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2024年北京市中考数学试题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．如图，直线和相交于点，．若，则的大小为　　
A． B． C． D．
3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是　　
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为　　
A． B． C．4 D．16
5．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是　　
A． B． C． D．
6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设．北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到，则的值为　　
A． B． C． D．
7．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则．
上述方法通过判定△得到，其中判定△的依据是　　
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
8．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各顶点的距离都相等；
④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是　　
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　．
10．分解因式：　　．
11．方程的解为 　　．
12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 　　．
13．某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：，得到的数据如下：
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量（单位：满足时，评定该工件为一等品．根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是 　　．
14．如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则　　．
15．如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为 　　．
16．联欢会有，，，四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：如下：
节目
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为 　　；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 　　的先后顺序彩排．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知，求代数式的值．
20．（6分）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
21．（6分）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准阶段（以下简称“标准” ．对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过．已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由．
22．（5分）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围．
23．（5分）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段．
（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
．教师评委打分：
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
．学生评委打分的频数分布直方图如图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组
．评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委 91 91
学生评委 90.8 93
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为 　　，的值位于学生评委打分数据分组的第 　　组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则 　　91（填“”“ ”或“” ；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲 93 90 92 93 92
乙 91 92 92 92 92
丙 90 94 90 94
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 　　，表中为整数）的值为 　　．
24．（6分）如图，是的直径，点，在上，平分．
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，，求半径的长．
25．（5分）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图．
当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：和2号杯的水面高度单位：，部分数据如下：
0 40 100 200 300 400 500
0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 　　（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 　　（结果保留小数点后一位）．
26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知，和，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围．
27．（7分）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点．
（1）如图1，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2）如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
（1）如图，点，．
①在点，，中，点 　　是弦的“可及点”，其中　　；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为 　　；
（2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
2024年北京市中考数学试题参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．B
2．B
3．C
4．C
5．A
6．D
7．A
8．B
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（
10．
11．
12．0
13．160
14．55
15．
16．60；
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）解：
．
18．（5分）解：解不等式得，
，
解不等式得，
，
所以不等式组的解集为：．
19．（5分）解：，
，
．
20．（6分）（1）证明：是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）知，是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，，
．
21．（6分）解：这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”，理由如下：
设该汽车的类物质排放量为 ，则该汽车的类物质排放量为，
根据题意得，
解得，
这次技术改进后该汽车的类物质排放量，
“标准”要求类物质排放量不超过，
这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”．
22．（5分）解：（1）直线点，
，
解得，
将点代入得：，
解得．
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，
．
的取值范围是．
23．（5分）解：（1）①由题意得，教师评委打分中91出现的次数最多，故众数．
45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故的值位于学生评委打分数据分组的第4组；
故答案为：91；4；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，
则，
．
故答案为：；
（2）甲选手的平均数为，
乙选手的平均数为，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，
名专业评委给乙选手的打分为91，92，92，92，92，
乙选手的方差，
5名专业评委给丙选手的打分为90，94，90，94，，
乙选手的方差小于丙选手的方差，
丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，
，
，
为整数，
为整数）的值为92，
故答案为：92．
24．（6分）（1）证明：连接交于，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
设，，
，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
或（不合题意舍去），
，
半径的长为．
25．（5分）解：（1）设，将代入得：，解得，
，
，
，
故答案为：1.0．
（2）如图所示，
（3）①当时，，由图象可知相差约为．
故答案为：1.2．
②在①的条件下两杯相差，此时大约是7.9，加上0.6约为．
故答案为：8.5．
26．（6分）解：（1）将代入得，
顶点坐标为；
（2）由题得，，
，
，
，
①当时，，
或，
解得或，
，
或，
或，
，
；
②当时，，
或，
解得，
，
，解得，
综上所述，或．
27．（7分）（1）证明：连接，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点是的中点；
（2）解：，
在射线上取点，使得，取的中点，连接，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
28．（7分）解：（1）①反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
点应在的圆内或圆上，
点，，
，
，
，
由对称得：，
△为等腰直角三角形，
，
设半径为，
则，故在外，不符合题意；
，故在上，符合题意；
，故在外，不符合题意，
点是弦的“可及点”，
可知，，三点共线，
，
，
故答案为：，45；
②取中点为，连接，
，
，
点在以为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点、，
当轴时，点横坐标最大，
，，
，
，
点，，
，
，
点的横坐标的最大值为，
故答案为：；
（2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
点应在的圆内或圆上，
点需要在的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接，，
点在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点、，
，
，
由对称得点，在的垂直平分线上，
的外接圆为，
点也在的垂直平分线上，记与交于点，
，
，
随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点在上，即为临界状态，此时最大，，
连接，，
，
当最大，时，此时为等边三角形，
由上述过程知，
，
当，的最大值为2，
设，则，
解得：，
记直线与交于，，与轴交于点，过点作轴，
当，，当时，，
解得，
与轴交于点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的取值范围是．
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