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探索三角形全等的条件（HL） 专项练习
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）

A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·湖北随州·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（ ）

A． B．与互余 C． D．
3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在和中，，，，则下列结论不一定成立的是（）

A． B． C． D．
4．（22-23八年级上·江西抚州·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知，则这两个滑梯与地面夹角与的度数和是（　　）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则（ ）

A． B． C． D．
6．（20-21八年级上·天津红桥·期中）如图，△ABC中，点D是BC边上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，且BD=FC，BE=DC，∠AFD=155°，则∠EDF的度数是（　 　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
7．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5.5
8．（23-24八年级上·河北张家口·期中）如图，，，，，则（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（14-15八年级上·江苏盐城·课后作业）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）如图，在中，分别是边上的高，已知；若，则的度数为 ．
12．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则边的长为 ．

13．（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是 ．

14．（23-24八年级上·新疆伊犁·期中）如图，于E，于F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④，中正确的是 ．

15．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，E是的中点，平分，，则 ．

16．（23-24八年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，在四边形中，、为对角线，且，，于点．若，，则的长度为 ．

17．（18-19七年级下·黑龙江·期末）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为 ．

18．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，．若，则的长为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程．
证明：
，，
__________．
是的中点，
__________，
又，
__________．
．
20．（8分）（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，相交于点O，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（10分）（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，点在边的延长线上，连接，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
（1）求的度数；
（2）请判断是否平分，并说明理由．
22．（10分）（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接．
（1）若平分，求证：．
（2）求的度数．
23．（10分）（21-22八年级上·山东聊城·期末）如图，在△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E为AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，连接FD．
（1）求证：△BED≌△ACD；
（2）若FC=c，FB=b，求的值．(用含a，b的式子表示)
24．（12分）（20-21七年级下·辽宁朝阳·期末）已知：两个等腰直角三角板△ACB和△DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如图所示摆放，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．
（1）如图1（两个等腰直角三角板大小不等），试判断AE与BD有何关系并说明理由；
（2）如图2（两个等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何辅助线的情况，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：．
2．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需的条件分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴要利用“”判定的条件是．
故选D．
3．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．
首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断．
【详解】解：在和中，
，
故A、C、D正确，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，由可得．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
故选：B．
5．B
【分析】先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了用证明三角形全等，解题的关键掌握有一条直角和斜边相等的两个直角三角形全等．
6．D
【分析】证明Rt△FDC≌Rt△DEB（HL），由全等三角形的性质得出∠DFC＝∠EDB＝25°，即可得出答案．
【详解】解：∵∠AFD＝155°，
∴∠DFC＝25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝∠DEB＝90°，
在Rt△FDC和Rt△DEB中，，
∴Rt△FDC≌Rt△DEB（HL），
∴∠DFC＝∠EDB＝25°，
∴∠EDF＝180° ∠BDE ∠FDC＝180° 25° 90°＝65°．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意，利用直角三角形全等的判定定理得到，求出相关线段长度，由图中线段关系表示出，代值求解即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形中两个锐角互余，根据条件证明出两个直角三角形全等是解题的关键．
【详解】解：，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
9．A
【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，再证明Rt△BED≌Rt△BEC得到DE＝CE，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD＋AC＋2BC＝12和AD＋AC＝6，所以6＋2BC＝12，从而得到BC的长．
【详解】解：连接BE，
∵DE⊥AB
∴∠BDE=90°，
在Rt△BED和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL），
∴DE＝CE，
∵△ABC的周长为12，
∴AB＋AC＋BC＝12，
即AD＋AC＋2BC＝12，
∵△ADE的周长为6，
∴AD＋DE＋AE＝6，
即AD＋EC＋AE＝6，
∴AD＋AC＝6，
∴6＋2BC＝12，
∴BC＝3．
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL证明全等是解答此题的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键．
，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：，．理由如下：
在与中，，
，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
在与中，，
，
∴．
在与中，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
在与中，，
∴．
故选：D
11．/度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．
【详解】解：∵分别是边上的高，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
故答案为：
12．3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，连接，利用证明得到，根据三角形周长公式推出，再由，可得．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的周长为，的周长为，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．

13．
【分析】由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【详解】解：，证明如下：
由题意可得：与均是直角三角形，且．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点拨】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．
14．①②④
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，再证明，判断出平分，可得，再根据图形即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，①正确，符合题意；
又∵，，
∴，
∴，，即平分，②正确，符合题意；
∴，④正确，符合题意；
在中，，∴，③错误，不符合题意；
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
15．
【分析】过点E作，垂足为F．由三角形的内角和定理求得，由角平分线的定义可知，由平行线的判定定理可知，由平行线的性质可求得，由角平分线的性质可知，则，根据可证明，从而得到．
【详解】解：过点E作，垂足为F．

∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，，
∴．
∵E是的中点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴．
故选答案为．
【点拨】本题主要考查的是角平分线的性质、全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，由角平分线的性质证得是解题的关键．
16．
【分析】过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】解：过点A作交的延长线于点F，

，
，
，
在和中，
，
，
∴，，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
17．
【分析】
过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据的面积列出关于的方程，求解即可．
【详解】
解：如图，过点作于点

为的中线，
，
又
，
在和中
，即
，，
为的中线，
又
解得：
故答案为：3．
【点拨】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等底同高三角形的面积关系及直角三角形的面积公式，属于中档题．
18．5
【分析】如图，过作的延长线于，证明，则，，证明，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作的延长线于，

∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
19．，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：，，
是的中点，
又，
．
20．(1)见详解
(2)
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴；
（2）在中，
∵，
由（1）可知，
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
21．(1)
(2)平分，理由见解析
【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；（2）过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论．
【详解】（1），
．
，
．
，
，
；
（2）平分
理由：如图，过点分别作于点，于点
平分
在和中
（AAS）
同理可得：
在和中，
（HL）
平分．
【点拨】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质，
（1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论；
（2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度．
【详解】（1）证明：延长，交于点，如图，
，，，
，
，
．
，，
．
，，
，
，
．
（2）解：过点分别作于点，于点，如图，
．
，，
，
，
∵，
∴，
．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用得，又BE=AC，，因此可以通过HL定理证明；
（2）作于点，作于点，由可得，利用即可求解．
【详解】（1）证明：在△ABC中∠ABC=45°，AD⊥BC，
，，
，
在和中，
，
，
即．
（2）解：如图所示，作DG⊥BE于点G，作DH⊥AC于点H，
由（1）知
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确作出辅助线，由可得．
24．（1）AE＝BD且AE⊥BD．理由见解析；（2）△ACB≌△DCE，△EMC≌△BCN，△AON≌△DOM，△AOB≌△DOE
【分析】（1）证明△ACE≌△BCD，可得AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，由∠CME＝∠DMO，根据三角形内角和定理即可得∠DOM＝∠ECM＝90°，进而可证AE⊥BD．
（2）根据三角形全等的判定找出相等边和角，进而找出全等三角形．
【详解】解：（1）结论；AE＝BD且AE⊥BD．理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠DCA＝∠DCE+∠DCA，
即∠DCB＝∠ACE，
∵AC＝BC，CD＝CE，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CEA＝∠BDC，
∵∠CME＝∠DMO，
，
即∠DOM＝∠ECM＝90°，
∴AE⊥BD，
∴AE＝BD且AE⊥BD；
（2）∵AC＝DC，
∴AC＝CD＝EC＝CB，
在△ACB与△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS）；
由（1）可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC，
∴∠DOM＝90°，
∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，
∴△EMC≌△BCN（ASA），
∴CM＝CN，
∴DM＝AN，
∴△AON≌△DOM（AAS），
∵DE＝AB，AO＝DO，
∴△AOB≌△DOE（HL）．
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

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