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第一章 动量守恒定律
1　实验：探究碰撞中的不变量
一、实验原理
1.一维碰撞
两个物体碰撞前沿同一直线运动，碰撞后仍沿这条直线运动.这种碰撞叫做一维碰撞.
2.实验的基本思路：寻求不变量
在一维碰撞的情况下，设两个物体的质量分别为m1、m2，碰撞前（即将发生碰撞的那一时刻）的速度分别为v1、v2，碰撞后（碰撞刚结束的那一时刻）的速度分别为v1′、v2′，如果速度的方向与我们设定的坐标轴的正方向一致，取正值，反之则取负值.探究以下关系式是否成立：
(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′；
(2)m1v12＋m2v22＝m1v1′2＋m2v2′2；
(3)＋＝＋.
二、实验方案设计
方案1：利用气垫导轨结合光电门的实验探究
(1)质量的测量：用天平测量.
(2)速度的测量：v＝，式中的Δx为滑块上挡光板的宽度，Δt为数字计时显示器显示的滑块上的挡光板经过光电门的时间.
(3)碰撞情景的实现：如图所示，利用弹簧片、细绳、弹性碰撞架、胶布、撞针、橡皮泥设计各种类型的碰撞，利用在滑块上加重物的方法改变碰撞物体的质量.
(4)器材：气垫导轨、光电计时器、滑块(带挡光板)两个、弹簧片、细绳、弹性碰撞架、胶布、撞针、橡皮泥、天平.
方案2：利用摆球结合机械能守恒定律的实验探究
(1)所需测量量：悬点至球心的距离l，摆球被拉起(或被碰后)的角度θ，摆球质量m(两摆球质量可相等，也可不相等).
(2)速度的计算：v＝.
(3)碰撞情景的实现：如图所示，用贴胶布的方法增大两球碰撞时的能量损失.
(4)器材：带细线的摆球(两套)、铁架台、量角器、坐标纸、胶布、天平.
方案3：利用“光滑”水平面结合打点计时器的实验探究
(1)所需测量量：纸带上两计数点间的距离Δx，小车经过Δx所用的时间Δt，小车质量m.
(2)速度的计算：v＝.
(3)碰撞情景的实现：如图所示，A运动，B静止，在两小车的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥，碰撞时撞针插入橡皮泥中，把两个小车连接成一体.
(4)器材：长木板、小木块、打点计时器、纸带、刻度尺、小车(两个)、撞针、橡皮泥、天平.
三、实验步骤
不论哪种方案，实验过程均可按实验方案合理安排，参考步骤如下：
(1)用天平测出相关质量.
(2)安装实验装置.
(3)使物体发生一维碰撞，测量或读出相关物理量，计算相关速度，填入预先设计好的表格.
(4)改变碰撞条件，重复实验.
(5)通过对数据的分析处理，找出碰撞中的不变量.
(6)整理器材，结束实验.
四、数据处理
将实验中测得的物理量填入下表，物体碰撞后运动的速度与原来的方向相反时需要注意正负号.
碰撞前 碰撞后
质量 m1 m2 m1 m2
速度 v1 v2 v1′ v2′
mv m1v1＋m2v2 m1v1′＋m2v2′
mv2 m1v12＋m2v22 m1v1′2＋m2v2′2
＋ ＋
其他 猜想 … …
通过研究以上实验数据，找到碰撞前后的“不变量”.
二、利用摆球结合机械能守恒定律进行实验探究
1.碰撞前后摆球速度的大小可从摆线的摆角反映出来，所以方便准确地测出碰撞前后摆线的摆角大小是实验的关键.
2.根据机械能守恒定律计算碰撞前后摆球的速度与摆的角度的关系.
3.实验时应注意，两小球静放时球心应在同一水平线上，且刚好接触，摆线竖直，将小球拉起后，两条摆线应在同一竖直平面内.
三、利用斜槽滚下的小球结合平抛运动进行实验探究
1.实验原理与操作
如图甲所示，让一个质量较大的小球从斜槽上滚下来，与放在斜槽水平末端的另一质量较小的同样大小的小球发生碰撞，之后两小球都做平抛运动.
(1)质量的测量：用天平测量质量.
(2)速度的测量：由于两小球下落的高度相同，所以它们的飞行时间相等.如果以用小球的飞行时间为单位时间，那么小球飞出的水平距离在数值上就等于它的水平速度.只要测出不放被碰小球时入射小球在空中飞出的水平距离s1，以及碰撞后入射小球与被碰小球在空中飞出的水平距离s1′和s2′.就可以表示出碰撞前后小球的速度.
(3)碰撞情景的实现：①不放被碰小球，让入射小球m1从斜槽上某一位置由静止滚下，记录平抛的水平位移s1.
②在斜槽水平末端放上被碰小球m2，让m1从斜槽同一位置由静止滚下，记下两小球离开斜槽做平抛运动的水平位移s1′、s2′.
③探究m1s1与m1s1′＋m2s2′在误差允许范围内是否相等.
(4)器材：斜槽、两个大小相等而质量不等的小球、重垂线、白纸、复写纸、刻度尺、天平、圆规.
2.实验注意事项：
(1)入射小球的质量m1大于被碰小球的质量m2(m1>m2).
(2)入射小球半径等于被碰小球半径.
(3)入射小球每次必须从斜槽上同一高度处由静止滚下.
(4)斜槽末端的切线方向水平.
(5)为了减小误差，需要求不放被碰小球及放被碰小球时小球落点的平均位置.为此，需要让入射小球从同一高度多次滚下，进行多次实验.
2　动量和动量定理
一、动量
1.动量
(1)定义：物体的质量和速度的乘积.是描述物体运动状态的物理量.
(2)公式：p＝mv，单位：kg·m/s.
(3)矢量性：动量是矢量，方向与速度的方向相同，运算遵循平行四边形定则.
(4)瞬时性：状态量
(5)相对性：与参考系选取有关，一般以地面为参考系.
(6)匀速直线运动：p大小、方向均不变
自由落体：p方向不变，大小不断增大
平抛：p方向改变，大小不断增大
(7)动量与动能的比较
动量 动能
物理意义 描述机械运动状态的物理量
定义式 p＝mv Ek＝mv2
标矢性 矢量 标量
变化因素 合外力的冲量 合外力所做的功
大小关系 p＝ p＝ Ek＝
变化量 Δp＝Ft ΔEk＝Fl
联系 (1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系 (2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动能不一定发生变化
(8)p发生变化：v大小改变，方向不变，Ek改变
v大小不变，方向改变，Ek不变
v大小，方向改变，Ek改变
2.动量的变化量
(1)物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差，Δp＝p′－p=mv-mv0=mv(矢量式).
(2)Δp方向与v的方向相同，在合力为恒力的情况下，物体动量的变化的方向也与物体加速度的方向相同，即与物体所受合外力的方向相同.
(3)Δp也叫动量的增量或动量的该变量
(4)关于动量变化量的求解
①若初、末动量在同一直线上，选定一个正方向，动量、动量的变化量用带正、负号的数值表示，从而将矢量运算简化为代数运算，此时的正、负号仅表示方向，不表示大小.
②若初、末动量不在同一直线上，运算时应遵循平行四边形定则.
二、冲量
(1)定义：力和力的作用时间的乘积.
(2)公式：I＝Ft，单位：N/s
(3)冲量是过程量，求冲量时一定要明确是哪一个力在哪一段时间内的冲量.
(4)冲量是矢量，若是恒力的冲量，则冲量的方向与该恒力的方向相同.
(5)冲量的作用效果：使物体的动量发生变化.
2.冲量和功的区别
冲量 功
公式 I＝Ft W＝Fxcos
标矢量 矢量 标量
单位
意义 力对时间的积累, 对应一段时间 在F-t图像中可以用面积表示 力对位移的积累, 对应一段位移 在F-x图像中可以用面积表示
正负 正负表示与正方向相同或相反 正负表示动力做功或阻力做功
作用效果 改变物体的动量 改变物体的动能
图像
(1)冲量和功都是过程量。(2)力作用的冲量不为零时,力做的功可能为零;力做的功不为零时,力作用的冲量一定不为零。(3)某个力对物体有冲量,力对物体不一定做功；(4)某个力对物体做了功,力对物体一定有冲量。
2.冲量的计算方法
(1)恒力的冲量：直接用定义式I＝Ft计算．
(2)变力的冲量
①作出F－t图线，图线与t轴所围的面积即为变力的冲量，如图所示．
②对于易确定始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解．
(3)合力的冲量计算：几个力的合力的冲量计算,既可以先算出各个分力的冲量后再求矢量和,又可以先算各个分力的合力再算合力的冲量。
三、动量定理
1.动量定理的推导
如图所示，一个质量为m的物体(与水平面无摩擦)在水平恒力F作用下，经过时间t，速度从v变为v′.
物体在这个过程中的加速度a＝根据牛顿第二定律F＝ma可得F＝m
整理得：F合t＝m(v′－v)＝mv′－mv即Ft＝mv′－mv＝Δp.
2.对动量定理的理解
(1)内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量.
(2)表达式：F合t＝Δv .mv′－mv＝Ft或p′－p＝I.矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向.
(3)Ft＝p′－p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同．式中Ft是物体所受的合外力的冲量．
(4)Ft＝p′－p除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合外力的冲量是动量变化的原因．
(5)由Ft＝p′－p，得F＝＝，即物体所受的合外力等于物体动量的变化率．公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是均匀变化的力，则F应是合外力在作用时间内的平均值.
(6)当物体运动包含多个不同过程时，可分段应用动量定理求解，也可以全过程应用动量定理．
3.动量定理的应用
(1)定性分析有关现象.
①缓冲装置，物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大，反之力就越小.
②作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大，反之动量变化量就越小.
③求平均作用力
④分析生活中的问题
动量变化相同
(2)应用动量定理定量计算的一般步骤.
①确定研究对象．
②对物体进行受力分析．可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和——合力的冲量；或先求合力，再求其冲量．
③抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号．分析速度时一定要选取同一参考系，一般选地面为参考系；
④根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解．
四、应用动量定理处理流体冲击力问题
研究对象 流体类：液体流、气体流等，通常已知密度ρ
微粒类：电子流、光子流、尘埃等，通常给出单位体积内粒子数n
分析步骤 ①构建“柱状”模型：沿流速v的方向选取一段小柱体，其横截面积为S
②微元研究 小柱体的体积ΔV＝vSΔt
小柱体质量m＝ρΔV＝ρvSΔt 小柱体粒子数N＝nvSΔt
小柱体动量p＝mv＝ρv2SΔt
③建立方程，应用动量定理FΔt＝Δp研究
1.流体作用模型：对于流体运动,可沿流速v的方向选取一段柱形流体,设在极短的时间Δt内通过某一横截面S的柱形流体的长度为Δl,如图所示。设流体的密度为ρ,则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量为Δm=ρSΔl=ρSvΔt,根据动量定理,流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量,即FΔt=ΔmΔv,分两种情况:
(1)作用后流体微元停止,有Δv=-v,代入上式有F=-ρSv2;
(2)作用后流体微元以速率v反弹,有Δv=-2v,代入上式有F=-2ρSv2。
2.微粒类问题
微粒 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”,质量具有独立性,通常给出单位体积内粒子数n
分析 步骤 (1)建立“柱体”模型,沿运动的方向选取一段微元,柱体的横截面积为S (2)微元研究,作用时间Δt内一段柱体的长度为Δl,对应的体积为ΔV=Sv0Δt,则微元内的粒子数N=nv0SΔt (3)先应用动量定理研究单个粒子,建立方程,再乘以N计算
3　动量守恒定律
一、系统、内力与外力
1.系统：相互作用的两个或多个物体组成的一个力学系统.
2.内力：系统中物体间的相互作用力.
3.外力：系统外部的物体对系统内物体的作用力.
二、动量守恒定律
1.动量守恒定律的推导
如图所示，光滑水平桌面上质量分别为m1、m2的球A、B，沿着同一直线分别以v1和v2的速度同向运动，v2>v1.当B球追上A球时发生碰撞，碰撞后A、B两球的速度分别为v1′和v2′.
设碰撞过程中两球受到的作用力分别为F1、F2，相互作用时间为t.根据动量定理：
F1t＝m1(v1′－v1)，F2t＝m2(v2′－v2).
因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律知，F1＝－F2，
则有：m1v1′－m1v1＝－(m2v2′－m2v2)即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
三、动量守恒定律
1.内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变.
2.动量守恒定律的成立条件
(1)理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零．
(2)近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．（碰撞、爆炸瞬间）
(3)某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守恒．
3.四种表达形式：
(1)p＝p′：系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′：相互作用的两个物体组成的系统，作用前动量的矢量和等于作用后动量的矢量和.
(3)Δp1＝－Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反.
(4)Δp＝0：系统总动量增量为零.
4.动量守恒定律的五个特性
矢量性 动量守恒定律的表达式为矢量方程,解题时应选取统一的正方向
相对性 各物体的速度必须是相对于同一参考系的速度(一般是相对于地面)
同时性 动量是一个瞬时量,表达式中的p1、p2、…必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量,p1'、p2'、…必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量
系统性 研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统
普适性 动量守恒定律不仅适用于低速宏观物体组成的系统,还适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统
5.几点注意：
①动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统.判断系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系.
②判断系统的动量是否守恒，要注意守恒的条件是不受外力或所受合外力为零，因此要分清哪些力是内力，哪些力是外力.
③系统在整个过程中，任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等。
④系统的动量守恒，并不是系统内各物体的动量都不变.一般来说，系统的动量守恒时，系统内各物体的动量是变化的，但系统内各物体的动量的矢量和是不变的.
四、动量守恒定律的应用
1.应用动量守恒定律的解题步骤：
2.动量守恒定律的临界问题
①当小物块到达最高点时，两物体速度相同．
②弹簧最短或最长时，两物体速度相同，此时弹簧弹性势能最大．
③两物体刚好不相撞，两物体速度相同．
④滑块恰好不滑出长木板，滑块滑到长木板末端时与长木板速度相同．
五、爆炸现象的三个规律
动量守恒 爆炸在极短的时间内完成,爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力,在爆炸过程中,系统的总动量守恒
动能增加 在爆炸过程中,由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能,所以爆炸后系统的总动能增加
位置不变 爆炸的时间极短,因而作用过程中,物体产生的位移很小,一般可忽略不计,可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
4　碰撞
一、弹性碰撞和非弹性碰撞
1.碰撞的特点
(1)时间特点：碰撞现象中，相互作用的时间极短，相对物体运动的全过程可忽略不计.
(2)相互作用力特点：在碰撞过程中，系统的内力远大于外力，所以碰撞过程动量守恒.
2.碰撞的分类
动量是否守恒 机械能是否守恒
弹性碰撞 守恒 守恒
非弹性碰撞 守恒 有损失
完全非弹性碰撞 守恒 损失最大
(1)非弹性碰撞：损失的机械能转化为内能，ΔE＝Ek初总－Ek末总＝Q.
(3)完全非弹性碰撞：碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最大.
设两者碰后的共同速度为v共，则有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共
机械能损失为ΔE＝m1v12＋m2v22－(m1＋m2)v共2.
3．碰撞问题遵守的三条原则
(1)动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′.
(2)动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′.或＋≥＋
(3)速度要符合实际情况
①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v后>v前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后两物体同向运动，则应有v前′≥v后′.
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变．
4．弹性碰撞的结论
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞（一维弹性一静一动）为例，则有
m1v0＝m1v1＋m2v2 ① m1v02＝m1v12＋m2v22 ②
联立解得：v1＝v0，v2＝v0
①若m1＝m2，则v1＝0，v2＝v0(质量相等交换速度)；
②若m1>m2（大碰小向前跑），则v1>0，v2>0(碰后两物体沿同一方向运动)；
当m1 m2时，v1≈v0，v′≈2v0；
③若m10(碰后两物体沿相反方向运动)；
当m1 m2时，v1≈－v0，v2≈0.
碰撞可能性的判断（临界）
物体A与静止的物体B发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体B的速度最小，vB＝v0，当发生弹性碰撞时，物体B速度最大，vB＝v0.
则碰后物体B的速度范围为：v0≤vB≤v0.
6．处理碰撞问题的思路
①对一个给定的碰撞，首先要看动量是否守恒，其次再看总机械能是否增加.②注意碰后的速度关系.
③要灵活运用Ek＝或p＝，Ek＝pv或p＝几个关系式.
二、对心碰撞和非对心碰撞
1.两类碰撞
(1)对心碰撞：碰撞前后，物体的动量在同一条直线上，也叫正碰.
(2)非对心碰撞：碰撞前后，物体的动量不在同一条直线上.（两球质量相等，一球静止，另一球与其发生弹性斜碰，无论小球初速度多大，碰后两球速度必定垂直）
2.散射
(1)定义：微观粒子相互接近时并不像宏观物体那样“接触”而发生的碰撞.
(2)散射方向：由于粒子与物质微粒发生对心碰撞的概率很小，所以多数粒子碰撞后飞向四面八方.
三、碰撞模型的拓展
1.“滑块—弹簧”模型
①模型图示
②模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒
(2)机械能守恒：系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)
2.“滑块—斜(曲)面”模型
①模型图示
②模型特点
(1)最高点：m与M具有共同水平速度v共，m不会从此处或提前偏离轨道．系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)
(2)最低点：m与M分离点．水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22 (完全弹性碰撞拓展模型)
5　反冲运动　火箭
一、反冲现象
1.定义
一个静止的物体在内力的作用下分裂为两部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动的现象.
2.规律：反冲运动中，相互作用力一般较大，满足动量守恒定律.
3.反冲运动的三个特点
(1)物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动.
(2)反冲运动中，相互作用的内力一般情况下远大于外力或在某一方向上内力远大于外力，所以两部分组成的系统动量守恒或在某一方向动量守恒.
(3)反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总动能增加.
作用原理 反冲运动是系统内物体之间的作用力和反作用力产生的效果
动量守恒 反冲运动中系统不受外力或内力远大于外力，所以反冲运动遵循动量守恒定律
机械能增加 反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加
4.反冲现象的应用及防止：
(1)应用：农田、园林的喷灌装置利用反冲使水从喷口喷出时，一边喷水一边旋转.喷气式飞机，反击式水轮机，灌溉喷水器。
(2)防止：用枪射击时，由于枪身的反冲会影响射击的准确性，所以用枪射击时要把枪身抵在肩部，以减少反冲的影响.榴弹炮止退犁.
5.讨论反冲运动应注意的两个问题
(1)速度的方向性：对于原来静止的整体，当被抛出部分具有速度时，剩余部分的反冲是相对于抛出部分来说的，两者运动方向必然相反.在列动量守恒方程时，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，则反方向的另一部分的速度就要取负值.
(2)速度的相对性：反冲问题中，有时遇到的速度是相互作用的两物体的相对速度.但是动量守恒定律中速度通常为相对地面的速度.因此应先将相对速度转换成相对地面的速度，再列动量守恒定律方程.
二、火箭
1.工作原理：利用反冲运动，火箭燃料燃烧产生的高温、高压燃气从尾部喷管迅速喷出，使火箭获得巨大的向前的速度.火箭喷气属于反冲类问题，是动量守恒定律的重要应用.
2.影响火箭获得速度大小的两个因素：
(1)喷气速度：现代火箭的喷气速度为2 000～4 000 m/s.
(2)质量比：火箭初始时的质量与燃料用完时箭体质量之比.喷气速度越大，质量比越大，火箭获得的速度越大.
3.方法：提高喷气速度，使用高质量燃料（液氧液氢做氧化剂），增大质量比，多级火箭。
4.现代火箭的主要用途：利用火箭作为运载工具，如发射探测仪器、常规弹头和核弹头、人造卫星和宇宙飞船等.
5.分析火箭类问题应注意的三个问题
(1)火箭在运动过程中，随着燃料的燃烧，火箭本身的质量不断减小，故在应用动量守恒定律时，必须取在同一相互作用时间内的火箭和喷出的气体为研究对象.注意反冲前、后各物体质量的变化.
(2)明确两部分物体初、末状态的速度的参考系是否为同一参考系，如果不是同一参考系要设法予以调整，一般情况要转换成对地的速度.
(3)列方程时要注意初、末状态动量的方向.
三、反冲运动的应用——“人船模型”
1.人船模型：两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒.
(1)模型图示
(2)模型特点
①两物体满足动量守恒定律：mv人－Mv船＝0
②两物体的位移满足：m－M＝0，mx人＝Mx船，x人＋x船＝L，得x人＝L，x船＝L
(3)运动特点
①人动则船动，人静则船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；
②人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度(瞬时速度)比等于它们质量的反比，即＝＝.
(4)“人船模型”是利用平均动量守恒求解的一类问题，解决这类问题应明确：
①适用条件：
a.系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零；
b.在系统内发生相对运动的过程中至少有一个方向的动量守恒(如水平方向或竖直方向).
②画草图：解题时要画出各物体的位移关系草图，找出各长度间的关系，注意两物体的位移是相对同一参考系的位移.
专题　动量和能量的综合应用
一、子弹打木块模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，内力远大于外力，系统的动量守恒．
(2)在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化.系统的机械能有损失．
3．两种情景
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)．
动量守恒：mv0＝(m＋M)v 能量守恒：Q＝Ff·s＝mv02－(M＋m)v2
(2)子弹穿透木块．动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 能量守恒：Q＝Ff·d＝mv02－(Mv22＋mv12)
4．当两者的速度相等时，系统机械能损失最大．由ΔEk＝mv02－(M＋m)v2＝Ek0可以看出，子弹的质量越小，木块的质量越大，动能损失越多．
二、滑块—木板模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒.
(2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，ΔE＝Ff·d相对，其中d相对为滑块和木板相对滑动的路程.
(3)若木块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大(完全非弹性碰撞拓展模型)
(4)注意：若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多.
3．求解方法
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统．
三、弹簧类模型
1.对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒.
2.整个过程中往往涉及多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题.
3.注意：弹簧压缩最短或弹簧拉伸最长时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大.
四、动量和能量的综合问题
1．解动力学问题的三个基本观点
动力学观点 运用牛顿运动定律结合运动学知识，可解决匀变速运动问题
能量观点 用动能定理和能量守恒定律等，可解决非匀变速运动问题
动量观点 用动量守恒定律等，可解决非匀变速运动问题
2.动量观点和能量观点的比较
相同点 (1)研究对象都是相互作用的物体组成的系统 (2)研究过程都是某一运动过程
不同点 动量守恒定律是矢量表达式，还可以写出分量表达式；而动能定理和能量守恒定律都是标量表达式，绝无分量表达式
3．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换，作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
专题　动量守恒定律的应用
一、动量守恒条件的理解
1.动量守恒定律成立的条件：
(1)系统不受外力或所受外力的合力为零；
(2)系统的内力远大于外力；
(3)系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为0.
此种情况说明：动量守恒定律的适用条件是普遍的，当系统所受的合外力不为零时，系统的总动量不守恒，但是合外力在某个方向上的分量为零时，那么在该方向上系统的动量分量是守恒的.
2.动量守恒定律的研究对象是系统.研究多个物体组成的系统时，必须合理选择系统，分清系统的内力与外力，然后判断所选系统是否符合动量守恒的条件.
二、多物体、多过程动量守恒定律的应用
多个物体相互作用时，物理过程往往比较复杂，分析此类问题时应注意：
(1)正确进行研究对象的选取：有时对整体应用动量守恒定律，有时对部分物体应用动量守恒定律.研究对象的选取，一是取决于系统是否满足动量守恒的条件，二是根据所研究问题的需要.
(2)正确进行过程的选取和分析：通常对全程进行分段分析，并找出联系各阶段的状态量.根据所研究问题的需要，列式时有时需分过程多次应用动量守恒，有时只需针对初、末状态建立动量守恒的关系式.
(3)处理多物体、多过程动量守恒的问题应注意：
①正方向的选取.
②研究对象的选取，明确取哪几个物体为系统作为研究对象.
③研究过程的选取，明确哪个过程中动量守恒.
三、动量守恒定律应用中的临界问题分析
分析临界问题的关键是寻找临界状态，在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键.
实验 验证动量守恒定律
一、实验基本技能
1．实验目的
验证动量守恒定律．
2．实验原理
在一维碰撞中，测出物体的质量m和碰撞前后物体的速度v、v′，算出碰撞前的动量p＝m1v1＋m2v2及碰撞后的动量p′＝m1v1′＋m2v2′，看碰撞前后动量是否守恒．
3．实验器材
方案一　气垫导轨、光电计时器、天平、滑块(两个)、重物、弹簧片、细绳、弹性碰撞架、胶布、撞针、橡皮泥等．
方案二　斜槽、小球(两个)、天平、复写纸、白纸等．
4．实验步骤
方案一　利用气垫导轨完成一维碰撞实验(如图所示)
(1)测质量：用天平测出滑块质量．
(2)安装：正确安装好气垫导轨．
(3)实验：接通电源，利用配套的光电计时装置测出两滑块各种情况下碰撞前后的速度(①改变滑块的质量．②改变滑块的初速度大小和方向)．
(4)验证：①一维碰撞中的动量守恒．m1v1＝m1v1′＋m2v2′.m1＝m1＋m2②反冲
方案二　利用斜槽上滚下的小球验证动量守恒定律(如图所示)
(1)测质量：用天平测出两小球的质量，并选定质量大的小球为入射小球．
(2)安装：按照图中所示安装实验装置．调整固定斜槽使斜槽末端水平．
(3)铺纸：白纸在下，复写纸在上且在适当位置铺放好．记下重垂线所指的位置O.
(4)放球找点：不放被撞小球，每次让入射小球从斜槽上某固定高度处自由滚下，重复10次．用圆规画尽量小的圆把所有的小球落点圈在里面．圆心P就是小球落点的平均位置．
(5)碰撞找点：把被撞小球放在斜槽末端，每次让入射小球从斜槽同一高度自由滚下，使它们发生碰撞，重复实验10次．用步骤4的方法，标出碰后入射小球落点的平均位置M和被撞小球落点的平均位置N.如图所示．
(6)验证：连接ON，测量线段OP、OM、ON的长度．将测量数据填入表中．最后代入m1·OP＝m1·OM＋m2·ON，看在误差允许的范围内是否成立．
(7)结束：整理好实验器材放回原处．
二、规律方法总结
1．速度的测量
滑块速度的测量：v＝，式中Δx为滑块挡光片的宽度(仪器说明书上给出，也可直接测量)，Δt为数字计时器显示的滑块(挡光片)经过光电门的时间．
2．验证的表达式
方案一　m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′.
方案二　m1·OP＝m1·OM＋m2·ON
进一步验证碰撞是否为弹性碰撞：m1·OP2＝m1·OM2＋m2·ON2
3．误差分析
(1)系统误差：主要来源于实验器材及实验操作等．
①碰撞是否为一维．
②气垫导轨是否完全水平，摆球受到空气阻力，小车受到长木板的摩擦力，入射小球的释放高度存在差异．
(2)偶然误差：主要来源于质量m1、m2和碰撞前后速度(或水平射程)的测量．
4．注意事项
(1)前提条件
碰撞的两物体应保证“水平”和“正碰”．
(2)方案提醒
①若利用气垫导轨进行实验，调整气垫导轨时，注意利用水平仪确保导轨水平．
②若利用斜槽小球碰撞应注意：
(ⅰ)斜槽末端的切线必须水平；
(ⅱ)入射小球每次都必须从斜槽同一高度由静止释放；
(ⅲ)选质量较大的小球作为入射小球；
(ⅳ)实验过程中实验桌、斜槽、记录的白纸的位置要始终保持不变．
5．补充：
验证动量守恒关系式：＝＋
章末总结

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