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2023-2024学年吉林省长春五中高二（下）第二学程数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知变量与满足关系，变量与负相关．下列结论正确的是( )
A. 变量与正相关，变量与正相关 B. 变量与正相关，变量与负相关
C. 变量与负相关，变量与正相关 D. 变量与负相关，变量与负相关
3.已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击次后，恰好命中两次的概率是( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.从一批含有件正品，件次品的产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则( )
A. B. C. D.
6.设随机变量的概率分布如下表所示，且，则( )
A. B. C. D.
7.展开式中项的系数为( )
A. B. C. D.
8.年月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为( )
附，其中．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越弱
B. 已知随机变量服从正态分布，则其期望
C. 已知随机变量服从正态分布，且，则
D. 已知一组数据，，，，，的方差是，则数据，，，，，的标准差是
10.第五届人口发展战略研讨会在南京召开，小张、小赵、小李、小孙、小王为五名志愿者现有接待、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的是( )
A. 若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种
B. 若每项工作至少安排一人，则有种不同的方案
C. 若安排人排成一排拍照，小张必须站在小李的左侧，则有种不同的站法
D. 若安排人排成一排拍照，小张和小赵必须相邻，且小孙和小李不相邻，则有种不同的站法
11.下列说法正确的有( )
A. 某学校有名学生，其中男生人，女生人，现选派名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为，则服从超几何分布
B. 若随机变量的数学期望，则
C. 若随机变量的方差，则
D. 随机变量则
12.若函数是自然对数的底数在的定义域上单调递增，则称函数具有性质下列函数中不具有性质的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在对两个变量、进行线性回归分析时有下列步骤：
对所求出的回归方程作出解释；
收集数据，，，，；
求线性回归方程；
求相关系数；
根据所搜集的数据绘制散点图．
如果根据可靠性要求能够得出变量、具有线性相关的结论，则正确的操作顺序是______填序号．
14.从标有，，，，的五张卡片中，依次抽出张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为______．
15.某公司为了解某产品的研发费单位：万元对销售量单位：百件的影响，收集了该公司以往的组数据，发现用函数模型为自然对数的底数拟合比较合适．令得到，经计算，，对应的数据如表所示：
研发费
则 ．
16.有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件，则买到的零件是次品，且是甲厂加工的概率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设是等差数列，且，．
求的通项公式；
求
18.本小题分
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计道题进行测试，若这道题中，甲能正确解答其中的道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这道测试题中分别随机抽取题进行解答．
求甲、乙共答对道题目的概率；
设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；
从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
19.本小题分
随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数单位：千人，得到如下表格：
大学 大学 大学 大学
年毕业人数千人
年考研人数千人
已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴．
若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
若大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为、，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求的取值范围．
参考公式：，．
20.本小题分
某学校号召学生参加“每天锻炼小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生
女生
合计
注：将一周参加锻炼时间不小于小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；
将一周参加锻炼为小时的称为“极度缺乏锻炼”在抽取的名同学中有人“极度缺乏锻炼”以样本频率估计概率若在全校抽取名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为，求的数学期望和方差；
附：，
21.本小题分
已知直线：和椭圆．
证明：与恒有两个交点；
若，为与的两个交点，过原点且垂直于的直线交于，两点，求的最小值．
22.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
证明：．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..
16..
17..解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，
解得，
则．
．
18..解：由题意得甲、乙两名学生共答对个问题的概率为：
．
设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列为：


，
．
设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，，，，则，
，，
，，
甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
应选拔甲学生代表学校参加竞赛．
19..解：由题意得，，
又，
，
，
，
所以，
故得关于的线性回归方程为；
将代入得，
该省要发放补贴的总金额为万元；
设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故．
20..解：根据题意可得列联表如下；
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生
女生
合计
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过；
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，
所以，
故，．
21..解：证明：联立方程消去并化简得，，
，故与恒有两个交点．
设，，由知，
所以
．
由题意知直线的方程为，
由，消去得，
所以．
所以．
设，则，要求的最小值，则只需考虑的情况，
此时，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
22..解：函数的定义域为，
可得，
当时，恒成立，
当时，，解得，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：，
要证，即证恒成立，
令，即证，
令，
所以，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以，
则恒成立，得证．
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