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2024年春季学期高二数学期末考试卷
考试范围：选择性必修第二册第五章和选择性必修第三册
姓名：___________ 班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
则E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
3．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归方程为.已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ）
A．162 B．166 C．170 D．174
4．甲、乙等6人去参观民间剪纸艺术展，参观结束后，他们站成一排拍照留念，则甲、乙相邻的不同站法有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．480种
5．的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（ ）
A． 32 B．32 C． 64 D．64
6．在杭州亚运会射击项目多向飞碟比赛中，已知某选手第一发命中的概率为，第一发和第二发均命中的概率为．则在他第一发命中的前提下，第二发未命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．某同学定点投篮每次命中的概率均为，每命中一次得2分，若记10次投篮得分为X，则随机变量X服从二项分布，简记.
B．某工厂生产了一批产品50件，其中质量达到“A级”的有20件，则从该批产品中随机抽取10件，记录抽到的产品中为“非A级”的个数为Y，则随机变量Y的数学期望为.
C．若随机变量的成对数据的线性相关系数，则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，不是线性相关关系.
D．若随机变量，其分布密度函数为，则.
8．已知函数的定义域为为其导函数，若对，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。
9．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%，将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是（ ）
A．这件产品是合格的概率为0.949 B．这件产品是次品的概率为0.949
C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为
D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为
10．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．的最小值是
C．图象与直线相切 D．图象与直线相切
11．若随机变量，则（ ）
A．的密度曲线与轴只有一个交点 B．的密度曲线关于对称
C． D．若，则，
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数在处的切线方程为，则 ．
13．已知随机变量，，则取最小值时， .
14．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答）
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）①是函数的一个极值点；②的一个零点为．从这两个条件中任意选择一个作为题中的条件，并作出解答．
已知函数的导函数为，且________．
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
16．（15分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支持，现统计了45株抗倒伏玉米，55株易倒伏玉米的茎高情况，设茎高大于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．完成以下问题．
(1)完成以下的2×2列联表：
茎高 倒伏 合计
抗倒伏 易倒伏
矮茎 15
高茎 50
合计
(2)根据（1）中的列联表，能否作出玉米倒伏与茎高有关的结论？
(参考公式及数据：
其中.)
17．（15分）若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
18．（17分）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称“强基计划”)，《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲 乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.
（1）若，分别求出该考生报考甲 乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.
19．（17分）已知函数．
(1)若，求的图象在点处的切线方程；
(2)若在上单调递减，求的取值范围．高二数学期末考试卷参考答案
1．B
【详解】根据题意，，
，则.故选：B.
2．A
【详解】由题可得，解得或，
当时，，不符合题意，舍去，；
所以可得分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
，故选：A.
3．B
【详解】根据题意，得，，
，由在上，得，即，故，
令，得，即该学生身高约为166 cm.故选：B.
4．B
【详解】依题意，甲、乙相邻的不同站法有（种）.故选：B
5．C
【详解】令得：，解得：，其中的通项公式为，令得：，所以，则，令，此时，不合题意，综上：该展开式中的常数项为-64.故选：C
6．C
【详解】解：设该选手“第一发命中”为事件，“第二发命中”为事件，
则，所以．
故选：C．
7．D
【详解】对于A，由题意，记10次投篮命中的次数为，则，
随机变量命中次数服从二项分布，而随机变量投篮得分X不服从二项分布，故A错误；
对于B，由题意随机变量服从超几何分布，则，故B错误；
对于C，若随机变量的成对数据的线性相关系数，
则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，且是线性相关关系，故C错误；
对于D，因为随机变量，其分布密度函数为，
所以，则，故D正确.故选：D.
8．C
【详解】令，
则，
所以在上单调递减．因为当时，，
所以当时，；当时，．
由于当时，且，所以；
当时，且，所以；
当时，因为，令，得，所以在上恒成立．故选：C．
9．AC
【详解】A选项，设“取出的是第i批产品”，B＝“取出的是合格品”，
，A正确；
B选项，设C＝“取出的是次品”，
，B正确；
C、D选项．，
，C正确，D错误.故选：AC．
10．AD
【详解】因为图象关于直线对称，当时，，于是，当时，，于是，于是，，所以，故A正确；，令
，，则，，因为图象开口向上，对称轴是，所以的最小值为，故B错误；
联立方程，解得：或或，
，，，，
所以与直线不能相切，故C不正确；
，，，所以函数在处的切线方程为，故D正确.故选：AD
11．ACD
【详解】若，则其密度函数，因此的密度曲线与轴只有一个交点，故A正确；
的密度曲线关于直线对称，故B错误；
，故C正确；
，，故D正确.
故选：ACD.
12．6
【详解】函数在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率，
所以.故答案为：6.
13．6
【详解】由题意可知, , 所以 ,
所以 ,所以 ,当且仅当 , 即时, 等号成立,
所以的最小值为 8，此时 ,
所以 .故答案为: 6.
14．
【详解】先排男生，再将女生排到5个空位里，有种情况.
故答案为：
15．
【详解】（1）.
若选①，则；
若选②，则；
（2）由（1）可得.
或在，上单调递减；
在上单调递增.
则的单调递增区间是，单调递减区间是，．
16．
【详解】（1）依题意可得列联表如下：
茎高 倒伏 合计
抗倒伏 易倒伏
矮茎 15 35 50
高茎 30 20 50
合计 45 55 100
（2）由（1）可得，
因为
因此可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
17．
【详解】（1）令，则，①
（2）令，则，②
令，则，
，
；
（3），
即为含项的系数，为，
则.
18．
【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，
则
该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则
（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，
根据题意可知，，则，
报将乙大学通过的科目数为，随机变量满足概率为：
，
，
，
，
随机变量的分布列：
0 1 2 3
，
因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴，则，
所以的范围为：.
19．
【详解】（1）当时，，，
将分别代入和求得，，
则的图象在点处的切线方程为： ，即.
（2）因为，求导得，
，
在上单调递减，则恒成立.
即.
令，则上式转化为恒成立，
参变分离得，令，
则，
令，解得.
当单调递增，当单调递减.
则，故.

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