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第三章 三角恒等变换
知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切：
① ；
② ；
③ .
2．二倍角公式：
① ；
② ；
③ .
3．二倍角公式的变形：
由变形得
；. （降次公式）
4．对于形如的式子，要引入辅助角并化成的形式，这里辅助角所在的象限由的符号决定，角的值由确定，即可化为一个角的三角函数公式：
=.
5.三角函数的化简与求值的常用方法和技巧
（1）三角函数化简时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要尽量减少角的种数，尽量减少三角函数种数，尽量化同角、化同名等其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、特殊角三角函数与特殊值互化等.
（2）三角函数的求值问题，都是通过恰当的变换，设法与求值的三角函数式、特殊角的三角函数式、已知某值的三角函数式之间建立起联系.选用公式时应注意方向性、灵活性，以造成消项或约项的机会，简化问题.
6．关于三角函数式的简单证明
三角恒等证明一般规律是从化简入手，适当变换，化繁为简，不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定.
三角恒等证明中要掌握等价转化的思想和变量代换的方法.证明的关键是：发现差异——观察等式两边角、函数、运算间的差异；寻找联系——选择恰当公式，找出差异间的联系；合理转化促进联系，创造性地应用基本公式.
而关于角的恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，要证，先证明的同名三角函数值相等，即，再证明在三角函数的同一单调区间内，而后由函数的单调性得出.
7. 几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧
（1）公式的正用或逆用，如=tan（450+300），等.
(2)常值代换，特别是“1”的代换，如：，，,等等；
（3）项的分拆与角的配凑，如cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β）；
（4）降次与升次，如.
单元检测试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 将每题正确选项的序号填在答题卡的相应位置.
1.已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于 【 】
A. B.－ C. D.－
2.已知sin（θ+π）＜0，cos（θ－π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是 【 】
A.tan＜cot B.tan＞cot
C.sin＜cos D.sin＞cos
3.下列四个命题中的假命题是 【 】
A.存在这样的α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α、β，使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对于任意的α、β，cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α、β，使得cos（α+β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
4.下列各式中，值为的是 【 】
A.sin15°cos15° B.2cos2－1
C. D.
5.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=，则a、b、c的大小关系是 【 】
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜c＜a D.b＜a＜c
6.若f（tanx）=sin2x，则f（－1）的值是
A.－sin2 B.－1 C. D.1
7.设 【 】
A . B.－ C.－ D. 或－
8.函数y=的最大值是 【 】
A. B. C.4 D.
9.已知，则 【 】
A. B. C. D.
10. 已知∈(π,2π),则 等于 【 】
A.sin B.cos C.-sin D.-cos
11. 【 】
A. B. C. D.
12.与相等的是 【 】
A.tan10o-cot50o B.-cot50o C.-tan75o D.tan75 o

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分；把答案填在题中的横线上.
13.若cosα=，且α∈（0，），则tan=____________.
14.已知sin+cos=，那么sinθ的值为____________，cos2θ的值为____________.
15. 若tanx=，则=_______.
16. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标，它是由4个相同
的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小
的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，
则的值等于_______________.
三、解答题：本题共6小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.
17.（本小题满分10分）若，求的值。
18.（本小题满分12分）已知tan=4,cot=,求tan(+)的值。
19.（本小题满分12分）已知sin（x－）cos（x－）=－，求cos4x的值.
20.（本小题满分12分）求值tan70ocos10o（tan20o-1).
21.（本小题满分12分）.已知：（R，a为常数）．
（1）若，求f（x）的最小正周期；
（2）若，时，f（x）的最大值为4，求a的值．
22（本小题满分12分）已知，，三点的坐标分别为，，，.
（1）若，求角的值；
（2）若，求的值.

单元检测试题答案
一、选择题
1.D 2.B 3.B 4.D. 5.B 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D 11. D 12.D
二、填空题
13.3 14. 15. 16. -
三、解答题
17. 18. . 19. 20.-1
21.(1) ;(2) .
22. （1），
.
由得， 又， .
（2）由，得.
，
又=.
所以，=.

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