-4 ,于是 M 1 , 1 .
- 1y2= 1 4k21-1 4k2 4 1-1
4k1
2- 5 k 8k24k 1 +2 4k 5 k
所以 k 1 1PM= 2 = . 同理, N 2 , 28k 2 2 21+2 - 6 4 k +1 4k -1 4k -1 ,k =
2
PN .
1 2 2 4 k
2
2+1
4k21-1 5
1
k k k
因为 k1k
5 5 5
2= 1 ,所以 k 2 1 1PN= = = = k .4 k22+
PM
1 4 1
2 2
k +1 4 k1+11
所以 M ,N ,P 三点共线.
PM PN yM-yP yN-y= P
yMy= N = 14因此 .
MN 2 yM-y 2N yM-yN 2 25
4 14k k 4k
又由 k1k2= 1 ,得 y = 2N = 1 = 1 ,
4k22-1 2 24 1k -1 4- k11
4k1 4k1 = 14 4k
2
所以 1 - 4k1 .
4k2-1 4- k2 25 4k21 1 1-1 4- k2 1
不妨设 k2> k1 ,则 0< k1< 1 ,化简得 4k21-1 4- k21 = 14 1- k2 21 , 1解得 k21= .2
2
所以 k1= ,
4k 4k
于是 y = 1 = 2 2,y = 1 4 2
2 M 2- N
= .
4k1 1 4- k21 7
1 1 4 10 2 4 2
所以 S△AMN= AP yM-y2 N = = .2 5 7 7
10 若 x1,x2, ,x100 是 1,2, ,100 的一个排列,则 S= x1-x2 + x2-x3 + + x99-x100 + x100-x1
的最大值为 .
【答案】 5000
【解答】记 x101= x1 ,设 ai=max xi,xi+1 ,bi=min xi,xi+1 ,则 xi-xi+1 = ai-bi,i= 1 , 2, ,100 .
因为 x1,x2, ,x100 是 1,2, ,100 的一个排列,
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所以 a1,a2, ,a100,b1,b2, ,b100 在 1,2, ,100 中取值,并且 1,2, ,100 中 的每个数恰好取值 2 次.
100 100 100
因为 S= x1-x2 + x2-x3 + + x99-x100 + x100-x1 = ai-bi = ai- bi ,为使得 S 取最大值,
i=1 i=1 i=1
应让 a1,a2, ,a100 取尽可能大的数, b1,b2, ,b100 取尽可能小的数. 所以,
100 100
S= ai- bi≤ 100+ 100+ 99+ 99+ +51+ 51 - 50+ 50+ 49+ 49+ +1+ 1
i=1 i=1
= 2× 100+ 51 × 50- 2× 50+ 1 × 50= 100× 50= 5000.
2 2
由于当 x1= 100,x3= 99,x5= 98, ,x2n-1= 101-n,x2= 1,x4= 2,x6= 3, ,x2n=n ,
n= 1,2,3, ,50 时,
S= x1-x2 + x2-x3 + + x99-x100 + x100-x1
= 100- 1 + 99- 1 + 99- 2 + + 51- 50 + 100- 50
= 100+ 100+ 99+ 99+ +51+ 51 - 50+ 50+ 49+ 49+ +1+ 1
= 5000.
所以 S 的最大值为 5000 .
二、解答题 (共 5小题, 每小题 20分, 满分 100分. 要求写出解题过程)
x2 y
2
11 已知 F1、F2 分别为椭圆 C: + = 1 a> b> 0 的左、右焦点,过点 F 的直线 l 交椭圆
a2 b2
2

C 于 A,B 两点 (点 A 在第一象限),且 AF2= 5F2B, AF1 = 5 AF2 .
(1)求椭圆 C 的离心率;
(2)若 △F 241AB 的面积为 ,求点 A 的坐标.5
【解答】(1)由 AF1 = 5 AF2 , AF1 + AF2 = 2a , 5 1知 AF1 = a, AF2 = a .3 3

又 AF2= 5F2B ,所以 F2B 1 = a, F 29 215 1B = a, AB = a .15 5
在 △F1AB 中由余弦定理,得
2 2 2
AF 2+ AB 2- BF 2 53 a1 1 +
2 a - 29a
cos∠FAB= = 5 15 =- 31 .
2× AF1 × AB 2× 5 2 53 a× 5 a
在 △F1AF2 中由余弦定理,得 F 2 2 21F2 = AF1 + AF2 -2 AF1 AF2 cos∠F1AF2 .
2 2
所以 2c 2= 5 a + 1 a -2× 5 a× 1 a× - 33 3 3 3 5 =
32 a2,c2= 8 a2 .
9 9
2 2
所以椭圆离心率 e= .
3
(2) 1因为 S△FAB= AF1 AB sin∠F1AB=
1 5 a 2 a 4 = 4 a2= 24 ,
1 2 2 3 5 5 15 5
2 2
所以 a2= 18 , x y椭圆 C 的方程 + = 1 .
18 2
所以 F1 -4,0 , AF1 = 5 2 .
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x +4 20 +y20= 5 2 2 x = 3
设 A x0,
0
y0 ,则 x2 y2 ,解得 0 + 0 = 1 .y0=±118 2
x0= 3
由于点 A 在第一象限,因此 .y0= 1
所以点 A 的坐标为 3,1 .
x+ 2
12 已知函数 f x = x - m- 2 x- ln x+ 2 + 1- 2m m∈R .e
(1)当 m= 1 时,求 f x 的最小值;
(2)若 f x ≥ 0 恒成立,求 m 的取值范围.
【解法一】(1) m= 1 时, f x = x+ 2x + x- ln x+ 2 - 1,f x 定义域为 -2,+∞ .e
设 g x = ex-x ,则 g x = ex-1 .
所以 x< 0 时, g x < 0;x> 0 时, g x > 0 ,因此 g x 在 -∞,0 上递减,在 0,+∞ 上 递增.
所以 g x ≥ g 0 = 1 ,因此 ex-x≥ 1 ,当且仅当 x= 0 时等号成立.
f x = x+ 2所以 x + x- ln x+ 2 - 1= e
-x+ln x+2 - -x+ ln x+ 2 - 1≥ 1- 1= 0 .
e
设 h x =-x+ ln x+ 2 .
由于 h -1 = 1+ 0= 1> 0,h 2 =-2+ ln4< 0 ,
所以存在 x0∈ -1,2 ,使得 h x0 =-x0+ln x0+2 = 0 .
因此 f x 00 = e -0- 1= 0 .
所以 f x 的最小值为 0 .
(2)当 m≤ 1 时,由 (1),以及 f x 定义域为 -2,+∞ ,知
f x = x+ 2x - m- 2
x+ 2
x- ln x+ 2 + 1- 2m= x + x- ln x+ 2 - 1+ 1-m x+ 2 e e
≥ 0+ 1-m x+ 2 = 1-m x+ 2 ≥ 0.
所以 m≤ 1 时,不等式 f x ≥ 0 恒成立.
当 m> 1 时,对 (1) 中的 x0 ,有
x +2
f x 00 = x + x0-ln x0+2 - 1+ 1-m x0+2 = 0+ 1-m x0+2 = 1-m x +2 < 0.e 0 0
因此 m> 1 不符合要求.
综上, m≤ 1,m 的取值范围为 (-∞,1] .
x+ 2
【解法二】(1) m= 1 时, f x = x + x- ln x+ 2 - 1,f x 定义域为 -2,+∞ .e
f x
-x- 1 1 x+ 1
= + 1- = x
ex x+ 2 x+ 2 ex
e -x- 2 .
设 g x = ex-x- 2 ,则 g x = ex-1 .
所以 x< 0 时, g x < 0;x> 0 时, g x > 0 ,因此 g x 在 -∞,0 上递减,在 0,+∞ 上 递增.
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因为 g -2 = e-2> 0,g -1 = e-1-1< 0,g 2 = e2-4> 0 .
所以 g x 在 -2,-1 , -1,+∞ 内各有一个零点,即存在 α∈ -2,-1 ,β∈ -1,+∞ , 使得 f α =
f β = 0 .
于是当 x∈ -2,α 时, g x > 0 ,进而有 f x < 0 ; 当 x∈ α,-1 时, g x < 0,f x > 0 ; 当 x∈
-1,β 时, g x < 0,f x < 0 ; 当 x∈ β,+∞ 时, g x > 0,f x > 0 .
因此 f x 在区间 -2,α 上递减,在 α,-1 上递增,在 -1,β 递减,在 β,+∞ 上递增.
所以 f x 的最小值为 f α ,f β 中的较小者.
由 g α = eα-α- 2= 0 ,得 eα= α+ 2 ,因此 α= ln α+ 2 .
α+ 2
所以 f α = α + α- ln α+ 2 - 1= 1+ 0- 1= 0 .e
同理 f β = 0 .
所以 f x 的最小值为 0 .
(2)当 m≤ 1 时,由 (1),以及 f x 定义域为 -2,+∞ ,知
f x = x+ 2 x - m- 2 x- ln x+ 2 + 1- 2m=
x+ 2
e ex
+ x- ln x+ 2 - 1+ 1-m x+ 2
≥ 0+ 1-m x+ 2 = 1-m x+ 2 ≥ 0.
所以 m≤ 1 时,不等式 f x ≥ 0 恒成立.
当 m> 1 时,对 (1) 中的 α ,有
f α = α+ 2 α + α- ln α+ 2 - 1+ 1-m α+ 2 = 0+ 1-m α+ 2 = 1-m α+ 2 < 0.e
因此 m> 1 不符合要求.
综上, m≤ 1,m 的取值范围为 (-∞,1] .
13 如图, O 为锐角 △ABC 外接圆圆心, AD 为 ⊙O 的一条直径, H 是 △ABC 的垂心, BE,
CF 是 △ABC 的两条高, M 是边 BC 的中点, S 是点 M 关于圆心 O 的对称点. 已知直线 EF 过
点 S 且与直线 BC 相交于点 T .
(1)求证: H,M ,D 三点共线;
(2)求证: A,S,M ,T 四点共圆;
(3)若 △ABC 外接圆半径为 R ,求线段 AM 的长 (用 R 表示).
【证明】(1)如图,连接 DC,DB .
(第 13 题图)
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由 AD 为 ⊙O 的直径知 DC⊥CA,DB⊥AB .
因为 BE,CF 是 △ABC 的两条高,
所以 BE⊥CA,CF⊥AB,H 为 BE,CF 的交点.
所以 DC BE,DB CF ,于是 DC BH,DB CH .
所以四边形 CDBH 为平行四边形.
因为 M 是 BC 的中点,所以 M 也是 DH 的中点.
因此 H,M ,D 三点共线.
(2)由 CF⊥AB,BE⊥AC ,知 A,F,H,E 四点共圆; B,C,E,F 四点共圆.
所以 TF TE=TB TC .
(第 13 题答题图)
连接 AT 交 ⊙O 于点 K ,则由圆幂定理知 TK TA=TB TC.
所以 TK TA=TF TE ,因此 K,F,E,A 四点共圆.
综上可得, A,K,F,H,E 五点共圆.
所以 ∠AKH=∠AFH= 90° .
又 AD 为 ⊙O 的直径, ∠AKD= 90° ,
所以 ∠AKH=∠AKD= 90° .
因此 K,H,M ,D 四点共线,由此可得 HM⊥AT .
另一方面,由 H 是 △ABC 的垂心, AH⊥BC,O 为 △ABC 外接圆圆心, M 是边 BC 的 中点,且
S 是点 M 关于圆心 O 的对称点,可得 SM⊥BC ,且 AH= 2OM=SM .
所以 AH SM ,且 AH=SM . 连接 AS ,则可得四边形 AHMS 为平行四边形.
所以 AS HM ,于是 AS⊥AT . 因此 ∠SAT= 90° =∠SMT .
所以 A,S,M ,T 四点共圆.
(3)由 B,C,E,F 四点共圆,知 ∠AEF=∠ABC ,
所以 ∠AEF+∠OAE=∠ABC+∠DAC=∠ABC+∠CBD=∠ABD= 90° .
所以 AO⊥EF,∠ATS+∠TAD= 90° .
所以 ∠ADM=∠ADK= 90° -∠KAD= 90° -∠TAD=∠ATS .
又由 A,S,M ,T 四点共圆,可得 ∠ATS=∠AMS=∠AMO . 所以 ∠ADM=∠AMO .
又 ∠DAM=∠MAO , AD AM所以 △ADM △AMO, = .
AM AO
所以 AM 2=AD AO= 2R2 . 因此 AM= 2R .
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14 已知非负实数 a,b,c,d,e 的和为 1 .
求证: a b+ 1+ b c+ 1+ c d+ 1+ d e+ 1+ e a+ 1< 5 .
2
【证明】因为非负实数 a,b,c,d,e 的和为 1,所以由柯西不等式知,
a b+ 1+ b c+ 1+ c d+ 1+ d e+ 1+ e a+ 1 2
= a ab+ a+ b bc+ b+ c cd+ c+ d de+ d+ e ea+ e 2
≤ a+ b+ c+ d+ e ab+ a+ bc+ b+ cd+ c+ de+ d+ ea+ e = ab+ bc+ cd+ de+ ea+ 1 . ①
1
当且仅当 a= b= c= d= e= 时等号成立.
5
另一方面,不妨设 e=min{a,b,c,d,e} ,则
a+ c+ e b+ d - ab+ bc+ cd+ de+ ea = ad+ be- ae≥ ae+ 0- ae= 0.
a+ c+ e + b+ d 2
所以 ab+ bc+ cd+ de+ ea≤ a+ c+ e b+ d ≤ =
1
. ②
2 4
由①, ②得
a b+ 1+ b c+ 1+ c d+ 1+ d e+ 1+ e a+ 1 2≤ ab+ bc+ cd+ de+ ea+ 1≤ 1 + 1= 5 .4 4
所以 a b+ 1+ b c+ 1+ c d+ 1+ d e+ 1+ e a+ 1≤ 5 .
2
1
由于当 a= b= c= d= e= 时, a+ c+ e≠ b+ d ,所以不等式①,②不能同时成立.
5
所以 a b+ 1+ b c+ 1+ c d+ 1+ d e+ 1+ e a+ 1≠ 5 .
2
所以 a b+ 1+ b c+ 1+ c d+ 1+ d e+ 1+ e a+ 1< 5 .
2
15 设正整数 n 是合数, d1,d2, ,dk k≥ 3 是 n 的全部正因数,且 1= d1< d2< < dk=n . 对
于 2≤ i≤ k- 1 ,若 di di-1di+1 ( di 不能整除 di-1di+1 ),则称 di 是 n 的一个 “好因数”,若 n 的
“好因数” 个数小于 n 的不同素因子个数,则称 n 为 “好数”.
(1)问: 16, 2024 是否为 “好数”
(2)求所有的 “好数”.
【解答】(1) 因为 16= 24 ,所以 16 只有 1 个素因子 2,而没有 “好因数”,因此 16 是 “好 数”.
因为 2024= 23× 11× 23 ,所以 2024 有 16 个不同的正因数:
1< 2< 22< 23< 11< 2× 11< 23< 22× 11< 2× 23< 23× 11< 22× 23< 23× 23< 11× 23
< 2× 11× 23< 22× 11× 23< 23× 11× 23 .
其中 “好因数” 有 23,2× 11,23,22× 11,2× 23,23× 11,23× 23 ,共 7 个.
另一方面, 2024 只有 3 个不同的素因子 2,11,23 .
所以 2024 不是 “好数”.
(2)依题意 “好数” 为合数.
①若 n= pα ( p 为素数, α≥ 2 ),则 n 只有 1 个素因子 p ,而没有 “好因数”,因此 n= pα 是 “好
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数”.
②若 “好数” n 恰好有两个不同的素因子 p,q,p< q .
则存在一个最大的正整数 α ,使得 1< p< p2< < pα< q .
将 n 的正因数从小到大排列.
则 pα-1,pα,q 是上述排列中连续的三项,依据 “好因数” 定义可知 pα 是 n 的一个 “好 因数”.
由于 n 只有 2 个素因子 p 和 q ,且 n 为 “好数”,所以 pα 是 n 的唯一的 “好因数”.
所以 q 不是 “好因数”, q 后面的一个因数能被 q 整除,于是 q 后面的一个因数为 pq . 因 此 pα,q,
pq 是 n 的正因数从小到大的排列中连续的三项.
n n n
于是 , , α 也是 n 的正因数从小到大的排列中连续的三项.pq q p
因为 q< pα+1< pq ,所以 pα+1 不是 n 的因数,即 pα+1 不能整除 n .
n n
pq pα
由于 = n n 不是整数,所以 也是 “好因数”.
n pα+1 q
q
n
因此 = pα ,即 n= pαq q> pα .
q
③若 “好数” n 至少有 3 个不同的素因子,设 p1,p2, ,pk k≥ 3 是它的所有素 因子,且 p1< p2< <
pk .
则存在一个最大的正整数 α ,使得 1< p1< p21< < pα1< p2 .
仿②可知, pα1 是一个 “好因数”.
类似地可知,在 n 的正因数从小到大的排列中,排在 pi 2≤ i≤ k 前面的一个因数也是 “好因数”. 于
是 n 至少有 k- 1 个 “好因数”,由于 n 是 “好数”,因此 n 除了这 k- 1 个 “好 因数” 之外,没有
其它的 “好因数”,而且 n 的每个 “好因数” 的后项都是 n 的某个素因子.
在 n 的正因数从小到大的排列中,若排在 p2 与 p1p2 之间的因数中有素数,设排在最后的 一个素数为
p ,则 p 也是排在 p2 与 p1p2 之间的最大的一个素数, p 的后项为合数.
由 p 的最大性可知, p 的前项不能被 p 整除.
由 p1< p2< < pk 知, p≥ p3> p2 ,因此 p< p1p2< pp1 ,即 p 的后项比 pp1 小. 于是 p 的 后项也不
能被 p 整除.
结合 p 为素数可知, p 不能整除 p 的前项与后项的乘积,因此 p 是 n 的一个 “好因数”.
于是由前面讨论可知, p 是 n 的某个素因子 pi i≥ 3 的前项,即 p 的后项为素数. 与 p 的后项为合
数矛盾.
所以在 n 的正因数从小到大的排列中,若排在 p2 与 p1p2 之间的因数中没有素数.
所以在 n 的正因数从小到大的排列中, p2 与 p1p2 是 “相邻” 的两项.
又正整数 α ,是使得 1< p < p21 1< < pα1< p2 成立的最大的正整数,所以 pα1 与 p2 也是 n 的 正因数从
小到大的排列中 “相邻” 的两项. 同时注意到 pα+11 > p2 ,且 p α+12 的 “后项” 是 p1p2 , 所以 p1 不是的
n 的因数,即 pα+11 不能整除 n .
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n n n
综上可知, pα1,p2,p1p2 是 n 的正因数从小到大的排列中连续的三项, , , 也是 n 的正因数从p1p α2 p2 p1
小到大的排列中连续的三项.
n
p p
n
pα1 2 n n
因为 1 = + 不是整数,因此 是 n 的一个 “好因数”.n pα 1 p2
p 12
n n
所以 的后项
p pα
是 n 的素因子.
2 1
n
于是存在某个 pi ,使得 α = pi ,即 n= p
α
1pi ,这样 n 只有 2 个素因子,与 n 至少有 3 个 素因子矛
p1
盾.
所以 “好数” 不可能有 3 个或 3 个以上的素因子.
因此所有 “好数” n 为: n= pα (其中 p 为素数, α 为正整数,且 α≥ 2 ),或 n= pαq (其 中 p 为素
数, α 为正整数, q 为素数,且 q> pα ).
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2024年全国高中数学联赛福建赛区预赛
暨 2024年福建省高中数学竞赛试卷
(考试时间: 2024年 6月 22日上午 9:00- 11:30, 满分 160分)
一、填空题 (共 10小题, 每小题 6分, 满分 60分. 请直接将答案写在题中的横线上)

1 在 △ABC 中,已知 AB= 4,BC= 2,AC= 2 3 ,若动点 P 满足 CP = 1 ,则 AP BP 的最大
值为 .
2 已知 z1,z2,z3 为方程 z3=-i 的三个不同的复数根,则 z1z2+z2z3+z3z1= .
3 设 a=66 6,b=33 3 ,则 a,b 的最大公约数为 .

10个 6 6个 3
4 某校三个年级举办乒乓球比赛, 每个年级选派 4 名选手参加比赛. 组委会随机将这 12 名选手
分成 6 组, 每组 2 人, 则在上述分组方式中每组的 2 人均来自不同年级的概率 为 .
5 如图,在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F
3 17
分别为 AB,BC 的中点,点 G 在棱 CC1 上. 若平面 EFG 与底面 ABCD 所成角的余弦值为 17
,则平面 EFG 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 所得截面多边形的周长为 .
6 对于实数 x,y,z ,记 max{x,y,z} 为 x,y,z 中的最大者,例如: max{1,2,3}= 3 , max{2,2,9}
= 9,max{5,5,5}= 5 . 若非负实数 a,b 满足 a+ b= 9 ,则 max a2,4b2,2ab 的 最小值为 .
n S
7 已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和, 9 3 3且 S n in= a8 n- × 3 + ,则使 < 2024 成立的最8 8 i=1 ai
大正整数 n 的值为 .
8 设 f x = a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a 22x +a1x+ a0 ,其中 ai∈{-1,1},i= 0,1,2, , 6. 若 f 2 =
-53 ,则 f 1 = .
x2
9 已知 A 为双曲线 C: - y2= 1 的右顶点,过点 A 斜率分别为 k1、k2 的直线 l1、l2 分别 与双4
PM PN
曲线 C M 6 14交于另外两点 、N ,其中 k1> 0,k1k2= 1 . 若点 P ,0 满足 = , 则5 MN 2 25
△AMN 的面积为 .
10 若 x1,x2, ,x100 是 1,2, ,100 的一个排列,则 S= x1-x2 + x2-x3 + + x99-x100 + x100-x1
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的最大值为 .
二、解答题 (共 5小题, 每小题 20分, 满分 100分. 要求写出解题过程)
2 2
11 已知 F1、F2 分别为椭圆 C: x +
y = 1 a> b> 0 的左、右焦点,过点 F 的直线 l 交椭圆
a2 2
2
b

C 于 A,B 两点 (点 A 在第一象限),且 AF2= 5F2B, AF1 = 5 AF2 .
(1)求椭圆 C 的离心率;
(2) △F 24若 1AB 的面积为 ,求点 A 的坐标.5
x+ 2
12 已知函数 f x = x - m- 2 x- ln x+ 2 + 1- 2m m∈R .e
(1)当 m= 1 时,求 f x 的最小值;
(2)若 f x ≥ 0 恒成立,求 m 的取值范围.
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13 如图, O 为锐角 △ABC 外接圆圆心, AD 为 ⊙O 的一条直径, H 是 △ABC 的垂心, BE,
CF 是 △ABC 的两条高, M 是边 BC 的中点, S 是点 M 关于圆心 O 的对称点. 已知直线 EF 过
点 S 且与直线 BC 相交于点 T .
(1)求证: H,M ,D 三点共线;
(2)求证: A,S,M ,T 四点共圆;
(3)若 △ABC 外接圆半径为 R ,求线段 AM 的长 (用 R 表示).
14 已知非负实数 a,b,c,d,e 的和为 1 .
5
求证: a b+ 1+ b c+ 1+ c d+ 1+ d e+ 1+ e a+ 1< .
2
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15 设正整数 n 是合数, d1,d2, ,dk k≥ 3 是 n 的全部正因数,且 1= d1< d2< < dk=n . 对
于 2≤ i≤ k- 1 ,若 di di-1di+1 ( di 不能整除 di-1di+1 ),则称 di 是 n 的一个 “好因数”,若 n 的
“好因数” 个数小于 n 的不同素因子个数,则称 n 为 “好数”.
(1)问: 16, 2024 是否为 “好数”
(2)求所有的 “好数”.
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