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2024年山东省德州市齐河三中中考数学二练试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个数中，最大的数是( )
A. B. C. D.
2.据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为亿人，亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图所示的几何体，对其三视图叙述正确的是( )
A. 左视图和俯视图相同
B. 三个视图都不相同
C. 主视图和左视图相同
D. 主视图和俯视图相同
5.八年级二班在一次体重测量中，小明体重，低于全班半数学生的体重，分析得到结论所用的统计量是( )
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
6.下列选项中能使 成为菱形的是( )
A. B. C. D.
7.某药品加工厂两年前生产Ⅰ型药品的成本是元，现在生产Ⅰ型药品的成本是元则Ⅰ型药品的年平均下降率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标是
，点的坐标是，顶点，分别在反比例函数和的图象上，则的值为( )
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为( )
A. B.
C. D.
10.为测量大楼的高度，小明测得斜坡在同一平面内，坡度：，坡底到大楼底部的水平距离，在处测得大楼顶部的仰角为，则大楼的高度为( )
A. B.
C. D.
11.底部为圆柱形的密封瓶子里装着一些水如图所示，颠倒瓶子后如右图，则瓶子的容积( )
A. B.
C. D.
12.如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：；；；；正确结论的个数为( )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.在函数中，自变量的取值范围是______．
14.如图，五边形是正五边形．若，则
15.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为______．
16.一个母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是______．
17.如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______
18.如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
为迎接第个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办类主题活动：阅读分享会；：征文比赛；；名家进校园；：知识竞赛；：经典诵读表演为了解同学们参与这类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查每名学生仅选一项，并将调查结果绘制成如图请根据图表提供的信息，解答下列问题．
本次调查的学生共有______名，扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于______；
请把这幅频数分布直方图补充完整；画图后请标注相应数据
该校共有名学生，请你估计该校想参加“：经典诵读表演”活动的学生人数．
德育处从该校九年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取名学生参加全市正文比赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
21.本小题分
如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点．
求反比例函数的解析式；
将直线向上平移个单位后，与轴交于点，与的图象交于点，连接，，求的面积．
22.本小题分
月日是母亲节，为了迎接母亲节的到来，利客来商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为元，用元购进甲种玩具的件数与用元购进乙种玩具的件数相同．
求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
商场计划购进甲、乙两种玩具共件，其中甲种玩具的件数少于件，并且商场决定此次进货的总资金不超过元，求商场共有几种进货方案？
在条件下，若每件甲种玩具售价元，每件乙种玩具售价元，请求出卖完这批玩具获利元与甲种玩具进货量件之间的函数关系式，并求出最大利润为多少？
23.本小题分
如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，
交线段于点，作，交延长线于点．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．
24.本小题分
如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
是直线上方的抛物线上的一个动点，设的横坐标为，到的距离为，求与的函数关系式，并求出的最大值；
设点是轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，说明理由．
25.本小题分
综合与实践．
【问题发现】
如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：．
【类比探究】
如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，且，连接，求的值．
【拓展延伸】
如图，在的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接，若，则当是直角三角形时，请求出的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：原式
．
当时，
原式
．
20.解：被调查的总人数为人，
扇形统计图中“”所对应的圆心角的度数等于，
故答案为：，；
活动人数为人，
补全图形如下：
人，
答：估计该校想参加“：经典诵读表演”活动的学生约有人．
画树状图如图所示，
共有种等可能结果，其中必有甲同学参加的有种，
必有甲同学参加的概率为．
21.解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
反比例函数的解析式为；
过点作轴于，交于点，如图：
将直线向上平移个单位后，其函数解析式为，
当时，，
点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
将，代入可得：
，
解得：，
直线的函数解析式为，
联立解析式得：
解得：
点坐标为，
在中，当时，，
，
；
的面积为．
22.解：设甲种玩具进价元件，则乙种玩具进价为元件，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解．
则．
答：甲、乙两种玩具分别是元件，元件；
设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，
由题意，得，
解得．
是整数，
取，，，，
故商场共有四种进货方案：
方案一：购进甲种玩具件，乙种玩具件；
方案二：购进甲种玩具件，乙种玩具件；
方案三：购进甲种玩具件，乙种玩具件；
方案四：购进甲种玩具件，乙种玩具件；
设购进甲种玩具件，卖完这批玩具获利元，则购进乙种玩具件，
根据题意得：，
比例系数，
随着的增大而减小，
当时，有最大利润元．
23.证明：连接，则，
，
于点，
，
，，且，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：作于点，则，
，
，
，
的半径为，
，
，
，
，
，
，
的长是．
24.解：设抛物线的解析式为，
又过，
则，
则．
即，
即；
如图，过点作轴于点，交于点，作于点，连接、，
、，
则，，
由点、的坐标得，直线解析式为，
，，
．
，
又，
．
，
则，
当时，；
存在，理由：
设点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点的坐标为：；
当或为对角线，由中点坐标公式和或得：
或，
解得：或，
即点的坐标为：或；
综上，或或或．
25.证明：四边形是正方形，
，，，
，，
，
，，
≌，
；
解：，，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，，
，
，
∽，
；
解：由知：，
，
，
∽，
，
，
为的中点，
，
由知，
，
，
又是直角三角形，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
或不合题意，舍去，
当或时，点不存在，
当在延长线上时，设，则，
，，
，
，
，
，
，
不合题意，舍去或，
当点在的延长线上时，
点是的中点，
，
是等腰三角形，
点在的上方，
不可能是直角三角形，
点不在的延长线上．
综上所述，的长为或．

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