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2023-2024学年河南省郑州市航空港区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.交通法规人人遵守，文明城市处处安全在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为( )
A.
B.
C.
D.
3.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的( )
A. B.
C. D.
4.如图，在平行四边形中，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线可以得到，所以那么射线就是的平分线．的依据是( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在 中，对角线，相交于点，，是对角线上的两点，当，满足下列哪个条件时，四边形不一定是平行四边形( )
A. B.
C. D.
7.定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖图案进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是( )
A. B. C. D.
8.下列命题是真命题的是( )
A. 到角两边距离相等的点在角的角平分线上
B. 若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是
C. 若关于的分式方程有增根，则的值为
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
9.如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，、分别为、的中点，平分，交于点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.鱼缸里饲养、两种鱼，种鱼的生长温度的范围是，种鱼的生长温度的范围是，那么鱼缸里的温度应该控制在______范围内．
12.用反证法证明命题“一个三角形中最多有一个角是直角”，第一步应假设______．
13.如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，边的垂直平分线交于点，交于点若，则的度数为______．
14.已知不等式组的解集为，则的值是 ．
15.如图所示，等腰三角形的底边为，腰长为，一动点与、不重合在底边上从向以的速度移动，当运动______秒时，是直角三角形．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
先化简，再求值：，其中是不等式组的正整数解．
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，每个方格的边长均为个单位长度．
若和关于原点成中心对称，请画出；
将进行平移得到，若的坐标为，则坐标为______；
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且点在轴上，则点的坐标是______．
18.本小题分
已知：如图，点，分别是等边三角形的两边，上的点，且．
求证：≌；
求的度数．
19.本小题分
为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共用元，且买个甲种笔记本比买个乙种笔记本少花元．
求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？
张老师准备购买甲乙两种笔记本共个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？
20.本小题分
如图，在 中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于．
求证：四边形是平行四边形；
若平分，，，求 的面积．
21.本小题分
数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着重要的作用，数学的应用渗透到现代社会的各个方面比如：
数学在生活中的应用：如图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板另一边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一处紧靠木板边缘，如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，其中蕴涵的道理是______．
数学在航海中的应用：如图，一艘船从处向正北航行海里到达处，分别从，望灯塔，测得，，则利用数学知识可得处到灯塔的距离是______海里．
数学在建设中的应用：如图：某地有两个村庄、和两条相交叉的公路，，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该点注意保留作图痕迹，不用写作法
总之：数学应用于我们生活中的方方面面，数学在形成人的理性思维、科学精神、促进个人智力发展中发挥着不可代替的作用．
22.本小题分
【阅读材料】著名数学家华罗庚曾经说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：如图利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【理解应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
由图可得等式：______；由图可得等式：______；
利用图得到的结论，解决问题：若，，则 ______；
【思维拓展】已知正数，，和，，满足试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
23.本小题分
综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了≌．
根据以上信息，请填空：
______；
线段，，之间的数量关系为______；
【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
【拓展应用】如图，已知，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长．
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.一个三角形中最少有两个角是直角
13.
14.
15.或
16.解：
，
解不等式组得，，
其整数解为，，
，
，
当时，原式．
17.
18.证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌．
解：≌，
，
，
，
的度数是．
19.解：设甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元，
根据题意得：，
解得，
甲种笔记本的单价是元，乙种笔记本的单价是元；
设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，
甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的倍，
，
解得，
设所需费用为元，
，
，
随的增大而减小，
时，最小，最小值为元，
此时，
答：购买个甲种笔记本，购买个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是元．
20.证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
的面积．
21.平行四边形的对边平行
22. ；
23.

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