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上海市2024年中考数学试题
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（2024·上海）如果，那么下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·上海）函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·上海）已知某个人要种植，且种子有四种类别：甲、乙、丙、丁.对于每种种子， 发芽天数气稳定性(标准差)如下所示，在同时考量稳定性与种了能快速发芽的情况下，他应该选择（　　）
种类 甲 乙 丙 丁
发芽天数 2.3 2.3 3.1 2.8
标准差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2024·上海）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
6．（2024·上海）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（　　）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
二、填空题（每题4分，共48分）
7．（2024·上海）计算：　 　．
8．（2024·上海）计算　 　．
9．（2024·上海）已知，则　 　．
10．（2024·上海）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的　 　倍．（用科学记数法表示）
11．（2024·上海）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而　 　．（选填“增大”或“减小”）
12．（2024·上海）在菱形中，，则　 　．
13．（2024·上海）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为　 　万元．
14．（2024·上海）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有　 　个绿球．
15．（2024·上海）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则　 　（结果用含，的式子表示）．
16．（2024·上海）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有　 　人．
17．（2024·上海）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则　 　．
18．（2024·上海）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为　 　．
三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19．（2024·上海）计算：．
20．（2024·上海）解方程组：．
21．（2024·上海）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．
（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
22．（2024·上海）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．
（1）求：
两个直角三角形的直角边（结果用表示）；
小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：
不与给定的图形状相同；
画出三角形的边．
23．（2024·上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．
24．（2024·上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．
25．（2024·上海）在梯形中，，点E在边上，且．
（1）如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
（2）已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A：x＞y，则x+5＞y+5，原选项错误，不合题意；
B：x＞y，则x-5＞y-5，原选项错误，不合题意；
C：x＞y，则5x＞5y，原选项正确，符合题意；
D：x＞y，则-5x＜-5y，原选项错误，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键。 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。 根据不等式的性质对选项逐一判断，可得正确结论。
2．【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：
∴ x-3≠0
解得x≠3
故答案为：D
【分析】本题考查函数的定义域，即函数中自变量的取值范围， 函数为分式形式，则需满足分母不等于0，可得结论。当解析式为整式 时，自变量的取值范围是 全体实数 ；当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使 被开方数不小于零的实数；当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A：a=1，b=-6，c=0，=（-6）2-4×1×0=36＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；
B：a=1，b=0，c=-9，=02-4×1×（-9）=36＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；
C：a=1，b=-6，c=6，=（-6）2-4×1×6=12＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；
D：a=1，b=-6，c=9，=（-6）2-4×1×9=0，则该一元二次方程有两个相等的实数根；符合题意；
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据根的判别式与0的比较，得出根的情况。若＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根；=0，一元二次方程有两个相等的实数根；＜0，一元二次方程无实数根；≥0，一元二次方程有实数根。
4．【答案】B
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：开花时间最短的是甲和乙，标准差最小的是乙和丁，则开花时间最短并且最平稳的是乙种类。
故答案为：B
【分析】本题考查标准差的意义， 标准差能反映一个数据集的离散程度，标准差越小，数据越稳定，据此可得结论。
5．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，四边形ABCD为矩形，AC，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，BF⊥AC，DE⊥AC
∴ AO=DO=BO=CO，∠AGO=∠DHO=∠BKO=∠CPO=90°
∴
∴ ∠GAO=∠HDO=∠KBO=∠PCO
∴ ∠BAM=∠CDN=∠ABM=∠DCN，∠EAD=∠EDA=∠FBC=∠FCB
∴ EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN
∴ FM=ME=EN=NF
∴ 四边形MENF为菱形
故答案为：A
【分析】本题考查特殊四边形--矩形的性质，菱形的判定，三角形的全等判定与性质等知识，熟悉矩形的性质，菱形的判定是解题关键。根据矩形性质，证明，结合其性质，可得EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN，可知FM=ME=EN=NF，则四边形MENF为菱形.
6．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
∵ 圆与圆内切， 圆半径为1，圆半径为3，
∴ AP1=3-1=2
∴ BP1=AB-AP1=3
∵ AC=3，
∴ CP2=AC-AP2=1
∴ BP2=
∴ 3＜BP＜
∵ rB=2
∴ rB+rP=5，rB-rP=1
∴1＜BP＜5
∴ 圆P与圆B相交
故答案为：B
【分析】本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交， 圆心距小于两圆半径的和，而大于两圆半径的差的绝对值。根据两圆半径和圆心距，可判定圆与圆的位置关系：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
（1）d>R+r 两圆外离； 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。（2）d=R+r 两圆外切； 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。（3）d=R-r 两圆内切； 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。（4）d7．【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】 解：43x6=64x6
故答案为：
【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方法则可得结论。
8．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a+b）（b-a）=b2-a2.
故答案为：b2-a2.
【分析】利用平方差公式直接进行计算.
9．【答案】1
【知识点】无理方程
【解析】【解答】∵
∴
∴ 2x-1=1
∴ 2x=2
∴ x=1
故答案为：1
【分析】本题考查无理方程，用平方的方法把无理方程转化成有理方程，按照方程的求解步骤可得方程的解。
10．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题知：2×105÷25=200×103÷25=8×103
故答案为：8×103
【分析】本题考查科学记数法：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
11．【答案】减小
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数的图像经过点，
∴ 7k=-13
∴ k=＜0
∴y的值随x的增大而减小
故答案为：减小
【分析】本题考查正比例函数的性质：y=kx（k≠0）.k＞0，y的值随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小。
12．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵ 菱形ABCD
∴ ∠ABC+∠BAD=180°
∴ ∠BAD=180°-∠ABC=114°
∴ ∠BAC=∠BAD=57°
故答案为：
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，对角线平分对角，根据其性质可得答案。
13．【答案】4500
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系 y=kx+b（k≠0）
由题知：x=10，y=1000；x=90，y=5000
∴
解得k=50，b=500
∴ y=50x+500
∴ x=80时，y=50×80+500=4500
故答案为：4500
【分析】本题考查一次函数的实际应用，根据题意，设函数解析式和函数过点的坐标，列出关于k，b的方程组，求出k，b值，可得一次函数解析式，代入所给自变量值，求出函数值即可。
14．【答案】3
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵ 摸到绿球的概率是 ，
∴ 绿球的数量为3x，袋子中的白球和绿球共有5x个
∴ x≥1，x为正整数，
∴ 绿球至少有3个
故答案为：3
【分析】本题考查概率，根据绿球的概率，可知绿球的数量为3x，x为正整数，可得绿球的数量。
15．【答案】
【知识点】向量的加法运算律；向量的减法法则
【解析】【解答】
解：∵ 平行四边形
∴ AB=DC
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的线性运算，熟悉平行四边形的性质，结合向量的法则，正确计算向量是解题关键。
16．【答案】2000
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：从条形图可知，1000张调查问卷中，需要AR增强讲解的张数是100人，则20000万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有20000×=2000人.
故答案为：2000
【分析】本题考查条形统计图，根据样本估算整体情况，计算出样本中需要AR讲解的人数百分率，可得总体需要AR增强讲解的人数。
17．【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，C'落在AB线段上，
由翻折知：CC'⊥AB
∵ AC'：AB：BC=1：3：7
∴ BC'：AB：BC=2：3：7
∴ cos∠ABC==
如图：C'在BA 延长线上，
由翻折知：CC'⊥AB
∵ AC'：AB：BC=1：3：7
∴ BC'：AB：BC=4：3：7
∴ cos∠ABC==
综上， cos∠ABC=或
故答案为：或
【分析】本题考查平行四边形的性质，翻折的性质，余弦的定义，熟悉翻折的性质是解题的关键。注意分情况讨论。由翻折得CC'⊥AB，根据 AC'：AB：BC=1：3：7得 BC'：AB：BC=2：3：7得cos∠ABC==；或BC'：AB：BC=4：3：7，可得cos∠ABC==.
18．【答案】4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵
∴ m=，k=
根据题意，设点P（x， ）
∴
解得：x=或x=（不合题意，舍去）
∴ 开口大小==4
故答案为：4
【分析】本题考查二次函数顶点坐标，解一元二次方程及新定义，熟悉求二次函数的顶点坐标方法，解一元二次方程的方法等知识，是解题关键。根据配方法或者顶点公式求出顶点坐标，即m，k的值，再根据满足的条件，解出方程的根，可得点P的横坐标，根据开口大小公式求解即可。
19．【答案】解：
．
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零整数指数幂，最简二次根式的化简，绝对值等知识，是解题关键。
20．【答案】解：，
由得：代入中得：
，
，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴方程组的解为或者．
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点，用代入法求解比较简便。
21．【答案】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
（2）解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，
∵轴，轴轴，
∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，与一次函数的交点，一次函数的性质与锐角三角函数，掌握求解析式的方法，求函数与函数交点，锐角三角函数的定义是解题关键。
（1）把B（n，6）代入y=-2x+4，得B（-1，6），代入y=得反比例解析式，把点A代入反比例函数，得m值；
（2）设l与y轴相交于D，得，则，得，，，得．
22．【答案】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，，
则；
如图，为含的直角三角形板，，，，
则，；
综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；
由题意可知，
∴四边形是矩形，
由图可得，，，
∴，
故小平行四边形的底为，高为，面积为；
（2）解：如图，即为所作图形．
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数，矩形的性质及面积，30°直角三角形，等腰直角三角形等知识，熟悉30°直角三角形及等腰直角三角形，矩形的性质及特殊锐角三角函数值是解题关键。
（1）根据高为h，则等腰直角三角板的边；的直角三角形板的边，；
（2）由题知四边形是矩形，根据其性质得，，得，即小平行四边形的底为，高为，面积为.（3）拼接方式可参考一线三角的模型摆放。
23．【答案】（1）证明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）证明：连接交于点，如图所示：
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
∴，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握判定大方法与性质应用是解题关键。
（1）由矩形得，，，证，得，即，结合，得；
（2）连接交于点，根据矩形的性质，得，，OD=FE，可证，得．
24．【答案】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新抛物线为；
（2）解：①如图，设，则，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：在的右边，当时，
∴轴，
∴，
∴，
由平移的性质可得：，即；
如图，当时，则，
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：（不符合题意舍去）；
综上：；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平移的性质，线段问题，三角形相似的判定与性质和平行线的性质，分类讨论等知识，熟练掌握待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，运用分类谈论是解题关键。
（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，代入和得新抛物线为；
（2）设，则，得＜3，得，得；②由抛物线解析式，得平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，在的右边，分2种情况讨论：得，得；，过作于，证，得，设，则，，，得，得：（舍）；综上：；
25．【答案】（1）证明：延长交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，
∵点O为外接圆圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圆半径为；
②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
而，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，平行线的判定及梯形的性质，熟悉相似三角形的判定与性质是解题的关键。
（1）延长交于点G，由，得，结合，，得，则；
（2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，证，再证，得，得，②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由得，证，证，再证，，得，由勾股定理得：，得，
则，由勾股定理得，，得．
1 / 1上海市2024年中考数学试题
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（2024·上海）如果，那么下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A：x＞y，则x+5＞y+5，原选项错误，不合题意；
B：x＞y，则x-5＞y-5，原选项错误，不合题意；
C：x＞y，则5x＞5y，原选项正确，符合题意；
D：x＞y，则-5x＜-5y，原选项错误，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键。 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。 根据不等式的性质对选项逐一判断，可得正确结论。
2．（2024·上海）函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：
∴ x-3≠0
解得x≠3
故答案为：D
【分析】本题考查函数的定义域，即函数中自变量的取值范围， 函数为分式形式，则需满足分母不等于0，可得结论。当解析式为整式 时，自变量的取值范围是 全体实数 ；当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使 被开方数不小于零的实数；当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
3．（2024·上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A：a=1，b=-6，c=0，=（-6）2-4×1×0=36＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；
B：a=1，b=0，c=-9，=02-4×1×（-9）=36＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；
C：a=1，b=-6，c=6，=（-6）2-4×1×6=12＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；
D：a=1，b=-6，c=9，=（-6）2-4×1×9=0，则该一元二次方程有两个相等的实数根；符合题意；
故答案为：D
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据根的判别式与0的比较，得出根的情况。若＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根；=0，一元二次方程有两个相等的实数根；＜0，一元二次方程无实数根；≥0，一元二次方程有实数根。
4．（2024·上海）已知某个人要种植，且种子有四种类别：甲、乙、丙、丁.对于每种种子， 发芽天数气稳定性(标准差)如下所示，在同时考量稳定性与种了能快速发芽的情况下，他应该选择（　　）
种类 甲 乙 丙 丁
发芽天数 2.3 2.3 3.1 2.8
标准差 1.05 0.78 1.05 0.78
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】标准差
【解析】【解答】解：开花时间最短的是甲和乙，标准差最小的是乙和丁，则开花时间最短并且最平稳的是乙种类。
故答案为：B
【分析】本题考查标准差的意义， 标准差能反映一个数据集的离散程度，标准差越小，数据越稳定，据此可得结论。
5．（2024·上海）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（　　）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，四边形ABCD为矩形，AC，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，BF⊥AC，DE⊥AC
∴ AO=DO=BO=CO，∠AGO=∠DHO=∠BKO=∠CPO=90°
∴
∴ ∠GAO=∠HDO=∠KBO=∠PCO
∴ ∠BAM=∠CDN=∠ABM=∠DCN，∠EAD=∠EDA=∠FBC=∠FCB
∴ EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN
∴ FM=ME=EN=NF
∴ 四边形MENF为菱形
故答案为：A
【分析】本题考查特殊四边形--矩形的性质，菱形的判定，三角形的全等判定与性质等知识，熟悉矩形的性质，菱形的判定是解题关键。根据矩形性质，证明，结合其性质，可得EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN，可知FM=ME=EN=NF，则四边形MENF为菱形.
6．（2024·上海）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（　　）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
∵ 圆与圆内切， 圆半径为1，圆半径为3，
∴ AP1=3-1=2
∴ BP1=AB-AP1=3
∵ AC=3，
∴ CP2=AC-AP2=1
∴ BP2=
∴ 3＜BP＜
∵ rB=2
∴ rB+rP=5，rB-rP=1
∴1＜BP＜5
∴ 圆P与圆B相交
故答案为：B
【分析】本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交， 圆心距小于两圆半径的和，而大于两圆半径的差的绝对值。根据两圆半径和圆心距，可判定圆与圆的位置关系：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。
（1）d>R+r 两圆外离； 两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。（2）d=R+r 两圆外切； 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。（3）d=R-r 两圆内切； 两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。（4）d二、填空题（每题4分，共48分）
7．（2024·上海）计算：　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】 解：43x6=64x6
故答案为：
【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方法则可得结论。
8．（2024·上海）计算　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（a+b）（b-a）=b2-a2.
故答案为：b2-a2.
【分析】利用平方差公式直接进行计算.
9．（2024·上海）已知，则　 　．
【答案】1
【知识点】无理方程
【解析】【解答】∵
∴
∴ 2x-1=1
∴ 2x=2
∴ x=1
故答案为：1
【分析】本题考查无理方程，用平方的方法把无理方程转化成有理方程，按照方程的求解步骤可得方程的解。
10．（2024·上海）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的　 　倍．（用科学记数法表示）
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题知：2×105÷25=200×103÷25=8×103
故答案为：8×103
【分析】本题考查科学记数法：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。
11．（2024·上海）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而　 　．（选填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 正比例函数的图像经过点，
∴ 7k=-13
∴ k=＜0
∴y的值随x的增大而减小
故答案为：减小
【分析】本题考查正比例函数的性质：y=kx（k≠0）.k＞0，y的值随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小。
12．（2024·上海）在菱形中，，则　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵ 菱形ABCD
∴ ∠ABC+∠BAD=180°
∴ ∠BAD=180°-∠ABC=114°
∴ ∠BAC=∠BAD=57°
故答案为：
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，对角线平分对角，根据其性质可得答案。
13．（2024·上海）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为　 　万元．
【答案】4500
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：设 某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系 y=kx+b（k≠0）
由题知：x=10，y=1000；x=90，y=5000
∴
解得k=50，b=500
∴ y=50x+500
∴ x=80时，y=50×80+500=4500
故答案为：4500
【分析】本题考查一次函数的实际应用，根据题意，设函数解析式和函数过点的坐标，列出关于k，b的方程组，求出k，b值，可得一次函数解析式，代入所给自变量值，求出函数值即可。
14．（2024·上海）一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有　 　个绿球．
【答案】3
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵ 摸到绿球的概率是 ，
∴ 绿球的数量为3x，袋子中的白球和绿球共有5x个
∴ x≥1，x为正整数，
∴ 绿球至少有3个
故答案为：3
【分析】本题考查概率，根据绿球的概率，可知绿球的数量为3x，x为正整数，可得绿球的数量。
15．（2024·上海）如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则　 　（结果用含，的式子表示）．
【答案】
【知识点】向量的加法运算律；向量的减法法则
【解析】【解答】
解：∵ 平行四边形
∴ AB=DC
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【分析】本题考查平面向量的线性运算，熟悉平行四边形的性质，结合向量的法则，正确计算向量是解题关键。
16．（2024·上海）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有　 　人．
【答案】2000
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：从条形图可知，1000张调查问卷中，需要AR增强讲解的张数是100人，则20000万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有20000×=2000人.
故答案为：2000
【分析】本题考查条形统计图，根据样本估算整体情况，计算出样本中需要AR讲解的人数百分率，可得总体需要AR增强讲解的人数。
17．（2024·上海）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则　 　．
【答案】或
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，C'落在AB线段上，
由翻折知：CC'⊥AB
∵ AC'：AB：BC=1：3：7
∴ BC'：AB：BC=2：3：7
∴ cos∠ABC==
如图：C'在BA 延长线上，
由翻折知：CC'⊥AB
∵ AC'：AB：BC=1：3：7
∴ BC'：AB：BC=4：3：7
∴ cos∠ABC==
综上， cos∠ABC=或
故答案为：或
【分析】本题考查平行四边形的性质，翻折的性质，余弦的定义，熟悉翻折的性质是解题的关键。注意分情况讨论。由翻折得CC'⊥AB，根据 AC'：AB：BC=1：3：7得 BC'：AB：BC=2：3：7得cos∠ABC==；或BC'：AB：BC=4：3：7，可得cos∠ABC==.
18．（2024·上海）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为　 　．
【答案】4
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵
∴ m=，k=
根据题意，设点P（x， ）
∴
解得：x=或x=（不合题意，舍去）
∴ 开口大小==4
故答案为：4
【分析】本题考查二次函数顶点坐标，解一元二次方程及新定义，熟悉求二次函数的顶点坐标方法，解一元二次方程的方法等知识，是解题关键。根据配方法或者顶点公式求出顶点坐标，即m，k的值，再根据满足的条件，解出方程的根，可得点P的横坐标，根据开口大小公式求解即可。
三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19．（2024·上海）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】无理数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零整数指数幂，最简二次根式的化简，绝对值等知识，是解题关键。
20．（2024·上海）解方程组：．
【答案】解：，
由得：代入中得：
，
，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴方程组的解为或者．
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点，用代入法求解比较简便。
21．（2024·上海）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．
（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
【答案】（1）解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
（2）解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，
∵轴，轴轴，
∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，与一次函数的交点，一次函数的性质与锐角三角函数，掌握求解析式的方法，求函数与函数交点，锐角三角函数的定义是解题关键。
（1）把B（n，6）代入y=-2x+4，得B（-1，6），代入y=得反比例解析式，把点A代入反比例函数，得m值；
（2）设l与y轴相交于D，得，则，得，，，得．
22．（2024·上海）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．
（1）求：
两个直角三角形的直角边（结果用表示）；
小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；
（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：
不与给定的图形状相同；
画出三角形的边．
【答案】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，，
则；
如图，为含的直角三角形板，，，，
则，；
综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；
由题意可知，
∴四边形是矩形，
由图可得，，，
∴，
故小平行四边形的底为，高为，面积为；
（2）解：如图，即为所作图形．
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数，矩形的性质及面积，30°直角三角形，等腰直角三角形等知识，熟悉30°直角三角形及等腰直角三角形，矩形的性质及特殊锐角三角函数值是解题关键。
（1）根据高为h，则等腰直角三角板的边；的直角三角形板的边，；
（2）由题知四边形是矩形，根据其性质得，，得，即小平行四边形的底为，高为，面积为.（3）拼接方式可参考一线三角的模型摆放。
23．（2024·上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．
【答案】（1）证明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
（2）证明：连接交于点，如图所示：
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
，
，，
，
∴，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握判定大方法与性质应用是解题关键。
（1）由矩形得，，，证，得，即，结合，得；
（2）连接交于点，根据矩形的性质，得，，OD=FE，可证，得．
24．（2024·上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．
（1）求平移后新抛物线的表达式；
（2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．
①如果小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．
【答案】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新抛物线为；
（2）解：①如图，设，则，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：在的右边，当时，
∴轴，
∴，
∴，
由平移的性质可得：，即；
如图，当时，则，
过作于，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：（不符合题意舍去）；
综上：；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平移的性质，线段问题，三角形相似的判定与性质和平行线的性质，分类讨论等知识，熟练掌握待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，运用分类谈论是解题关键。
（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，代入和得新抛物线为；
（2）设，则，得＜3，得，得；②由抛物线解析式，得平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，在的右边，分2种情况讨论：得，得；，过作于，证，得，设，则，，，得，得：（舍）；综上：；
25．（2024·上海）在梯形中，，点E在边上，且．
（1）如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；
（2）已知；
①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．
【答案】（1）证明：延长交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，
∵点O为外接圆圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴外接圆半径为；
②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，
∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴，
∴，
而，
∴在中，由勾股定理得，，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，平行线的判定及梯形的性质，熟悉相似三角形的判定与性质是解题的关键。
（1）延长交于点G，由，得，结合，，得，则；
（2）①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，证，再证，得，得，②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由得，证，证，再证，，得，由勾股定理得：，得，
则，由勾股定理得，，得．
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