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2024年重庆市高中数学联赛初赛试题 2
2024年浙江省高中数学联赛初赛试题 3
2024年四川省高中数学联赛初赛试题 4
2024年江苏省高中数学联赛初赛试题 5
2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 7
2024年新疆省高中数学联赛初赛试题 9
2024年广西省高中数学联赛初赛试题 11
2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题 13
2024年北京市高中数学联赛初赛一试 14
2024年北京市高中数学联赛初赛二试 15
2024年广东省高中数学联赛初赛一试 16
2024年广东省高中数学联赛初赛二试 17
2024年福建省高中数学联赛初赛试题 18
2024年江西省高中数学联赛初赛试题 20
2024年甘肃省高中数学联赛初赛试题 21
2024年上海市高三数学竞赛试卷 28
2024宜宾市高中数学联赛 (初赛)试题 (高一组) 29
2024年台州市普通高中数学竞赛试题 31
2024年广州市增城区高中数学联赛一试 32
2024年广州市增城区高中数学联赛二试 34
1
2024年重庆市高中数学联赛初赛试题
一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分.
1.已知复数 z使得 z- 4z 为纯虚数，则 z-1- i 的最小值为 （. 其中 i为虚数单位）
2.设函数 f x = 2x- 2-x的反函数为 y= f -1 x ，则不等式 f -1 x-1 < 1的解集为 .
3.若点 A - 1 , 3 关于直线 y= kx对称的点在圆 x-2 2 + y22 2 = 1上，则 k= .

4.在△ABC中，已知 AB AC = 2BC BA = 3CA CB，则△ABC最大角的正弦值为 .
5.数列 a 满足 a = 1
a
， n+1
-an = an+2-an+1 *n 1 a a n∈N ，若 a1a2+ a2a3+ +a6a7= 3，则 a2024= .n n+2
6.由 1，2， ，9这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过 60的圆排列的个数为
.
7.已知四面体 ABCD满足 AB⊥ BC，BC⊥CD，AB= BC=CD= 1，且异面直线 AD与 BC所成的角为 60°，
则四面体 ABCD的外接球的体积为 .
O1
A
D1
O
B
A1 D
C
1-p
8.一珍稀物种出现在地球，对每个珍稀生物，每天有如下事件发生：有 p 0≤p≤1 的概率消失，有 3 的
1-p 1-p
概率保持不变，有 3 的概率分裂成两个，有 3 的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会
1
发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过 2 ，则 p至多
为 .
二、解答题：共 3小题，满分 56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9. 16分 已知函数 f x = lnx- sinx，若两不相等的实数 x1，x2∈ 0,π 满足曲线 y= f x 在点 x1, f x1 和
点 x2, f x2 处的切线斜率相等，求证：f x1 + f x2 >-2.
10. 20分 已知抛物线Ω：y= x2，动线段 AB在直线 y= 3 x- 3上 ( B在 A右侧)，且 AB = 2 3 .过 A作Ω
的切线，取左边的切点为M .过 B作Ω的切线，取右边的切点为N .当MN AB时，求点 A的横坐标.
11. 20分 设 x1= 3，xn+1= xn+14- xn+2 n∈N * ，求 x1+x2+ +xn 的值.
(其中 [x]表示不超过实数 x的最大整数.)
2
2024年浙江省高中数学联赛初赛试题
一、填空题 (每小题 8分，共计 96分)
1.设集合 A= x-1 2 x 2x-1 ≤0 ，集合 B= x∣x +2x+m≤0 .若 A B，则实数m的取值范围为 .
2.设函数 f：{1,2,3}→ {2,3,4}满足 f f x -1 = f x ，则这样的函数有 个.
2
3. y= sin x+sinx+1函数 2 的最大值与最小值之积为 .sin x+1
4. 2 n n+1 已知数列 xn 满足：x1= 2 ，xn+1= xn ，n≥ 1，则通项 x = .x2n+n n+1 n
5.已知四面体 A- BCD的外接球半径为 1，若 BC= 1，∠BDC= 60°，球心到平面 BDC的距离为 .
6.已知复数 z满足 z24= z-1 5 10= 1，则复数 z= .
7. 已知平面上单位向量 a，b垂直，c为任意单位向量，且存在 t∈ 0,1 ，使得向量 a+ 1- t b 与向量 c- a 垂

直，则 a +b-c 的最小值为 .
2024
8.若对所有大于 2024的正整数 n，成立 n2024= aCii n，a ∈N i ，则 a1+ a2024= .
i=0
9. 4设实数 a，b，c∈ (0,2]，且 b≥ 3a或 a+ b≤ 3 ，则max{b- a,c- b,4- 2c}的最小值为 .
2 y2
10.在平面直角坐标系 xOy上，椭圆 E x的方程为 12 + 4 = 1，F1为 E的左焦点；圆C的方程为 x-a
2 +
y-b 2 = r2，A为C的圆心.直线 l与椭圆 E和圆C相切于同一点 P 3,1 .当∠OAF1最大时，实数 r=
.
n -1 k11. n
Ckn 1
设 为正整数，且 3 2 = 312，则 n= .k=0 k +9k +26k+24
12.设整数 n≥ 4，从编号 1，2， ，n的卡片中有放回地等概率抽取，并记录下每次的编号.若 1，2均出现或
3，4均出现就停止抽取，则抽取卡片数的数学期望为 .
二、解答题 (13题满分 14分，14、15题满分各 20分，合计 54)
13.正实数 k1，k2，k3满足 k1< k2< k3 ；实数 c1，c2满足 c1= k2- k1，c2- c1= 2 k3-k2 ,定义函数
k1x,0≤x≤1
k1x,0≤x≤

1 c1
f x = k2x-c1,1k x- ,1 2 12

k3x-c2,x>2

k3x-
c2
12 ,x>2
试问，当 k1，k2，k3满足什么条件时，存在 A> 0使得定义在 [0,A]上的函数 g x + f A-x 恰在两点处达到
最小值？
14.设集合 S={1,2,3, ,997,998}，集合 S的 k个 499元子集 A1，A2， ，Ak满足：对 S中任一二元子集 B，均
存在 i∈{1,2, ,k}，使得 B∈ Ai .求 k的最小值.
15.设 f x ，g x 均为整系数多项式，且 degf x > degg x .若对无穷多个素数 p，pf x + g x 存在有理
根，证明：f x 必存在有理根.
3
2024年四川省高中数学联赛初赛试题
(考试时间：2024年 5月 19日 9:00- 11:00)
一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，满分 64分.
1.设函数 f x = ln x + x - 2的零点都在区间 [a,b] a,b∈Z,a2.已知 a> b> 1，若 logab+ log
5 b
ba= 2 ，则 a+4 的最大值为 .
3.设 a∈ R a，若函数 f x = ax- x - 2lnx在其定义域内为单调递增函数，则实数 a的最小值为 .
4.用 f X ,Γ 表示点 X与曲线 Γ上任意一点距离的最小值.已知⊙O:x2+ y2= 1及⊙O1： x-4 2 + y2= 4，设
P为⊙O上的动点，则 f P,⊙O1 的最大值为 .
5.设△ABC中，AC= 2，∠ABC= 2∠BAC，则△ABC面积的最大值为 .
6.将边长为 1的正方体 ABCD- A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1绕着其中心旋转 45°得到一个十面体 ABCD-
EFGH (如图)，则该十面体的体积为 .
G
F
H
E
D C
A B
100
7.若 T= 299+k 3101-k，则 T的末尾数字 0的个数为 .
k=1
8.记 I={1,4,5,6}，U={1,2,3, ,25}，集合U的子集 A= a1,a2,a3,a4,a5 ，满足 ai-a j I 1≤ i< j≤5 ，
则符合条件的集合 A的个数为 .(用具体数字作答)
二、解答题：本大题共 3小题，满分 56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2
9. (16分) x已知 t为正实数，若曲线 y= t ex与椭圆C：2 + y
2= 1交于 A、B两个不同的点，
2
求证：直线 AB的斜率 k< 2 .
10. (20分)设复数 x，y，z满足： x+2y+3z = 1.求 x 2+ y 2+ z 2+ x2+y2+z2 的最小值.
11. (20分)给定正整数 n≥ 2，数组 a1,a2, ,an 称为“好数组”是指：a1，a2， ，an均不为 0，a1= 1，且对任意
的 1≤ k≤ n- 1，均有 ak+1+ak ak+1-ak-1 = 0.求“好数组” a1,a2, ,an 的组数.
4
2024年江苏省高中数学联赛初赛试题
一、填空题 (每小题 5分，共 60分)
1.设 x∈ - π , π 6 6 ，则函数 f x = sin
2x- 2sinx的最大值为 .
2.有 4道选择题，每题有 4个选项，其中恰有一个选项正确，某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该
同学恰好答对两题的概率为 .
3.函数 y= x-5+ 25-x的值域为 .
4.设 a∈ R,已知虚数 z满足 z = 1 ，且 z+a 2 = a ，则实数 a的值为 .
5.已知函数 f x 是定义在 R上的偶函数．若函数 g x = f x - x2在 -∞,0 上单调递增，则不等式
f 3x-1 - f 2 > 3x-3 3x+1 的解集为 .
6.在平面直角坐标系 xOy中，点O为坐标原点．点 A在第一象限，且在圆 Γ： x-1 2 + y2= 1上．点 B为直
y OA
线OA μ x与直线 ：5 +

25 = 1的交点．则 的最大值为 . OB
7.已知函数 f x = sinωx+ 3cosωx w>0 ．若函数 f x 在区间 0,π 上恰有三个极值点和两个零点，则
ω的取值范围为 .
8.集合M为连续 n个正整数构成的集合．若M中所有元素的和恰为 2024，且 n为偶数，则集合M中最小的
元素为
9.设圆内接四边形 ABCD的边长分别为 AB= 2，BC= 6，CD= 9，AD= 7 ，则该圆的直径长为
10.三棱雉 P- ABC π中，三条侧棱 PA，PB，PC两两不等，且相互之间夹角都是 3 .若底面△ABC的三边长分
别为 3， 7， 7 ，则该三棱雉的体积为 ．
11.已知数列 an 满足 a1= 1 ，其前 n项和为 Sn.若对任意的正整数m，n ，当m> n时，恒有 am+n+ am-n= 2am
+ 2an ，则 S10的值为
12.设函数 f x 对一切实数 x，y满足 f xy = x2 f y + y2 f x - xy 2 ，且 f x -x2 ≤ 1 ，则函数 f x =
．
二、解答题
13. (15分)已知 an 为等差数列， bn 为等比数列，并且 a1= b1，a2= 5，a3= 4a1= 2b2 ．
(1)求 an ， bn 的通项公式；
(2)求数列 anbn 的前 n项和 Sn ．
5

14. (15分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点M是 BC(不含点 A )的中点，∠ABC的角平分线与∠BAC的外
角平分线交于点D，MD与⊙O交于点 T ．
(1)求证：CD平分∠ACB的外角；
(2)求证：TD2= TB TC．
( ) x
2
+ y
2
15. 15分 直线 l过椭圆 Γ：4 3 = 1的右焦点 F ，交椭圆 Γ于 A，B两点．已知在 x轴上存在点 P，使得
PA PB为定值，求点 P的坐标．
16. (15分)设 n为正整数，欧拉函数 φ n 表示不大于 n且与 n互素的正整数的个数，例如 φ 10 = 4．若
φ 5x = 2024 ，试确定整数 x的值．
6
2024年吉林省高中数学联赛初赛试题
一、选择题：本大题共 6小题.
2
1. S= 3 +4 4
2+4 52+4 2
记 2 + 2 + 2 + +
13 +4
，则与 S最接近的整数为 ( )
3 -4 4 -4 5 -4 132-4
A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

CD
2.在四边形 ABCD 3中，AB CD，AC= λAB+ μAD λ,μ∈R .若 λ+ μ= 2 ，则 = ( ) AB
A. 13 B.
1
2 C. 1 D. 2
3.函数 f x = ax3- 6x a∈R ，若 f x ≤ 2对 x∈ -1,
1
2 成立，则 ( )
A. f x ≤ 1对 x∈ -
1 , 1 2 2
3 1 1
成立 B. f x ≤ 2 对 x∈
- , 2 2 成立
C. f x ≤ 18 x∈ - 3 3 35 3 3 对 2 , 2 成立 D. f x ≤ 2 对 x∈
- , 2 2 成立
4.在正四面体 ABCD中，棱 AD的中点和面 BCD的中心的连线为MN，棱CD的中点和面 ABC的中心的连线
为 PQ，则MN与 PQ所成角的余弦值为 ( )
A. 118 B.
1 1 1
17 C. 16 D. 15
5.已知函数 f x = 2x4-18x2+12x+68+ x2- x+ 1，则 ( )
A. f x 的最小值为 8 B. f x 的最小值为 9
C. f x = 8有 1个实根 D. f x = 9有 1个实根
6.已知 A，B，C c b是平面上三个不同点，且 BC= a，CA= b，AB= c，则 a+b + c 的最小值为 ( )
A. 2- 1 B. 2 - 12 2 2 C. 2-
2 2
2 D. 1- 2
二、填空：本大题共 6小题.
7.设集合 S={1,2,3,4,5}.若 S的子集 A满足：若 x∈ A，则 6- x∈ A，则称子集 A具有性质 p，现从 S的所有
非空子集中，等可能地取出一个，则所取出的非空子集具有性质 p的概率为 .
8.函数 f x = loga 4-ax (a> 0，且 a≠ 1)，若 f x ≥ 1对 x∈ [1,2]成立，则实数 a的取值范围 .
9.已知甲、乙、丙、丁四位同学对某 10道判断题的解答情况如下表：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 × √ × × √ × √ √ √ ×
乙 × × √ √ × √ √ √ × ×
丙 √ √ × √ √ √ × √ × √
丁 × × √ √ × × √ √ × ×
若甲、乙、丙三人均答对 7题，则丁答对的题数为 .
10. 1 2a已知函数 f x = lnx- 2 + x - ax.若 m> 0，使得 f m ≥ a
2，则实数 a的最大值为
x
7
11.设函数 f x = sinx sin3x，若关于 x的方程 f x = a在 (0,π]上有奇数个不同的实数解，则实数 a的值为
.
12.在△ABC中，AP平分∠BAC，AP交 BC于 P，BQ平分∠ABC，BQ交CA于Q，∠BAC= 30°，且 AB+ BP
= AQ+QB，则∠ABC的度数为 .
三、解答：本大题共 4小题.
13.已知椭圆C1的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上.圆C2的圆心为坐标原点O，过点 A -2,0 且倾斜角
为 30°的直线与圆C2相切.
(1)求圆C2的方程；
(2)过圆C2上任意一点 P x0,y0 x0 y0≠0 作圆C2的切线，与椭圆C1交于 A，B两点，均有∠AOB= 90°成立.
判断椭圆C1是否过定点？说明理由.
2024
14.已知数列 an 满足：a1= 1，a 12= 2，an+1= a + an-1 n≥2 .求证：
1
a > 88.n k=1 k
15.如图，⊙O1、⊙O2外切于点 A，过点 A的直线交⊙O1于另一点 B，交⊙O2于另一点C，CD切⊙O1于点
D，在 BD的延长线上取一点 F，使得 BF 2= BC2-CD2，连接CF交⊙O2于 E，求证：DE与⊙O2相切.
B
O1 A O2
D
C
E
F
Y
16.全体正有理数的集合Q+被分拆为三个集合 A，B，C (即 A∪ B∪C=Q+，且 A∩ B= B∩C=C∩ A= ，
满足 B * A= B，B * B=C，B *C= A，这里H *K={h k ∣ h∈H,k∈K}.
(1)给出一个满足要求的例子 (即给出 A，B，C )；
(2)给出一个满足要求的例子，且 1，2， ，35中的任意两个相邻正整数均不同时在 A中.
8
2024年新疆省高中数学联赛初赛试题
一、填空题 (本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分)

1.在空间四边形 ABCD中, AB= 2,BC= 3,CD= 5,DA= 8 ,则 AC BD= .
2.已知 f x πx 1 = 2sin 3 ,g x = x-6 ,则 f x = g x 在 -8,20 上所有根的和为
3. : sin12°+cos6°计算 = .
sin6°+2cos26°
4.在棱长为 2的正方体 ABCD- A1B1C1D1中,点 E为 A1D1的中点,点 P为底面 ABCD
内一点,则满足 EP= 2 2的点 P的轨迹长度为 .
5.函数 f x = 2x+5 + 2x+3 + e-x x∈R 的最小值为 .
6. a : a = 1 ,2a = 2a + a 2 . T = 1 + 1 + + 1设数列 n 满足 1 5 n+1 n n 记 2024 a +2 a +2 a +2 .若 T2024的值在区间1 2 2024
k,k+1 内,则整数 k的值为 .

7.在复平面内,复数 z1,z2,z3对应的点分别为 Z1,Z2,Z3 .若 z1 = 3 z2 = 2 3 ,OZ1 OZ2= 0, z1+z2-z3 = 2 ,
则 z3 的取值范围是 .
8.已知函数 f x 满足:对任意实数 x,y ,都有 f x+y = 2 f x + 2 f y + 3xy成立,且 2 f 9 1 f -1 ≥ 8 ,则
f 34 = .
二、解答题 (本大题共 3小题,满分 56分).
9.设 x、y均为非零实数,且满足 xsin 2π5 + ycos
2π
5 = tan
11π 2π
15 xcos 5 -ysin
2π
5 .
( ) y1 求 x 的值; (共 8分)
(2)在△ yABC中,若 tanA= x ,
1
求 2 cos3B-
3
2 cosC的最小值. (共 8分)
9
2 y2
10.如图, F1,F2为双曲线C: x2 - 2 = 1 a>0,b>0 的左、右焦点,动点 P x0,y0 y0≥ 2 在双曲线C的右a
支上.设∠F1PF2的平分线与 x轴、y轴分别交于点M m,0 和点N ,且当 PN⊥ F1N时, ON = 2 .
(1)求m的取值范围; (共 8分)
(2)设过点 F1,N的直线 l与双曲线C交于D,E两点,求ΔF2DE面积的取值范围. (共 12分)
y P
O M F2
F1 xD
N
E
y
11.设 x,y,z∈ 0, 2 ,且满足 x4+ y4+ z4≥ 16 . x z求 + + 的最大值. (20分)
2x2-5 2y2-5 2z2-5
10
2024年广西省高中数学联赛初赛试题
一、填空题 (本大题共 8小题，每小题 10分，共 80分).
1.设函数 f x = log2x .若 a< b且 f a = f b ，则 a+ 2024b的取值范围是 .
2 y2
2. x已知椭圆 2 + 2 = 1 a>b>0
π 15
的焦点为 F1，F2，M为椭圆上一点，∠F1MF2= 3 ，OM= 3 b.则椭圆的a b
离心率为 .
3.若正实数 x，y满足 x- 2 y= 2x-y，则 x的最大值为 .
7
4.方程 3x= x3 的正整数解为 .
5.设 x1，x2，x3，x4均是正整数，且 xix jxk∣1≤ i< j6.正三棱雉 P- ABC中，AP= 3，AB= 4.设D是直线 BC上一点，面 APD与直线 BC的夹角为 45°，则线段
PD的长度是 .
7.已知四次多项式 x4- 25x3+ ax2+ 61x- 2024的四个根中有两个根的乘积是-253，则实数 a= .
8.设数列 xn 满足 x1= 2001，xn+1= xn+ yn，其中 yn等于 xn的个位数，则 x2024= .
二、解答题 (本大题共 4小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
9. (15分)如图所示，AD=CD，DP= EP，BE=CE，DP< AD< BE，∠ADC=∠DPE=∠BEC= 90°.证明：
P为线段 AB的中点.
C
P B
A
D
E
10. (15分)设 A为数集 {1,2,3, ,2024}的 n元子集，且 A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系.求 n
的最大值.
11. (20分)用 [x]表示不超过 x的最大整数.设数列 xn 满足：x1= 1，xn+1= 4xn+ 11xn .求 x2024的个位数.
11
12. (20分)图G是指一个有序二元组 V ,E ，其中V称为顶点集，E称为边集.一个图G中的两点 x，y的距
离是指从 x到 y的最短路径的边数，记作 d x,y .一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值，记
作 diam G ，即
diam G =max d x,y ∣x,y∈G .
记 Zn={[0]，[1]，[2]， ，[n- 1]}是模 n的剩余类，定义 Zn上的加法和乘法，均是模 n的加法和乘法，
例如在 Z12={[0]，[1]，[2]， ，[11]}中：[3]+ [4]= [7]，[6]+ [9]= [3]；[3] [4]= [0]，[6] [9]= [6].
在 Zn中，设 [x]≠ [0].若存在 [y]≠ [0]使得 [x] [y]= [0]，则称 [x]是 Zn的一个零因子.记 Zn的所有零因子
的集合为D Zn .例如
D Z12 ={[2]，[3]，[4]，[6]，[8]，[9]，[10]}.
Zn的零因子图，记为 Γ Zn ，它是以D Zn 为顶点集，两个不同的顶点 [x]，[y]之间有一条边相连当且仅当
[x] [y]= [0].下图是 Γ Z12 的例子.
[2] [4]
[3] [9]
[6]
[10] [8]
证明：对一切的整数 n≥ 2，都有 diam Γ Zn ≤ 3.
12
2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题
(2024年 5月 19日，8:30- 9:50)
一、填空题 (本题满分 64分，每小题 8分)
1.集合M={1,2,3,5,6}的全部非空子集的元素和等于 .
2.设 a，b bc，c是实数，满足 a+ b+ c= 1，a2+ b2+ c2= 1，a≠ 0，
a3
的取值范围为 .
3.已知正三棱柱 ABC- A1B1C1的侧棱长为 4，底面边长为 2，过点 A的一个平面截此棱柱，与侧棱 BB1，CC1
分别交于点M，N，若△MNA为直角三角形，则△MNA面积的最大值为 .

4.已知在△ABC π 1中 BC= 3，A= 3 ，BD= 4 BC，则线段 AD的最大值为 .
5.从 1，2， ，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为 .
2 y2
6. O x是原点，椭圆 4 + 5 = 1，直线 l过 1,0 且与椭圆交于 A，B两点，则△ABO面积的最大值为 .
2024
7. a a = 1 1数列 n 中， 1 10，且对任意 n∈N
*，a 2n+1= an+ an，求 a +1 的整数部分是 .n=1 n
8.已知关于 x的方程 x3- 3x+ 4= 0的三个复数根分别为 z1，z2，z3，则 z 2 2 21-z2 z2-z3 z3-z1 的值为
.
二、解答题 (本题满分 56分)
2
( ) x - y
2
9. 16分 已知双曲线C：4 3 = 1，直线 l：y= kx+ 1与双曲线C的左右支分别相交于 A，B两点，双曲线
C在 A，B两点处的切线相交于点 P，求△ABP面积的最小值.
10. (20分) 1-x已知函数 f x = ex- .
ax2-2x+1
(1)当 a= 0 f x -4, 1时，讨论 在 2 上的极值.
(2)若 x= 0是 f x 的极小值点，求 a的取值范围.
11. (20分)设 n是一个给定的正整数，集合 Sn= i, j ∣1≤ i, j≤2n,i, j∈N * ，求最大的正数 c= c n ，使得对
任意正整数 d1，d2，都存在集合 Sn的子集 P，满足集合 P至少有 cn2个元素，且集合 P的任两个元素 i, j ，
k,l 均有 i-k 2 + j- l 2 ≠ d ， i-k 21 + j- l 2 ≠ d2.
13
2024年北京市高中数学联赛初赛一试
考试时间：8:00- 9:20
一、填空题 (1- 8题每题 8分，第 9题 16分，第 10，11题每题 20分，共 120分)
1.设整数集合 A= a1,a2,a3,a4,a5 ，若 A中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为 B={-30, -15,
-10, -6, -5, -3,2,6,10,15}，则集合 A={-30, -15, -10, -6, -5, -3,20,10,15}，则集合 A= .
x+2,x<0；
2.已知函数 f x = 1 若关于 x的方程 f f x =m恰有三个不相等的实数根 x1，x2，x3且ln 2 x+1 ,x≥0.
2x +9
满足 x 11< x2< x3，则 的取值范围是 .ln x2+4
3.从 1，2， ，2024中任取两个数 a，b a≤b ，则 3a+ 7b的值中，个位数字为 8的数有 个.
2
4. z 3z-2i = 6 z = z -10z+74设复数 满足 ，令 1 z-5+7i ，则 z1 的最大值是 .
x,若x为无理数；
5.已知函数 f x = q+1p ,若x= qp ,其中p,q∈N *,且p,q互质,p>q.
8 9
则函数 f x 在区间 9 , 10 上的最大值为 .
6. 3 4 2对于 c> 0，若非零实数 a，b满足 4a2- 2ab+ 4b2- c= 0，且使 2a+b 最大，则 a - b + c 的最小值为
.
7.已知函数 f x = cos4x+ sin4x+ asin4x- b f x+ π，且 6 为奇函数.若方程 f x +m= 0在 [0,π]上有四个
x +x +x +x
不同的实数解 x1，x2，x3，x4，则 f 1 2 3 44 的平方值为 .
8.已知 A {1,2, ,2625}，且 A中任意两个数的差的绝对值不等于 4，也不等于 9，则 A 的最大值为
.
2023
9.设多项式 f x = x2024+ c xii ，其中 ci∈{-1,0,1}.记N为 f x 的正整数根的个数 (含重根).若 f x 无负
i=0
整数根，N的最大值是 .
10.在棱长为 4的正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E为棱 AA1上的一点，且 A1E= 1，F为截面 A1BD上的动点，
则 AF+ FE的最小值等于 .
2n
11. a
!
数列 n 定义如下：设 写成既约分数后的分母为 A n ，an等于 2A n 的最大质因数，则 an! n n+2024 !
的最大值等于 .
14
2024年北京市高中数学联赛初赛二试
考试时间：9:40- 12:30
1. (40分)设 a，b，c是三个正数，求证：
2a 2b 2c 3 2 a+b+c+ + ≤ .
2a2+b2+c2 a2+2b2+c2 a2+b2+2c2 5a2+5b2+5c2+ab+bc+ca
2. (40分)如图所示，锐角△ABC的三条高线 AD，BE，CF交于点H，过点 F作 FG AC交直线 BC于点G，
设△CFG的外接圆为⊙O，⊙O与直线 AC的另一个交点为 P，过 P作 PQ DE交直线 AD于点Q，连接
OD，OQ.求证：OD=OQ.
C
G
O
D
E
H
B AF
P Q
3. (50分)有 n个球队参加比赛，球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配
好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好
是比赛的总场次，并且组委会还发现任意挑出若干支球队，他们能够接受的客场次数之和都要大于等于
他们之间的比赛总场次.
请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意，请证明你的结论.
4. (50分)设 a1，a2， ，an为 n个两两不同的正整数且 a1a2 an恰有 4048个质因数.如果 a1，a2， ，an中任
意多个数相乘均不是一个整数的 4049次方，求 n的最大值.
15
2024年广东省高中数学联赛初赛一试
一、填空题:本题组共 10小题,每题 8分,满分 80分.
1.已知m,a,b,c为正整数,且 alogm2+ blogm3+ clogm5= 2024 ,求m+ a+ b+ c的最小值是 .
2x-1
2.已知 x> 0,y> 0, -log3y+ 3x= y- 2x= 15
3
y ,则 y+ x=
3.若 A、B为锐角且 sinB sin A+B = sinA ,则 tanA的最大值为 .
4.数列 an 满足:对任意 n≥ 2,an= 2024an-1- n .如果该数列的每一项都是正数,则 a1的最小值为
.
5.投篮测试规则如下:每人最多投三次,投中为止,且第 i次投中得分为 4- i 分 i=1,2,3 ,若三次均未投
中则得分为 0分.假设甲同学的投篮的命中率为 p 01.56 ,则甲投篮测试的得分的均值为 .
xsin π +ycos π y
6.设 x,y , 12 12 π均为非零实数 且满足 π π = tan 3 .在△ABC中,若 tanC= x ,则 sin3A+ 3sin2Bxcos 12 -ysin 12
的最大值为 .
7. 2已知复数 z ,满足 z R,z+ z ∈ R ,则 z
2+2z-3 的最大值为 .
8. n是正整数, 3n- 1没有 12以上的质因子,则所有满足条件的 n和是
9.已知四面体 PABC ,点 A1在△PBC内,满足△A1BP,△A1CP,△A1BC的面积之比为 3:2:1 , G在线段 AA1上,
直线 PG交平面 ABC M , AG PG于点 且 GA =1 GM
,则四面体 PABC与 A1AMB的体积之比为 .
10.如图,在一个 10× 10的方格表中填入 0和 1,使得任意一个 3× 3
的方格表中都恰有一个 1 ,则满足要求的填法数共有 种.
二、解答题:本题组共 2小题,每题 20分,共 40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2
11.已知抛物线C:y2= + y18x 27 x的焦点与椭圆 E: 2 + 2 = 1 a>b>0 的右焦点 F2重合, C的准线经过 E的a b
左顶点.
(1)求 E的方程;
(2)已知点 F1为 E的左焦点, P为 E上的一点 (异于左、右顶点), ΔPF1F2外接圆的半径为 R ,内切圆的半径为
r ,求 R r的取值范围.
12.已知方程 lnx+ x 1-m = 0, m∈R 有两个不同的零点,分别记为 a,b ,且 a< b .
(1)求实数m的取值范围;
(2)若不等式 t+ 1< lna+ tlnb恒成立,求正数 t的取值范围.
16
2024年广东省高中数学联赛初赛二试
一、加试题:本题组共 2题,每题 40分,共 80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.设有限集 A,B,C R,A,B,C为有限集,对任意 x∈ R ,定义:
NA,B,C x = a,b,c ∣a∈A,b∈B,c∈C,a+b+c=x ∣ .证明以下结论:
A B C
(1)存在 x∈ R ,使得 0 A+B+C
A 2 B 2 C 2
(2) N 2

A,B,C x ≥
x∈A+B+C A+B+C
其中: A 表示集合 A中的元素个数, A+ B+C={a+ b+ c ∣ a∈ A,b∈ B,c∈C} .
14.如图, AB为圆O的一条弦 ( AB< 3R,R为圆O的半径), C为优弧 AB的中点,M为弦 AB的中点.点D,
E,N分别在 BC,CA和劣弧 AB上,满足 BD=CE ,且 AD,BE,CN三线共点于 F .延长CN至G ,使GN=
FN .求证: ∠FMB=∠GMB .
17
2024年福建省高中数学联赛初赛试题
(考试时间: 2024年 6月 22日上午 9:00- 11:30, 满分 160分)
一、填空题 (共 10小题,每小题 6分,满分 60分.请直接将答案写在题中的横线上)

1.在△ABC中,已知 AB= 4,BC= 2,AC= 2 3 ,若动点 P满足 CP = 1 ,则 AP BP的最大值为 .
2.已知 z1,z2,z3为方程 z3=-i的三个不同的复数根,则 z1z2+ z2z3+ z3z1=
3.设 a= 6 6 6,b= 3 3 3,则 a,b的最大公约数为 .
10个6 6个3
4.某校三个年级举办乒乓球比赛,每个年级选派 4名选手参加比赛.组委会随机将这 12名选手分成 6组,每
组 2人,则在上述分组方式中每组的 2人均来自不同年级的概率为 .
5.如图,在棱长为 6的正方体 ABCD- A1B1C1D1中,点 E,F分别为 AB,BC的中点,点G在棱CC1上.若平面
EFG与底面 ABCD 3 17所成角的余弦值为 17 ,则平面 EFG截正方体 ABCD- A1B1C1D1所得截面多边形
的周长为 .
6.对于实数 x,y,z ,记max{x,y,z}为 x,y,z中的最大者,例如: max{1,2,3}= 3 , max{2,2,9}= 9,max{5,5,5}
= 5 .若非负实数 a,b满足 a+ b= 9 ,则max a2,4b2,2ab 的最小值为 .
n
7.已知 Sn为数列 a
9 3 3 S
n 的前 n项和,且 S = a - × 3n in 8 n 8 + 8 ,则使 a < 2024成立的最大正整数 n的值i=1 i
为 .
8.设 f x = a x66 + a5x5+ a4x4+ a3x3+ a2x2+ a1x+ a0 ,其中 ai∈{-1,1},i= 0,1,2, , 6.若 f 2 =-53 ,则
f 1 =
2
9.已知 A为双曲线C: x4 - y
2= 1的右顶点,过点 A斜率分别为 k1、k2的直线 l1、l2分别与双曲线C交于另外
M N , k > 0,k k = 1 . P 6
PM PN,0 14两点 、 其中 1 1 2 若点 5 满足 = ,则△AMN的面积为 . MN 2 25
10.若 x1,x2, ,x100是 1,2, ,100的一个排列,则 S= x1-x2 + x2-x3 + + x99-x100 + x100-x1 的最大值
为
二、解答题 (共 5小题,每小题 20分,满分 100分.要求写出解题过程)
2 y2
11.已知 F x1、F2分别为椭圆C: 2 + 2 = 1 a>b>0 的左、右焦点,过点 F2的直线 l交椭圆C于 A,B两点
a b
(点 A在第一象限),且 AF2= 5F2B, AF1 = 5 AF2 .
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若△F1AB 24的面积为 5 ,求点 A的坐标.
18
12. f x = x+2已知函数 x - m-2 x- ln x+2 + 1- 2m m∈Re
.
(1)当m= 1时,求 f x 的最小值;
(2)若 f x ≥ 0恒成立,求m的取值范围.
13.如图, O为锐角△ABC外接圆圆心, AD为⊙O的一条直径, H是△ABC的垂心, BE,CF是△ABC的两条
高,M是边 BC的中点, S是点M关于圆心O的对称点.已知直线 EF过点 S且与直线 BC相交于点 T .
(1)求证: H,M ,D三点共线;
(2)求证: A,S,M ,T四点共圆;
(3)若△ABC外接圆半径为 R ,求线段 AM的长 (用 R表示).
14.已知非负实数 a,b,c,d,e的和为 1 .求证: a b+1+ b c+1+ c d+1+ d e+1+ e a+1< 52 .
15.设正整数 n是合数, d1,d2, ,dk k≥3 是 n的全部正因数,且 1= d1< d2< < dk= n .对于 2≤ i≤ k- 1
,若 di di-1di+1 ( di不能整除 di-1di+1 ),则称 di是 n的一个“好因数”,若 n的“好因数”个数小于 n的不同素
因子个数,则称 n为“好数”.
(1)问: 16, 2024是否为“好数”
(2)求所有的“好数”.
19
2024年江西省高中数学联赛初赛试题
(考试时间: 6月 23日上午 9:30-- 12:00 )
一、填空题 (每小题 7分,共 56分)
1.设集合 A={2,3,4, ,4050} ,集合 B= a,b ∣ logab+8logba=6,a∈A,b∈A ,则集合 B的元素个数为

2. 4z-2设复数 z满足 2z-1 + z
2= 0 ,则 z+1 的值为
3. P是棱长为 2的正四面体 ABCD面 BCD的中心,M ,N分别是面 ABD,ACD上的动点,则 PM+MN+NP
的最小值为
4. cos
220°+cos240°+cos280°
4 4 4 的值为sin 20°+sin 40°+sin 80°
5.设 b,c为实数,满足关于 x的方程 f 2 x + bf x + c= 0 1有 6个互不相等的实数解,其中 f x = x- x -
x+ 1x + 2 ,则 f 2025b + f c+2024 的最小值为 .
6.正实数 x,y,z满足 x+ 2y2+ 4x2y2z2= 8 ,则 log4x+ log2y+ log8z的最大值为 .
7.平面上同时和三直线 y= 34 x,y=-
4
3 x-5 ,y= 0相切的所有圆的半径的乘积为 .
8.已知正整数 n的所有正因数排列为: 1= d1< d2< d3< ,则在 1,2,3, ,2024中使得 d10= 88的所有数之
和为
二、解答题 (共 64分)
2 y2
9. (14分)双曲线 Γ: x2 - 2 = 1的左右顶点 A,B的距离为 4.M ,N是 Γ右支上不重合的两动点且满足 ka b BN
+
2kAM= 0 ( kAM,kBN是相应直线的斜率).求动直线MN经过的定点的坐标.
10. (15分)实数 a,b,c满足 ab+ bc+ ca= 44 ,求 a2+4 b2+4 c2+4 的最小值.
11. (15分)点H为锐角△ABC的垂心,⊙H与边 BC切于点M且与边 AB,AC无交点, BD,CE分别与⊙H切
于点D,E (均异于点M ), CF,BG为△ABC的高.证明: D,E,F,G四点共线.
12. (20分)是否存在实数 λ和 2024次的实系数多项式 P x 和Q x 满足对任意实数 x ,都有 P x2-x+1 =
Q x2+2x+λ .请说明理由.
20
2024年甘肃省高中数学联赛初赛试题
(考试时间: 2024年 6月 23日 9:00- 11:30,满分 150分)
一、填空题 (共 10小题，每小题 7分，满分 70分)
1.定义集合 A,B的运算: A B= m∣m=y2-x,x∈A,y∈B ,若 A= x 1 <3x-1 ≤3,x∈Z 81 B=
x x+2x-3 <0,x∈Z ,则 A B的真子集的个数为

2.若复数 z、z1、z2满足: z1 z1-4 = 5+ 12i,z = 1- i2 i , z-z1 = 1 ,则 z-z2 的最小值为 .
3.函数 f x 是定义在 R上的偶函数,且 h x = f x + e-x- x为奇函数,则满足 f 2a-1 - f a < 0的 a
的取值范围是 .
4.已知△ABC的外接圆半径为 2,且满足 2sinBsinC= 1,cos2A+ 3sin2 B+C2 - 1= 0 ,则△ABC的面积为
.
5.在小于 15的正整数中，不重复地取出 3个数，则它们的和能被 3整除的概率为 .
6.已知函数 f x = Asin ωx+φ A>0,ω>0,0≤φ<π 的部分图象如图中实线所示,图中圆C (点C在 x轴
上) f 2π 5与 x 的图象交于M , N两点,点M在 y轴上,点N的横坐标为 3 ,若圆C的半径为 12 π ,且
f - π6 = 0 ,则函数 y= f x - f x-
π
6 的最大值为
y
M
- π 2π6 3
O C x
N
7.某同学计划练习 n道数列题 n∈N * ,设该同学对第 k题 1≤k≤n,k∈N * 的掌握程度与解题耗时分别为
ak,bk ,
A 5n+17
已知 an , bn 都是等差数列,前 n项和分别为 An,Bn ,且 nB = ,记该同学练习的错误量为n n+1
cn ,若 cn , =
an
b ,则错误量可取到的最小整数为 .n
8.已知点 P、A、B、C是球O的球面上的四个点, PA、PB、PC两两垂直且长度均为 18,M是线段 AP上的点,
且 AM = 2PM ,记过点M与平面 ABC平行的平面为 α,则球O被平面 α截得的截面周长为

9.点 P是边长为 2的正八边形 ABCDEFGH边上的动点，则 PA PB的最大值为
A B
H C
P
O
G D
F E
10.若函数 f x 在区间 a,b 上有定义,且对于任意不同的 x1,x2∈ a,b ,都有 f x1 - f x2 ≤ k x1-x2 ，则
2
称 f x 为 a,b 的“k类函数”.若 f x =mex- x2 - 1为 1,2 上的“2类函数”,则实数m的取值范围为
21
.
二、解答题 (共 7小题,满分 80分.要求写出解题过程)
2 2 2
11. (11分)记△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c , c a +c -b已知 2a-c = .a2+b2-c2
(1)求 cosAcosC的取值范围;
(2)若角 B的平分线 BE与边 AC相交于点 E ,且 BE= 3 ,求 a+ 4c的最小值.
12. (11分)已知数列 an 满足 a1+ 2a + +na = n-1 2n+12 n + 2 .
(1)求 an 的通项公式:
n
Si
(2)设 bn= 1 1a + 2 ,记 bn的前 n项和为 Sn ,若 x 表示不超过 x的最大整数,求证:
i=1
n an n
< 1 .
22
13. (11分)如图 1,在等腰直角三角形DFC中, FD= FC,A,B,E分别在线段DF,FC,CD上,且 AB CD ,
AE FC .已知 FA= 1,AD= 2 ,沿 AE将△DAE折起,使平面DAE⊥平面 ABCE ,如图 2.
(1)求证:平面 BDE⊥平面 ABD ;
(2)求平面 BDC与平面 EDC的夹角的余弦值;
(3)点Q在线段DF上,设直线 BQ与直线DE所成角为 α,求 cosα的最大值.
D
D E C Q E C
A B A B
F
F
图1 图2
23
14. (11分)
①拐点,又称反曲点,指改变曲线向上或向下的点 (直观地说拐点是使切线穿越曲线的点,即连续曲线的凹
弧与凸弧的分界点).设 f x 是函数 y= f x 的导函数, f x 是函数 f x 的导函数,若方程 f x = 0有实
数解 x= x0 ,并且在点 x0, f x0 左右两侧二阶导数符号相反,则称 x0, f x0 为函数 y= f x 的拐点.
②设 a,b为常数,若定义在 R上的函数 y= f x 对于定义域内的一切实数 x ,都有 f a+x + f a-x 2b
(或 f x = 2b- f 2a-x )恒成立,则函数 y= f x 的图象关于点 a,b 对称.
(1)求证:任意的三次函数 f x = ax3+ bx2+ cx+ d a≠0 的图象关于拐点对称:
(2) f x = 1已知函数 33 x -
1 2 5 1 2 2023
2 x + 3x- 12 ,求 f 2024 + f 2024 + + f 2024 的值.
24
15. (11分) n n≥3 个人围坐在圆形餐桌前吃饭,每个人面前及桌子正中央均各摆放一道菜,每人每次只能
从中夹一道菜.
(1)当 n= 4时,若每人都随机夹一道菜,且像道菜最多被夹一次,计算每个人夹的菜都不是餐桌正中间和自
己面前的菜的概率:
(2)现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一道菜后，记被
夹过的菜数为 Xn求满足 E Xn > 5的 n最小值.
25
x2 y216. (12分)如图,已知椭圆 2 + 2 = 1 a>b>0 ,C、D是椭圆上 x轴同侧的两个点,分别过C、D作椭圆的a b
两条切线交于点 P ,且分别与 x轴交于点 B、A ,线段 AC与 BD交于点 E ,作 EF⊥ AB于点 F ,线段 EF反
向延长线分别与CD交于点M ,与椭圆交于点N .
(1)求证: P、E、F三点共线;
(2)求证: PM 2= PF 2+MF 2- 2NF 2 .
y
P
N
D M C
E
A O F B x
26
17. (13分)定义 Z+上的函数: σ n = d1+ d2+ d3+ +ds ,其中 d1,d2,d3, ,ds为 n的所有正因数.若 σ n =
2n ,则称正整数 n为完美数.例如 σ 6 = 1+ 2+ 3+ 6= 12= 2× 6 ,因此 6是一个完美数:再如 σ 9 = 1
+ 3+ 9= 13≠ 2× 9 ,因此 9不是完美数.
(1)判断 σ (23)、σ (88)、σ (2024)满足的数量关系，并说明理由：
(2)已知 2k- 1为素数,求证: 2k-1 2k-1 是完美数;
(3)是否存在完美数 q ,其可表示为某个正整数的平方 若存在,求出 q的所有可能值;若不存在,请说明理
由.
27
2024年上海市高三数学竞赛试卷
2024年 3月 24日上午 9:30~11:30
一、填空题 (本大题满分 60分，前 4小题每小题 7分，后 4小题每小题 8分)
1.若正实数 a,b满足 ab= 2a+ b ,则 a+ 2b的最小值是
2. 1 2现有甲、乙两人进行羽毛球比赛,已知每局比赛甲胜的概率为 3 ,乙胜的概率为 3 ,规定谁先胜 3局谁赢
得胜利,则甲赢得胜利的概率为 (用最简分数表示答案)
3. C02024-C2 +C4 - +C2024 22024 2024 2024 + C1 3 5 2023 22024-C2024+C2024- -C2024 =

4. 已知 a,b,c 是同一平面上的 3个向量,满足 a = 3, b = 2 2 ,a b=-6 , 且向量 c- a c 与 - b π的夹角为 4
,则 c 的最大值为
5.若关于 z的方程 zn+1- 2 zn- 1= 0存在一个模为 1的虚根,则正整数 n的最小值为
6.一个顶点为 P、底面中心为O的圆锥体积为 1,若正四棱雉O- ABCD内接于该圆锥,平面 ABCD与该圆
锥的底面平行, A,B,C,D这 4个点都在圆锥的侧面上,则正四棱雉O- ABCD的体积的最大值是
7.已知函数 f x = ax2+ lnx有两个零点,则实数 a的取值范围是
8.若 3个整数 a,b,c满足 a2+ b2+ c2+ 3< ab+ 3b+ 3c ,则这样的有序整数组 a,b,c 共有
二、解答题 (本大题满分 60分,每小题 15分)
2
9. x在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 Γ: 4 + y
2= 1,A、B是椭圆 Γ的左、右顶点.点C是椭圆 Γ内 (包括边

界)的一个动点,若动点 P使得 PB PC= 0 ,求 OP 的最大值.
2 y2
10. x在平面直角坐标系 xOy中,求所有的正整数 n n≥3 ,使得正 n边形能内接于椭圆 + =
a2 b2
1 a>b>0 (即正 n边形的所有顶点都在椭圆上).
11.数列 an 满足: a1= a2= 1,an+2= an+1+ an n=1,2, ,M是大于 1的正整数.求证:在数列 a3,a4,a5, 中
存在相邻的两项,它们除以M的余数相等.
12.将正整数 1,2, ,100填入 10× 10方格表中,每个小方格恰填一个数,要求每行从左到右 10个数依次递
减,记第 i行的 10个数之和为 Si i=1,2, ,10 .设 n∈{1,2, ,10}满足:存在一种填法,使得 S1,S2, ,
S10均大于第 n列上的 10个数之和,求 n的最小值.
28
2024宜宾市高中数学联赛 (初赛)试题 (高一组)
(考试时间 120分钟满分 120分)
一、填空题 (本小题满分 64分,每小题 8分)
1.已知函数 f x = sin ωx- π6 ， ω>0
π
，若 f x ≤ f 3 对任意的实数 x都成立，则ω的最小取值为
.
2.已知 a> 0,b> 0，a+ 2b= 1 ab，则 2a+b 的最大值为 .
3.已知函数 f x = x+ 1，g x = 2 x+2 + a，若对任意的 x1∈ [3,4]，存在 x2∈ [-3,1]，使得 f x1 ≥ g x2 成
立,则实数 a的取值范围是 .
4.定义max{a,b,c}为 a,b,c中的最大值,设 h x =max x
2, 8 3 x,6-x ,则 h x 的最小值为 .
5.若区间 [a,b]满足：
(1)函数 f x 在区间 [a,b]上有定义且单调;
(2)函数在区间 [a,b]上的值域也为 [a,b]，则称区间 [a,b]为函数的共鸣区间.
1
函数 f x = x 3 的一个共鸣区间为 ；
若函数 f x = 2 x+1- k存在共鸣区间，则实数 k的取值范围是 .
6.已知△ABC的三边为 a,b,c,满足 a2+ b2+ c2= α，a2b2+ b2c2+ c2a2= β，则△ABC的面积为 .
7.若函数 f x = x2+ ax+ b与坐标轴有三个交点 A、B、C ，且△ABC的外心在 y= x上，则△ABC= .
8. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，∵这个定理对应的图形与“奔驰” (Mercedes - Benz)的
logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理). “奔驰定理”的内容如下：

如图，已知O是△ABC内一点, △BOC、△AOC 、△AOB的面积分别为 SA、SB、SC ,则 SA OA+ SB OB+ S C


OC= 0 .若O是△ABC锐角内的一点, A、B、C是△ABC的三个内角，且O点满足OA OB=OB OC=OC

OA ,则下列说法正确的是 (填序号).
A
O
B C
①O是△ABC的外心； ②∠BOC+ A= π ；

③OA:OB:OC= cosA:cosB:cosC； ④ tanA OA+ tanB OB+ tanC OC= 0
二、填空题 (满分 56分,)
9. (16分)已知 a、b、c均为正实数，且 a2+ b2+ c2= 1.
(1)求证：ab+ bc+ ca≤ 1；
a4 b4 4(2)求证： 2 +
c
c a2
+ 2 ≥ 1.b
29
10. (20分)下图是函数 f x = Asin ωx+φ ， A>0,ω>0,0<φ< π2 的部分图像，M、N是 f x 与 x轴的两
π
个不同交点,D是图像的最高点且横坐标为 4 ，点 F 0,1 是线段DM的中点.
y
D
F
M O π x4 N
(1)求函数 f x 的解析式及 f x 在 π,2π 内的单调增区间；
(2)当 x∈ - π 5π 12 , 12 时，函数 y= f
2 x - af x 1 + 1的最小值为 2 ，求实数 a的值.
11. (20分)已知集合Ma= f x |存在正实数a,对定义域内任意的x都有 f x+a > f x 成立 ；
(1)若 f x = 2x- x2，判断 f x 是否为M1中的元素，并说明理由；
(2)若 g x = x3- 14 x+ 3，且 g x ∈Ma，求实数 a的取值范围；
(3)若 h x = log3 x+ kx ，其中 x∈ [1, +∞)，k∈ R ，且 h x ∈M2 ，求 h x 的最小值.
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2024年台州市普通高中数学竞赛试题
一、填空题 (本大题共 12小题,每小题 8分,共 96分.)
1.若全集 I= -2,4 ，A= x∣x2<1 ,则 IA=
2.函数 f x = 2sinxsin x2 cos
x
2 + cos2x的最小正周期是
3.已知 z∈C，i是虚数单位.若关于 x的方程 x2- zx- i= 0有实数解，则 z 的最小值是
4.若四面体 ABCD满足 AD= 2，BC= 3，BD= 2，AC= 1，则异面直线 AB，CD所成角的大小是
2 2
5.已知 F1,F2是椭圆 Γ: x +
y
4 3 = 1的两个焦点，P是椭圆 Γ上的点.若椭圆 Γ在点 P处的切线与直线 PF1所
π
成角的大小是 3 ，则△F1PF2的面积是
6.若 n条直线可将平面划分成至少 2024个区域,则 n的最小值是
7.已知关于 x的方程 x2+ px+ 4p= 0 * .若 p∈{1,2, ,25}，则方程 * 仅有整数解的概率是
8.已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 .若 P是直线 BC上的动点，则面C1AP与面 ABCD所成二面角的正弦值的
取值范围是
9. 2
x-1+2x 3x-1+3x 6x-1+6x
方程 x x+1 + x x+1 + x x+1 = 1的解集是2 -1+2 3 -1+3 6 -1+6
10.若 S△ABC= 8,A,B为锐角，且 sin2A+ sin2B= sin A+B ，则△ABC周长的最小值是
11.曲线 xy- x2- 1= 0的离心率是
12.若 x,y是实数，且 x3- 3x2+ 3x= 3,y3+ 6y2+ 12y=-10 ，则 x+ y=
二、解答题 (本大题共 3小题,第 13题 14分,第 14- 15题各 20分,共 54分.解答应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤.)
2 n-1
13.已知数列 an n∈N * 中 a1= 1,a = 3 , a =
an-2
2 且 n+1 a n≥2 n-1
(1)证明: an+2= 3an+1- 2an；
(2)求数列 an 的前 n项和 Sn .
14.已知 a,b,c> 0 . 1 + 2 + 3若 a b c = 2，求使不等式 a+b+c≥ λ a-1+ b-2+ c-3 恒成立的最大
整数 λ的值.
15.对一个圆周上分布着的 2024个整数，依如下规则作变换:
如果它是奇数，则加 1；
如果它是偶数则分两种情况：
(1)若它的两侧均是偶数, 则不变;
(2)若它的两侧不全是偶数则不变或者加 1.
若对这 2024个数均作以上变换后，发现圆周上恰有 1012个奇数和 1012个偶数，则圆周上原来最多有几个
偶数？
31
2024年广州市增城区高中数学联赛一试
一、填空题 (每题 7分,共 70分)
1.在复数范围内方程 x2- 4x+ 5= 0的两根为 α,β ，则 α + β = .
2.方程 lg 3sinx = lg -cosx 的解集为 .
3.正整数集合 Ak的最小元素为 1,最大元素为 2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差为 k的等差数
列，则集合 A17∪ A59中的元素个数为 .
4.已知正三棱锥 P- ABC底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为 .
5. 1 1已知函数 f x = loga 22 ax -x+ x 在区间 2,3 上恒正,则实数 a的取值范围为 .
6.设 S 1是不等式 x- 2 ≤ 3的解集,整数m,n∈ S , p
= 若 m,n ,q= -1,2 ,则 p⊥ q的概率为 ,设
ξ=m2 ,则其数学期望 E ξ 为 .
7.实数 x,y满足 3x2+ 2y2≤ 6 ，则 2x+ 3y的最大值是 .
y y
8.实数 x,y满足 x x +

3 = 1 ，则 3x+y-4 的取值范围是
9.将大小相同 5个不同颜色的小球,放在 A,B,C,D,E共 5个盒子中,每个球可以任意放在一个盒子里,则恰
有两个盒子空且 A盒子最多放 1个球的放球方法总数为 .
10.若 26+ 29+ 2n为一个平方数，则正整数 n= .
二、解答题 (共 50分)
11. (本题 16分)已知曲线C :x2n - 2nx+ y2= 0 n=1,2, .从点 P -1,0 向曲线Cn引斜率为 kn kn>0 的切
线 ln ,切点为 Pn xn,yn .
(1)求数列 xn 与 yn 的通项公式;
(2) : x x x x < 1-x x证明 n n1 3 5 2n-1 1+x < 2sin y .n n
32
x2 y212. (17分)设 b> 0 ,椭圆方程为 22 + 2 = 1 ,抛物线方程为 x = 8 y-b .如图所示,过点 F 0,b+2 作 x2b b
轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G ,已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点 F1 .
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
(2)设 A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得△ABP为直角三角形 若存
在,请指出共有几个这样的点 并说明理由 (不必具体求出这些点的坐标).
13. (本题 17分)设 f x = ax2+ cosx- 1,a∈ R .
(1) 1当 a= π 时,求函数 f x 的最小值;
(2)当 a≥ 12 时,求证: f x ≥ 0 ;
(3) 1 1 1 4求证: cos 2 + cos 3 + +cos n > n- 3 n∈N
*,n>1 .
33
2024年广州市增城区高中数学联赛二试
1. (本题满分 40分)如图, I是△ABC的内心, ∠A的外角平分线交 BC于点D ,直线 BI交△ABC外接圆于点
E ,直线CI与直线DE交点为 F .证明: AF∥ BE .
2
2. (本题满分 40分)已知实数 a,b,c均不等于 0,且 a+ b+ c=m,a2+ b2+ c2= m2 ,
a m-2a 2 +b m-2b 2 +c m-2c 2
求 abc 的值.
34目录
2024年重庆市高中数学联赛初赛试题…
…2
2024年浙江省高中数学联赛初赛试题…
"6
2024年四川省高中数学联赛初赛试题…11
2024年江苏省高中数学联赛初赛试题…
16
2024年吉林省高中数学联赛初赛试题…
…21
2024年新疆省高中数学联赛初赛试题…29
2024年广西省高中数学联赛初赛试题：
…34
2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题……39
2024年北京市高中数学联赛初赛一试…42
2024年北京市高中数学联赛初赛二试…
…44
2024年广东省高中数学联赛初赛一试……47
2024年广东省高中数学联赛初赛二试…51
2024年福建省高中数学联赛初赛试题…
…54
2024年江西省高中数学联赛初赛试题…64
2024年甘肃省高中数学联赛初赛试题…68
2024年上海市高三数学竞赛试卷…
…75
2024宜宾市高中数学联赛（初赛）试题（高一组）…81
2024年台州市普通高中数学竞赛试题…86
2024年广州市增城区高中数学联赛一试…
…90
2024年广州市增城区高中数学联赛二试…94
2024年重庆市高中数学联赛初赛试题
一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.已知复数z使得z-4为纯虚数，则2-1-的最小值为2-√2.（其中i为虚数单位）
7
【答案12-√2
解折1：-兰为纯虚数3-4=（包-）⊙：+=
4(z+)
22
①当z+z=0时，设z=a+bi,z=a-bi
.z十z=0
∴.a=0,z-1-i=1(b-1)-i=√(b-1)2+(-1)2≥1
∴lz-1-imm=l:
②当z+豆≠0时，
z-1-i≥z--1-i=2-W2<1,
∴.z-1-i的最小值为2-√2
2.设函数f(x)=2-2的反函数为y=f广(x),则不等式'(x-1)1<1的解集为（-2)
答案(-2)
【解析】∫(x)为R上单调递增的奇函数，且值域为R,
∴f(x)也为R上单调递增的奇函数。
注毫0)=多，故厂x-<1台-}f(x)=2'-2
f'(x)
3.若点A(-分，)关于直线y=众对称的点在圆(x-2+=1上，则k=5
【答案】3
【解析】A在圆x2+y2=1上，且A关于直线y=x对称的点必然在圆x2+y2=1上，
圆x2+y2=1与圆(x-2)2+y2=1仅有唯一公共点B(1,0),
.对称点只能是B.易知∠AOB=120°，
∴.k=tan60°=√5.
3w10
4.在△ABC中，已知AB·AC=2BC·BA=3CA·CB,则△ABC最大角的正弦值为I0
【答案13y0
10
【解析】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由条件知

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