资源简介

乐山市 2024 年初中学业水平考试
数 学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共 8页．考生作答时，须将答案答在答题
卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束后，将本试
题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第Ⅰ卷（选择题 共 30 分）
注意事项：
1．选择题必须使用 2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．
1.不等式 x 2 0的解集是
A. x 2 B. x 2 C. x 2 D. x 2
2.下列文物中，俯视图是四边形的是
A B C D
3. 2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破 400亿元，居全省地
级市第一. 将 40 000 000 000用科学记数法表示为
A. 4 108 B. 4 109 C. 4 1010 D. 4 1011
4.下列多边形中，内角和最小的是
A B C D
5.为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将
调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为
交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它
人数（人） 30 5 15 8 2
数学试题第1页（共 8 页）
{#{QQABbQSAogiAAJBAAQgCUwGgCAOQkAGCCagGQBAIoAAAwBFABCA=}#}
A.100 B. 200
C.300 D. 400
6.如图 1，下列条件中不．能．判定四边形 ABCD为平行四边形的是
A. AB / / DC， AD / / BC
B. AB DC， AD BC
C. AO CO， BO DO
D. AB / / DC， AD BC
7.已知1 x 2，化简 x 1 2 x 2 的结果为
A. 1 B.1
C. 2x 3 D.3 2x
8.若关于 x 2 1 1的一元二次方程 x 2x p 0两根为 x1、 x2，且 3，则 p的值为x1 x2
2 2
A. B.
3 3
C. 6 D. 6
9. 2已知二次函数 y x 2x（ 1 x t 1），当 x 1时，函数取得最大值；当 x 1时，函数取得
最小值，则 t的取值范围是
A. 0 t 2 B. 0 t 4
C. 2 t 4 D. t 2
10.如图 2，在菱形 ABCD中， ABC 60 ， AB 1，点 P是 BC边上一个动点，在BC延长线上
找一点Q，使得点 P和点Q关于点C对称，连结DP、 AQ交于点M .当点 P从B点运动到C点
时，点M 的运动路径长为
3 3
A. B.
6 3
3
C. D. 3
2
数学试题第2页（共 8 页）
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第Ⅱ卷（非选择题 共 120 分）
注意事项：
1．考生使用 0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无
效．
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用 0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚．
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
4．本部分共 16 个小题，共 120 分．
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．
11. 计算： a 2a ▲ .
12.一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千
米/时）.那么这5辆车的速度的中位数是 ▲ .
13.如图 3，两条平行线 a、b被第三条直线 c所截.若 1 60 ，那么 2 ▲ .
14. 2 2已知 a b 3， ab 10，则 a b ▲ .
S
15.如图 4，在梯形 ABCD中， AD / / BC，对角线 AC 和 BD交于点O，若 △ABD 1 ，
S△BCD 3
S
则 △AOD ▲ .
S△BOC
16.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于 1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．
例如，点 (0,1)是函数 y x 1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 ▲ （填序号）；
2 2
① y x 3；② y ；③ y x 2x 1．
x
（2）若一次函数 y mx 3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ▲ .
数学试题第3页（共 8 页）
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三、解答题：本大题共 10 个小题，共 102 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分9分）
0
计算： 3 2024 9 .
18.（本小题满分9分）
x y 4,
解方程组：
2x y 5.
19.（本小题满分9分）
如图 5， AB 是 CAD的平分线， AC AD，求证： C D .
数学试题第4页（共 8 页）
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20.（本小题满分10分）
2x 1
先化简，再求值： 2 ，其中 x 3 .小乐同学的计算过程如下：x 4 x 2
2x 1 2x 1
解： …………①
x2 4 x 2 x 2 x 2 x 2
2x x 2
…………②
x 2 x 2 x 2 x 2
2x x 2
…………③
x 2 x 2
x 2
…………④
x 2 x 2
1
…………⑤
x 2
当 x 3时，原式 1 .
（1）小乐同学的解答过程中，第 ▲ 步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
21.（本小题满分10分）
乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客.为更好地提升服务质量，某旅行社随机调
查了部分游客对四种美食的喜好情况(每人限选一种)，并将调查结果绘制成统计图，如图 6所示.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为 ▲ 人，扇形统计图中m的值为 ▲ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述 4种美食中随机选择两种，请用
画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率.
22.（本小题满分10分）
3
如图 7，已知点 A(1,m)、 B(n,1)在反比例函数 y (x 0)的图象上，过点 A的一次函数
x
y kx b的图象与 y轴交于点C(0,1) .
（1）求m、 n的值和一次函数的表达式；
（2）连结 AB，求点C到线段 AB的距离.
数学试题第5页（共 8 页）
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23．（本小题满分10分）
我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问
题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地.
送行二步与人齐，五尺人高曾记.
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前
推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.（假设秋千的绳索拉的
很直）
（1）如图 8.1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图 8.2，将秋千从与竖直方向夹角为 的位置OA '释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向
夹角为 的地方OA ''，两次位置的高度差 PQ h .根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果
能，请用含 、 和 h的式子表示；如果不能，请说明理由.
24.（本小题满分10分）
如图 9， O是△ABC 的外接圆， AB 为直径，过点C作 O的切线CD交 BA延长线于点D，
点 E为C B上一点，且 AC C E .
（1）求证：DC / / AE；
（2）若 EF 垂直平分OB，DA 3，求阴影部分的面积.
数学试题第6页（共 8 页）
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25. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系 xOy 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点” .抛物线
y ax2 2ax 2a（ a为常数且 a 0）与 y轴交于点 A .
（1）若a 1，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于 3个且小于 6个，求 a的取值范围；
（3）若抛物线与直线 y x交于M、N 两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有 4个
“完美点”，求 a的取值范围.
数学试题第7页（共 8 页）
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26.（本小题满分13分）
在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图 10.1，在△ABC 中， BAC 90 ， AB AC ，点 D、 E 在边 BC 上，且
DAE 45 ， BD 3，CE 4，求DE 的长.
解：如图 10.2，将△ABD绕点 A逆时针旋转90 得到△ACD ，连结 ED .
由旋转的特征得 BAD CAD ， B ACD ， AD AD ， BD CD .
BAC 90 ， DAE 45 ，
BAD EAC 45 .
BAD CAD ，
CAD EAC 45 ，即 EAD 45 .
DAE D AE .
在△DAE 和△D AE中，
AD AD ， DAE D AE， AE AE，
① .
DE D E .
又 ECD ECA ACD ECA B 90 ，
在 Rt△ECD 中， ② .
CD BD 3，CE 4，
DE D E ③ .
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： ▲ ；“②”处应填： ▲ ； “③”处应填： ▲ .
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，
就能以不变应万变.
【知识迁移】
如图 10.3，在正方形 ABCD中，点E、F分别在边 BC、CD上，满足△CEF 的周长等于正
方形 ABCD的周长的一半，连结 AE 、AF ，分别与对角线 BD交于M 、N 两点.探究 BM 、MN 、
DN 的数量关系并证明.
【拓展应用】
如图 10.4，在矩形 ABCD中，点 E、F分别在边 BC、CD上，且 EAF CEF 45 .
探究 BE 、 EF 、DF 的数量关系： ▲ （直接写出结论，不必证明）.
【问题再探】
如图 10.5，在△ABC 中， ABC 90 ， AB 4， BC 3，点D、E在边 AC 上，且
DBE 45 .设 AD x，CE y，求 y与 x的函数关系式.
最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数
学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.
数学试题第8页（共 8 页）
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数学参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（选择题 共 30 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A D D B A C B
第Ⅱ卷（非选择题 共 120 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.
11.3a； 12.66； 13.120 ；
1 1 1
14.29； 15. ； 16.（1）③；（2） m 0或0 m .
9 2 2
注：16题第（1）空 1分，第（2）空 2分.
三、解答题：本大题共 10 个小题，共 102 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解：原式 3 1 3……………………………………………………………………………………6分
1. …………………………………………………………………………………………9分
注：第一步含有三个式子的计算，答对一个得 2 分.
x y 4, ①
18.解：
2x y 5. ②
解法一：① ②，得3x 9，解得 x 3 .……………………………………………………………3分
将 x 3代入①，得 y 1.…………………………………………………………………6分
x 3
.……………………………………………………………………………………9分
y 1
解法二：由①，得 y 4 x③.
将③代入②，得 2x (4 x) 5，解得 x 3 .…………………………………………3分
将 x 3代入③，得 y 1.…………………………………………………………………6分
x 3
.……………………………………………………………………………………9分
y 1
19.证明： AB是 CAD的平分线，
CAB DAB .……………………………………………………………………………3分
在△ABC和△ABD中，
AC AD， CAB DAB， AB AB，
△ABC≌△ABD（ SAS）. ………………………………………………………………7分
C D .……………………………………………………………………………………9分
数学答案第1页（共 7 页）
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20.解：（1）第③步开始出现了错误. ……………………………………………………………………3分
2x 1 2x 1
（2） ……………………………………………………4分
x2 4 x 2 (x 2)(x 2) x 2
2x x 2
…………………………………………5分
(x 2)(x 2) (x 2)(x 2)
2x x 2
……………………………………………………………6分
(x 2)(x 2)
x 2
……………………………………………………………7分
(x 2)(x 2)
1
.……………………………………………………………………8分
x 2
1
当 x 3时，原式 .…………………………………………………………………………10分
5
21.解：（1）总人数为 240人， m的值为35 .…………………………………………………………2分
（2）如下图所示.
…………………………………………5分
（3）记 A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭.
解法一：由题可得树状图：
…………………………………………8分
P 1(选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”) . ………………………………………………………10分
6
解法二：由题可列表：
第一次
A B C D
第二次
A (B, A) (C, A) (D, A)
B (A,B) (C,B) (D,B)
数学答案第2页（共 7 页）
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C (A,C) (B,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D)
…………………………………………8分
P 1(选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”) . ………………………………………………………10分
6
3
22.解：（1） 点 A(1,m)、 B(n,1)在反比例函数 y 图象上，
x
m 3， n 3 .…………………………………………………………………………………2分
又 一次函数 y kx b过点 A(1,3)，C(0,1)，
k b 3, k 2,
解得 ………………………………………………………………………4分
b 1. b 1.
一次函数表达式为 y 2x 1.………………………………………………………………5分
（2）如图，连结 BC .
过点 A作 AD BC ，垂足为点D，过点C作CE AB，垂足为点E .
C(0,1)，B(3,1)，
BC / / x轴， BC 3 .…………………………………………………………………………6分
点 A(1,3)，B(3,1)， AD BC，
点D(1,1)， AD 2， DB 2 .
在 Rt△ADB中， AB AD2 DB2 2 2 .………………………………………………7分
又 S 1 1△ABC BC AD AB CE ，……………………………………………………8分2 2
1
即 3 1 2 2 2 CE ，
2 2
CE 3 2 C AB 3 2 ，即点 到线段 的距离为 .…………………………………………10分
2 2
23.解：（1）如图，过点 A 作 A B OA，垂足为点B .
设秋千绳索的长度为 x尺.
由题可知，OA OA x， AB 4， A B 10，
OB OA AB x 4 .
在 Rt△OA B 2 2中，由勾股定理得： A B OB OA 2
102 (x 4)2 x2 .……………………………………………………………………………3分
解得 x 14.5 .
答：秋千绳索的长度为14.5尺. …………………………………………………………………5分
数学答案第3页（共 7 页）
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（2）能. …………………………………………………………………………………………6分
由题可知， OPA OQA 90 ，OA OA OA .
在 Rt△OA P中，OP OA cos OA cos .……………………………………………7分
同理，OQ OA cos OA cos .…………………………………………………………8分
OQ OP h，
OA cos OA cos h .…………………………………………………………………9分
OA h .…………………………………………………………………………10分
cos cos
24.证明：（1）如图，连结OC .
CD为 O的切线，点C在 O上，
OCD 90 ，即 DCA OCA 90 .…………………………………………………1分
又 AB为直径，
ACB 90 ，即 1 OCA 90 .
DCA 1 .…………………………………………………………………………………2分
OC OB，
1 2 .………………………………………………………………………………………3分
AC C E ,
2 3 .………………………………………………………………………………………4分
DCA 3 .
DC / / AE .……………………………………………………………………………………5分
（2）连结OE、 BE .
EF 垂直平分OB，
OE BE .
又 OE OB ，
△OEB为等边三角形.
BOE 60 ， AOE 120 .………………………………………………………………6分
OA OE，
OAE OEA 30 .
DC / / AE，
D OAE 30 .
又 OCD 90 ，
DOC 60 .
OA OC，
数学答案第4页（共 7 页）
{#{QQABbQSAogiAAJBAAQgCUwGgCAOQkAGCCagGQBAIoAAAwBFABCA=}#}
△AOC为等边三角形.
OCA 60 ，OA OC AC .
DCA 30 .
D DCA .
DA AC OA OC OE 3 .……………………………………………………………8分
EF OE sin 60 3 3 .
2
S 1 △OAE AO EF
9 3
.
2 4
又 S 120 9 OAE 3 ，扇形 360
9 3
S阴影 S OAE S△OAE 3 .………………………………………………………10分扇形 4
25.解：（1）当 a 1时，抛物线 y x2 2x 2 (x 1)2 1 .………………………………………2分
顶点坐标 (1,1) .…………………………………………………………………………………3分
（2）由题可知 A(0,2a) .
线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于 6个，
“完美点”的个数为 4个或5个. ……………………………………………………………4分
当“完美点”个数为 4个时，分别为 (0,0)， (0,1)， (0, 2)， (0,3)；
当“完美点”个数为5个时，分别为 (0,0)， (0,1)， (0,2)， (0,3)， (0,4) .
3 2a 5 .……………………………………………………………………………………6分
a 3 5 的取值范围是 a .…………………………………………………………………7分
2 2
（3）易知抛物线的顶点坐标为 (1,a)，过点 P(2, 2a)，Q(3,5a)， R(4,10a) .
显然，“完美点” (1,1)， (2,2)， (3,3)符合题意.
下面讨论抛物线经过 (2,1)， (3, 2)的两种情况：
1 5
1 当抛物线经过 (2,1)时，解得 a .此时， P(2,1)，Q(3, )， R(4,5) .
2 2
如图所示，满足题意的“完美点”有 (1,1)， (2,1)， (2,2)， (3,3)，共 4 个.
…………………………………………………………………9分
2 当抛物线经过 (3,2) 2 4时，解得 a .此时， P(2, )，Q(3,2)， R(4, 4) .
5 5
如图所示，满足题意的“完美点”有 (1,1)， (2,1)， (2, 2)， (3, 2)， (3,3)， (4, 4)，共 6
个. …………………………………………………………………11分
数学答案第5页（共 7 页）
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a 2 1的取值范围是 a .…………………………………………………………………12分
5 2
26. 1 2 2 2解：（ ）①△ADE≌△AD E；② EC CD ED ；③5 .…………………………………3分
2 DN 2 BM 2（ ） MN 2 .………………………………………………………………………4分
证明：如图，将△ABE绕点 A逆时针旋转90 ，得到△ADF .
过点D作DH BD交边 AF 于点H ，连结NH .
由旋转的特征得 AE AF ， BE DF ， BAE DAF .
由题意得 EF EC FC DC BC DF FC EC BE ，
EF DF BE DF DF F F .
在△AEF 和 AF F 中， AE AF ， EF F F ， AF AF，
△AEF ≌ AF F （ SSS）. …………………………………………………………………5分
EAF F AF .
又 BD为正方形 ABCD的对角线，
ABD ADB 45 .
DH BD，
ADH HDB ADB 45 .
在△ABM 和△ADH 中， BAM DAH ， AB AD， ABM ADH ，
△ABM ≌△ADH （ ASA）. ………………………………………………………………6分
AM AH ， BM DH .
在△AMN 和△AHN 中， AM AH ， MAN HAN ， AN AN ，
△AMN ≌△AHN （ SAS）. ………………………………………………………………7分
MN HN .
Rt△HND DN 2 2在 中， DH HN 2 ，
DN 2 BM 2 MN 2 .…………………………………………………………………………8分
（3）2BE 2 2DF 2 EF 2 .……………………………………………………………………10分
（4）如图，将△BEC绕点 B逆时针旋转90 ，得到 BE C ，连结 E D .
过点 E作 EG BC，垂足为点G，过点E 作 EG BC ，垂足为G .
过点 E 作 E F / / BA，过点D作DF / / BC交 AB于点H ， E F 、DF交于点 F .
由旋转的特征得 BE BE ， CBE C BE ， EG E G ， BG BG .
数学答案第6页（共 7 页）
{#{QQABbQSAogiAAJBAAQgCUwGgCAOQkAGCCagGQBAIoAAAwBFABCA=}#}
ABC 90 ， DBE 45 ，
CBE DBA 45 .
C BE DBA 45 ，即 DBE 45 .
在△EBD和△E BD中，
BE BE ， DBE DBE ，BD BD，
△EBD≌△E BD（ SAS）.
DE DE .
ABC 90 ， AB 4， BC 3，
AC AB2 BC 2 5 .
又 AD x，CE y
DE DE 5 x y .
DF / / BC
ADH C， AHD ABC 90 .
△AHD∽△ABC .
AH HD AD x
，即 AH 4 x，HD 3 x .
AB BC AC 5 5 5
HB 4 AB AH 4 x .
5
4 3
同理可得 EG y，GC y .
5 5
E G 4 y， BG BG 3 3 y .
5 5
E G AB， ABC 90 ， E G / / BC / / FD .
又 E F / / AB， FHG AHD 90 ，
四边形 FE G H 为矩形.
F 90 ， FH E G 4 y DF 3 4， DH FH x y
5 5 5
FE HG HB BG 4 4 x (3 3 y) 1 4 x 3 y .
5 5 5 5
Rt△E FD E F 2 DF 2在 中， E D2 .
(1 4 x 3 y)2 (3 x 4 y)2 5 x y 2 .
5 5 5 5
y 21x 60解得 .………………………………………………………………………………13分
5x 28
数学答案第7页（共 7 页）
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