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1.4 解一元二次方程（直接开平方法与配方法） 专项练习
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·山东滨州·三模）方程的解为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（ ）
A．1，4 B．1， C．2， D．3，0
3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖南常德·一模）若将一元二次方程化成的形式，则和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．
6．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）一元二次方程，其中较大的一个根为，下列最接近的范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（ ）
A．2或 B．或 C．2或 D．或
8．（2021·安徽马鞍山·二模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（20-21九年级上·四川攀枝花·期中）已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
10．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024八年级下·安徽·专题练习）方程的一个较小的根为 ．
12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）当 时，代数式与的值互为倒数．
13．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）若， ．
14．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是 ．
15．（2024八年级下·上海·专题练习）方程的根是
16．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知x为实数，且满足，那么
17．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程的两根为，则方程的两根为 ．
18．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知点，，P 为y轴正半轴上一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转，点A的对应点为Q，则线段的最小值是

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解一元二次方程：
（1）； （2）．
20．（8分）（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）按要求解下列方程
（1）（直接开平方法）． （2）（用配方法解方程）．
21．（10分）（18-19七年级下·江苏苏州·期末）先化简再求值:
，其中满足.
22．（10分）（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征：
（1）请猜想：方程的解为 ；
（2）请猜想：关于的方程 的解为，；
（3）下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为．
（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）
23．（10分）（23-24九年级下·河北邯郸·期中）解答：
例： ，
请你参考黑板中老师书写的变形，解答下列问题；
探究：
（1）无论x取何值，试说明代数式的值一定是负数；
应用：
（2）记某个正方形的面积为，边长为，某个矩形的面积为，若该矩形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为6，请比较与的大小，并说明理由．
24．（12分）（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式的最小值．
解：，
∵，∴
∴当时，的最小值是4．
(1)【类比探究】
求代数式的最小值；
(2)【举一反三】
若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；
(3)【灵活运用】
已知，则________；
(4)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程的，解答此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：
∴，
．
故选D．
2．C
【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可．
【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是能够利用完全平方公式将方程进行变形．据此将方程整理后即可求出与的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴可化为，
∴和的值分别为a和b的值分别为，．
故选：C．
5．C
【分析】此题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，把代入方程得，然后解方程即可，解题的关键是熟记方程的解和熟练掌握解一元二次方程．
【详解】解：把代入方程，得，
解得，
故选：．
6．A
【分析】先利用配方法解一元二次方程求得，再根据，即可求解．
【详解】解：，
∴，
配方得，，
∴，
∵较大的一个根为，
∴，
∵，
∴，即，
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，分当即时，当即时，根据新定义可得方程和方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：当即时，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
当即时，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的值是或，
故选：B．
8．A
【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．
【详解】，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
9．C
【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，
∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，
∴（a-5）2+（b-8）2=0，
∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-5=0，b-8=0，
∴a=5，b=8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b-a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8＜c＜13．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．
10．A
【分析】直接利用直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理表示出；利用矩形的面积公式列出式子，再进行配方，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
；
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
当时，矩形的面积最大，最大值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是列代数式，矩形的性质，含度角的直角三角形，勾股定理的有关知识，正确列出代数式是解决本题的关键．
11．/
【分析】本题考查了解一元二次方程通过直接开平方法解得，则易求该方程的两个根，通过比较即可知该方程的较小的根为．
【详解】解：由原方程，得
，
解得，，．
，即
，即方程的一个较小的根为．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．
根据互为倒数的两个代数式的积等于，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵代数式与的值互为倒数，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
13．2
【分析】本题考查了解一元二次方程和分式的求值，先解方程，再把在值代入式子计算即可．
【详解】解：，
，
解得，
．
故答案为：2．
14．第二象限
【分析】本题考查了解一元二次方程和一次函数的图象与系数的关系，先配方，求出、的值，再根据一次函数的图象与系数的关系得出即可．
【详解】解：
∴
∴
∴
∴
∴直线为，
∵
∴图象不经过第二象限，
故答案为：第二象限．
15．
【分析】本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．移项，系数化成1，再两次开方即可．
【详解】解：，
，
，
开方得：，或（舍去），
开方得：，
故答案为：．
16．1
【分析】
本题考查了因式分解解一元二次方程的应用，根据原式，得，把看作一个整体，令每个因式为0，即可作答．
【详解】解：∵
∴
则
解得
∵当时，，不存在实数使得，
那么
故答案为：1．
17．
【分析】本题主要考查了配方法的应用、直接开平方等知识点，掌握整体思想是解题的关键．
由可得，再对配方得到，然后运用直接开平方法求解即可．
【详解】解：可得，
，
，
所以．
故答案为：．
18．
【分析】
过点 Q 作轴于点C，轴于点 D，证明，可得，，设，可得，表示出，利用配方法求出的最小值即可．
【详解】
解∶如图，过点 Q 作轴于点C，轴于点 D，

由旋转得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴当时，取最小值，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用，配方法的应用，作出合适的辅助线，设出点P坐标，能够表示出点Q的坐标是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．
（1）运用直接开平方即可求得x的值；
（2）运用配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
或，
解得；
（2）解：
或．
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）本题考查了解一元二次方程直接开平方法，先变形为，然后利用直接开平方法即可求解；
（2）本题考查了解一元二次方程配方法，先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解；
【详解】（1）解：
，
，；
（2）解：
，
，
，
，；
21．-
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知等式变形后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【详解】原式= ，
已知等式,整理得：(a 2b) +(b+) =0，
可得a=2b,b= ，
解得：a= 1,b= ，
则原式= .
【点睛】此题考查配方法的应用，分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
22．(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．
【详解】（1）解：方程整理得：，
其解为，；
（2）解：猜想得：其解为，，
故答案为：（或；
（3）解：方程二次项系数化为1，
得．
配方得，
，即，
开方得，
，
解得，．
经检验，，都是原方程的解．
23．（1）见解析；（2），理由见解析．
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
（1）利用配方法，将原式变形为，即可解答；
（2）利用作差法，再将计算的结果变形，即可解答．
【详解】解：（1）
，
，，
∴无论x取何值，代数式的值一定是负数；
（2）
理由：由题意，得，，
，
，即，
.
24．(1)3
(2)；大；1
(3)1
(4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：
（1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可；
（2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可；
（3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可；
（4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为3；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为1，
故答案为：；大；1；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：设，则，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，最大值为48，
∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．

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