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2024年辽宁省大连三十四中中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.如图所示，几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
3.山海关不住，大连真浪漫年五一假期，大连接待游客约万人次，数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
4.下列正多边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的为( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，弦，，则的半径是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，沿着由点到点的方向平移得到，若，，那么平移的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如图所示的模型，已知垂直于水平地面当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点缓慢向上旋转，段则一直保持水平状态上升即与始终平行，在该过程中始终等于( )
A. B. C. D.
9.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是( )
A. B. C. D.
10.如图，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.二次根式有意义的条件是______．
12.把分解因式的结果是 ．
13.如图，平行四边形中，为的中点，与交于点则与的面积比为______．
14.如图，已知，以点为圆心，与角的两边分别交于，两点，为圆心，大于，两条圆弧交于内一点，连接，过点作直线交于点，过点作直线交于点，，则四边形的面积是______．
15.如图，在中，，顶点的坐标为，是上一动点，将点绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在边上，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
化简求值：，其中．
17.本小题分
为加快公共领域充电基础设施建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩经调研，市场上有型、型两种充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等．
求型、型充电桩的单价各是多少？
该市决定购买型、型充电桩共个，且花费不超过万元，则至少购买型充电桩多少个？
18.本小题分
为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取的学生加科学竞赛同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查．
【收集数据】
本次竞赛满分分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据．
【整理数据】
图为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图；
平均数 众数 中位数
七年级
八年级 、、
九年级
九年级学生科学竞赛成绩数据为：，，，，，，，．
【分析数据】
图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；
【解决问题】
______， ______．
设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，，比较大小 ______；
在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为，和，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比．
19.本小题分
为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步开始时男生跑了，女生跑了，然后男生女生都开始匀速跑步已知男生的跑步速度为，当到达终点时男、女均停止跑步，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时已知轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，轴代表跑过的路程，则：
男女跑步的总路程为______．
当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．
20.本小题分
居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图所示，其侧面示意图如图所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图所示，其侧面示意图如图所示已知、、三点在一条直线上，且，参考数据：，，，．
求散热架底边的长；
垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？
21.本小题分
如图，是的直径，点在上，点是的中点，延长交的延长线于点，点在的延长线上，，垂足为．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
22.本小题分
如图，矩形中，，．
【数学活动】
将矩形纸片进行以下操作：
第一步：将矩形纸片沿直线对折，使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕，再将矩形纸片沿对角线对折，得到折痕，再次展开铺平，两折痕与交于点；
第二步：将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，直线与边所在直线交于点点不与点重合，与边所在直线交于点．
【数学思考】
绕点旋转至图的位置时，试判断与的数是关系，并证明你的结论．
【数学探究】
如图，当直线时，求的长；
在旋转过程中，当点，，三点共线时，求的长；
【问题延伸】
在绕点旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．
23.本小题分
抛物线、为常数顶点的坐标为，、为抛物线上的两点，点的坐标为，点的坐标为，将此抛物线上、两点之间的部分包括、两点记为图象．
______， ______．
当点与点重合时，求点的坐标．
当顶点在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．
矩形的顶点分别为、、，当图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：
；
，
当时，
原式．
17.解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元．
根据题意得：
解得：
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元．
设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
由题可得：，
解得：，
答：至少可购买种充电桩个．
18.解：出现了次，出现的次数最多，
众数是，即；
把年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，
中位数是；
故答案为：，；
从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；
八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以，
故答案为：；
人，
七八年级各人，
人，
九年级人，
，
该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为．
19.解：开始时男生跑了，男生的跑步速度为，从开始匀速跑步到停止跑步共用时．
男生跑步的路程为，
男女跑步的总路程为，
故答案为：；
男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，
设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，
依题意，女生匀速跑了，用了，则速度为，
，
联立，
解得：，
将代入，
解得：，
此时男、女同学距离终点的距离为．
20.解：，
，
，，
，
答：的长约为；
过点作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
因为．
所以显示屏顶部比原来升高了约．
21.证明：连接，如图所示，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：方法一：
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
的半径为．
方法二：设半径为，则，
在中，，
解得，
的半径为．
22.解：，证明如下：
由折叠和矩形性质得，，
，
，
，
是的中位线，
．
如图，连接，
由旋转的性质得，，
≌，
；
当直线时，
如图，过作于，交于，
则四边形是矩形，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得．
在旋转过程中，当点，，三点共线时，如图，
由旋转的性质得，，，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
解得：．
．
如图，连接，，
则，
当、、三点共线，且点在线段上时，，
此时的值最小，最小，
，，
，
，
最小值，
当、、三点共线，且点在延长线上时，，
此时，最大，
，
．
23.解：抛物线顶点的坐标为，
抛物线的解析式为，
，，
故答案为：，；
点与点重合，
，
解得：，
当时，，
点的坐标为；
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
顶点在图象上，
图象的最低点的纵坐标为，
当点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧时，此时且，即，
，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
当点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧时，此时且，即，
，
，
图象最高点的纵坐标等于点的纵坐标，即，
；
综上所述，与之间的函数关系式为；
，，、、，是矩形，
，且，，三点共线，
当点在点的左侧时，即，解得：，
此时，，
在轴右侧，
，
根据对称性可得，
图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，
，
解得：．
当点在点的右侧时，即，解得：，
此时，，
，
在左侧，
图象在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小，
，
解得：．
综上所述，的取值范围为或．
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