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2023学年第二学期八年级期末测评数学卷
考生须知:
1. 全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷。试题卷共 6 页, 有三个大题, 24 个小题。满分 120 分, 考试用时 120 分钟。
2. 请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上。
3. 答题时,把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用 铅笔涂黑、涂满; 将试题卷II的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写, 答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定区域内作答, 做在试题卷上或超出答题卷区域内书写的答案无效。
4. 不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。
试题卷I
一、选择题 (每小题 3 分, 共 30 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求)
1. 以下图标中既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2. 六边形外角和为 ( )
A. B. C. D.
3. 若反比例函数 的图象经过点 ,则下列四个点中,也在此函数图象上的是
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是 ( )
A. B.
C. D.
5. 学校现有甲,乙,丙,丁四支篮球队,每支球队队员身高数据的平均数都为 1.78 米,方差分别为 , ,则身高最整齐的球队为
A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 丁队
6. 用反证法证明, “在 中, 对边是 . 若 ,则 .”第一步应假设 ( )
A. B. C. D.
7. 抛物线 上部分点的横坐标 ,纵坐标 的对应值如下表所示:
... 0 1 2 ...
0 4 6 6 4
从上表可知,下列说法中,错误的是 ( )
A. 抛物线与 轴的一个交点坐标为
B. 抛物线与 轴的交点坐标为
C. 抛物线的对称轴是直线
D. 抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小
8. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一. 其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹抵地”问题: “今有竹高一丈，末折抵地, 去本四尺, 问折者高几何 ” 其大意为: “一根竹子, 原高一丈, 一阵风将竹子折断, 其竹梢恰好抵地, 抵地处离竹子底部 4 尺远, 则折断后的竹子高度为多少尺 ” (备注: 1 丈=10尺) 如果设折断后的竹子高度为 尺,根据题意,可列方程为 ( )
A. B. C. D.
9. 如图,已知在 中, ,点 是 延长线上的一点, ,点 是 上一点, , 连接 分别是 的中点,则 的长为
A. 8 B. 12 C. D.
10. 将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 ,记 的面积为 ,四边形 的面积为 . 若 ,则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
(第 9 题图) (第 10 题图)
试题卷II
二、填空题 (每小题 3 分, 共 18 分)
11. 若关于 代数式 在实数范围内有意义,则实数 的取值范围是 .
12. 将 的图象先向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,则最终所得图象的函数表达式为___.
13. 计算: .
14. 如图,平行四边形 的邻边 ,过点 作 ,垂足分别为点 , ,则 .
15. 若实数 满足 ,且 ,则 的值为___.
16. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 的对角线 的中点与坐标原点重合,点 是 轴上一点,连结 ,若 平分 ,反比例函数 的图像经过 上的点 ,且 , 的面积为 12,则 的值为___.
(第 14 题图) (第 16 题图)
三、解答题 (本大题有 8 小题, 共 72 分)
17. (本题 6 分) 小明同学在解一元二次方程时, 他是这样做的:
解方程:
（1）小明的解法从第 步开始出现错误;
（2）请用适当方法给出正确的解答.
18. (本题 8 分) 2024 年 4 月 25 日 20 时 49 分, 神舟十八号载人飞船发射成功, 中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段. 某中学为了解本校学生对我国航天科技及空间站的知晓情况, 开展了 “航天梦科普知识” 竞赛活动, 满分 10 分, 学生得分均为整数. 在初赛中, 甲乙两组 (每组 10 人) 学生成绩如: (单位: 分)
甲组: .
乙组: .
组别 平均数 中位数 众数
甲组 6
乙组 6.9 7
（1）以上成绩统计分析表中 ;
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了 7 分, 在我们小组中属中游偏上! ” 观察上面表格判断, 小明可能是 组的学生.
19. (本题 8 分) 如图,菱形 的对角线 与 交于点 .
（1）求证: 四边形 是矩形;
（2）若 ,求四边形 的周长.
20. (本题 8 分) 某商场销售一批运动服, 平均每天可售出 30 套, 每套盈利 100 元, 为了扩大销售, 增加盈利, 减少库存, 商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现, 每套运动服每降价 2 元, 商场平均每天可多售出 1 套.
（1）当每套运动服降价 ( 是偶数) 元时,商场每天可售出运动服 套 (用含 的代数式表示);
（2）若商场每天要盈利 3150 元, 则每套运动服应降价多少元
21. (本题 10 分) 如图,一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 和点 .
（1) 求 的值;
（2）连结 ,求 的面积;
（3）根据图象,直接写出不等式 的解集.
22. (本题 10 分) 根据以下素材, 探索完成任务.
喷泉中的数学问题
素材 1 某游乐场的圆形喷水池中心 有一喷水管 ， 米,从 点向四周喷水,喷出的水柱为 抛物线且形状相同. 如图,以水平方向为 轴, 点 为原点建立平面直角坐标系,点 在 轴 上,已知在与池中心 点水平距离为 2 米时, 水柱达到最高，此时高度为 1.5 米.
素材 2 现重新改建喷泉, 升高喷水管, 使落水点与喷水 管距离 5 米, 已知喷水管升高后, 喷水管喷出的 水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点 2 米处达到最高.
问题解决
任务 1 确定水柱形状 根据素材 1 , 求水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式.
任务 2 探究喷水高度 改建前, 身高为 1.67 米的小明站在距离喷水管 3 米处, 他会被喷到吗
任务 3 确定设计方案 根据素材 2，喷水管 要升高多少？
23. (本题 10 分)
【操作与证明】
如图 1,把一个含 角的直角三角板 和一个正方形 摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点 重合,点 分别在正方形的边 上,连接 . 取 中点 的中点 ,连接 、 .
（1）连接 ,求证: 是等腰三角形;
【猜想与发现】
（2）在（1）的条件下,请判断线段 与 有怎样的数量关系与位置关系,
请直接写出结论：___，___，
【拓展与探究】
（3）如图 2,将图 1 中的直角三角板 绕点 旋转 ,其他条件不变,则 (2) 中的结论还成立吗
若成立, 请加以证明; 若不成立, 请说明理由.
24. (本题 12 分) 如图 1,在平面直角坐标系 中,直线 与 轴交于点 ,与直线 交于点 点到 轴的距离 为 ,直线 交 轴于点 .
（1）求直线 的函数表达式;
（2）如图 2，点 为线段 上一点,将 沿 折叠后,点 恰好落在 边上,求 点坐标;
（3）如图 3,将 绕点 逆时针方向旋转 ,得到 ,使点 与点 对应,点 与点 对应, 将 沿着直线 平移,点 为直线 上的动点,是否存在以 为顶点的平行四边形 若存在,请直接写出点 的坐标; 若不存在,请说明理由.
图 1 图 2
图 3
2023学年第二学期八年级期末测评数学卷
参考答案及评分标准
一、选择题 (每小题 3 分, 共 30 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D
10. 连结 ,
由题意可知:
,
四边形 是正方形
同理可证: ,
则
四边形 是菱形
又
在同一直线上
又
则
四边形 是正方形
在同一直线上;
在同一直线上;
在同一直线上;
设 ,
则 ,
解得: (负值已舍去)
二、填空题 (每小题 3 分, 共 18 分)
11. 12. 13. -1
14. 15. 16. -8
16. 如图,连结 ,过点 作 于 ,过点 作 于 .
点 在反比例函数的图象上
平分
四边形 是矩形,易得
即
三、解答题 (本大题有 8 小题, 共 72 分)
17. (1) 小明的解法从第 4 步开始出现错误; –2 分
（2）解:
4 分
–6 分
(阅卷说明: 方法不唯一, 其他解法酌情分步给分)
18. (1) , 分
（2）小明可能是 甲 组的学生. –8 分
19. (1) ,
四边形 是平行四边形, –2 分
又 四边形 是菱形,
,
, –3 分
平行四边形 是矩形. 4 分
（2） 四边形 是菱形
–6 分
,
为等边三角形
–7 分
四边形 是矩形
四边形 的周长是: –8 分
–3 分
(2)设每件运动服应降价 元,
根据题意得: , –5 分
解得: 或 30, –6 分
扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,
,
答: 每件运动服应降价 30 元. –8 分
21. (1) 点 和点 在反比例函数图象上,
解得:
4 分
(2)
将 代入
得 解得
记直线与 轴交于点 ,
令 ,则 ,
解得 ,
, –5 分
–7 分
（3）由图象得, 或 –10 分
22.任务 1:
解: 米,
在与池中心 点水平距离为 2 米时,水柱达到最高,此时高度为 1.5 米
设水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为
把 代入上式,解得
水柱所在的抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 –3 分任务 2 :
方法 1: 当 时, –5 分
小明会被喷到–6 分
方法 2: 5 分
令
解得 (舍)
小明会被喷到–6 分
任务 3
根据题意,落水点坐标为
设喷水管升高后水柱所在抛物线解析式为 ,
代入 得 ,
解得:
–8 分
令 ,则
即升高后点 坐标为
喷水管 要升高: (米) –10 分
阅卷说明: 任务二中采用方法二, 仅估算高度, 忽略水平距离判断扣 1 分
23. (1) 证明: 如图,
四边形 是正方形,
,
是等腰直角三角形,
___3 分
,
,
,
,
是等腰三角形;
（2）结论: , 6 分
（3）结论仍然成立. ___7 分
理由: 如图,连结 ,设 交 于 ,交 于 ,
四边形 是正方形,
,
又 ,即 ,
,
,
在 Rt 中, 是 的中点,
,
是 的中点, 是 的中点,
,
, –9 分
,
,
,
,
,
,
,
. 分
24. 解: (1) 由题意得: 点 的纵坐标为 ,
点 在直线 上,
当 时, ,则点 ,
点 在直线 上,
解得:
故直线 的表达式为: ;
（2）直线 的表达式为: ,
当 时, ,则点 ,
,
,
–6 分
沿 折叠后,点 恰好落在 边上
-7 分
令 ,则
根据 得:
解得:
故点 的坐标为 . –9 分
(3) –12 分
(阅卷说明: 写对一个给 1 分)

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